方向統計

方向統計（円統計または球面統計とも呼ばれる）は、統計学の分野のひとつで、方向（ユークリッド空間R n^の単位ベクトル）、軸（R ⁿの原点を通る線^）、または回転を扱います。より一般的には、方向統計は、シュティーフェル多様体を含むコンパクトなリーマン多様体上の観測を扱います。

0度と 360 度は同じ角度であり、たとえば 180 度は2 度と 358 度の平均としては意味をなさないという事実は、ある種のデータ (この場合は角度データ) の分析には特別な統計手法が必要であることの 1 つの例を示しています。方向性があるとみなされる可能性のあるデータの他の例としては、時間的期間 (たとえば、時刻、週、月、年など)、コンパスの方向、分子の二面角、方向、回転などに関する統計があります。

直線上の 任意の確率密度関数（pdf）は、単位半径の円の円周に「ラップ」することができます。 ^[2]つまり、ラップされた変数のpdf は ${\displaystyle \p(x)}$$${\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]}$$$${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$$

この概念は、単純な合計を特徴空間のすべての次元をカバーする 複数の合計に拡張することで、多変量​​コンテキストに拡張できます。 ここで、は- 番目のユークリッド基底ベクトル です。${\displaystyle F}$$${\displaystyle p_{w}({\boldsymbol {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldsymbol {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle k}$

次のセクションでは、関連する円形分布をいくつか示します。

フォンミーゼス分布は、他の円形分布と同様に、ある線形確率分布を円に巻き付けたものと考えることができる円形分布です。フォン ミーゼス分布の基礎となる線形確率分布は数学的に扱いにくいものですが、統計的な目的であれば、基礎となる線形分布を扱う必要はありません。フォン ミーゼス分布の有用性は 2 つあります。1 つは、円形分布の中で最も数学的に扱いやすく、統計分析が簡単になること、もう 1 つは、巻き付け正規分布に近い近似値であることです。巻き付け正規分布は、線形正規分布と同様に、多数の小さな角度偏差の合計の極限ケースであるため重要です。実際、フォン ミーゼス分布は、その使いやすさと巻き付け正規分布との密接な関係から、「円形正規分布」と呼ばれることがよくあります。^[3]

フォンミーゼス分布の pdf は次のとおりです。ここでは0 次 修正ベッセル関数です。$${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$$${\displaystyle I_{0}}$

円一様分布の確率密度関数（pdf）は次のように与えられる。 $${\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$$

これは、上記のフォン・ミーゼスの ように考えることもできます。${\displaystyle \kappa =0}$

ラップされた正規分布（WN） のpdfは次の式で表されます。 ここで、μとσはそれぞれラップされていない分布の平均と標準偏差であり、は ヤコビのシータ関数です。 ここで、$${\displaystyle WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)}$$${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}$$${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}}$$${\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta }}$${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

ラップされたコーシー分布(WC) の pdf は次のとおりです。 ここで、はスケール係数、はピーク位置です。 $${\displaystyle WC(\theta ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \theta _{0}}$

ラップされたレヴィ分布(WL) の pdf は次のとおりです。ここで、 のとき、 加数の値は 0 になります。はスケール係数、 は位置パラメータです。 $${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}}$$${\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mu }$

投影正規分布は、多変量正規分布を持つランダム変数の方向を表す円形分布であり、単位 (n-1) 球面上の変数の放射状投影によって得られます。このため、他の一般的に使用される円形分布とは異なり、対称でも単峰性でもありません。

2次元球面（ケント分布^[4]など）、N次元球面（フォンミーゼス-フィッシャー分布^[5]）、またはトーラス（2変量フォンミーゼス分布^[6]） 上の分布も存在します。

フォン・ミーゼス・フィッシャー分布^[7]はシュティーフェル多様体上の分布であり、回転行列上の確率分布を構築するために使用することができます。^[8]

ビンガム分布は、 N次元の軸上の分布、または同等に、 対蹠地が特定された( N − 1) 次元球面上の点上の分布です。 ^[9]たとえば、N  = 2 の場合、軸は平面内で原点を通る無向線です。この場合、各軸は平面 (1 次元球面) 内の単位円を、互いの対蹠地である 2 つの点で切断します。N = 4 の場合、ビンガム分布は単位四元数(ベルソル) の空間上の分布です。ベルソルは回転行列に対応するため、N  = 4 のビンガム分布は、行列フォン ミーゼス-フィッシャー分布と同様に、回転の空間上の確率分布を構成するために使用できます。

これらの分布は、例えば地質学^[10] 、結晶学^[11]、バイオインフォマティクス^{[1]、 [12]、 [13]}などで使用されています。

円分布の生のベクトル（または三角関数）モーメントは次のように定義されます。

${\displaystyle m_{n}=\operatorname {E} (z^{n})=\int _{\Gamma }P(\theta )z^{n}\,d\theta }$

ここで、は長さ の任意の区間、は円分布のPDF、です。積分は 1 で、積分区間は有限であるため、任意の円分布のモーメントは常に有限で明確に定義されます。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle P(\theta )}$${\displaystyle z=e^{i\theta }}$${\displaystyle P(\theta )}$

サンプルモーメントも同様に定義されます。

${\displaystyle {\overline {m}}_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}.}$

母集団の結果ベクトル、長さ、および平均角度は、対応するサンプル パラメータと同様に定義されます。

${\displaystyle \rho =m_{1}}$

${\displaystyle R=|m_{1}|}$

${\displaystyle \theta _{n}=\operatorname {Arg} (m_{n}).}$

さらに、高次のモーメントの長さは次のように定義されます。

${\displaystyle R_{n}=|m_{n}|}$

一方、高次のモーメントの角度部分はちょうど です。すべてのモーメントの長さは 0 から 1 の間になります。 ${\displaystyle (n\theta _{n}){\bmod {2}}\pi }$

母集団と母集団から抽出された標本の両方に対して、中心傾向と統計的分散のさまざまな尺度を定義することができます。 ^[3]

位置の最も一般的な測定は円平均です。母集団の円平均は分布の第一モーメントに過ぎませんが、標本平均は標本の最初のモーメントです。標本平均は母集団平均の不偏推定値として機能します。

データが集中している場合、中央値と最頻値は線形の場合と同様に定義できますが、より分散したデータや多峰性のデータの場合、これらの概念は役に立ちません。

円形スプレッドの最も一般的な測定方法は次のとおりです。

• の円分散。標本の場合、円分散は次のように定義されます。母集団の場合、両方とも 0 から 1 の間の値になります。$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Var} (z)}}=1-{\overline {R}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Var} (z)=1-R}$$
• の0 から無限大までの値を持つ円標準偏差 。標準偏差のこの定義 (分散の平方根ではなく) は、ラップされた正規分布の場合、基礎となる正規分布の標準偏差の推定値となるため便利です。したがって、標準偏差の値が小さい場合、円分布を線形の場合と同様に標準化できます。これは、ラップされた正規分布に近似するフォン ミーゼス分布にも適用されます。 が小さい場合、 となる。$${\displaystyle S(z)={\sqrt {\ln(1/R^{2})}}={\sqrt {-2\ln(R)}}}$$ $${\displaystyle {\overline {S}}(z)={\sqrt {\ln(1/{\overline {R}}^{2})}}={\sqrt {-2\ln({\overline {R}})}}}$$${\displaystyle S(z)}$${\displaystyle S(z)^{2}=2\operatorname {Var} (z)}$
• の0 から無限大までの値を持つ円分散 。この広がりの尺度は、統計的分散分析で役​​立ちます。$${\displaystyle \delta ={\frac {1-R_{2}}{2R^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\delta }}={\frac {1-{{\overline {R}}_{2}}}{2{\overline {R}}^{2}}}}$$

N 個の測定値のセットが与えられた場合、zの平均値は次のように定義されます。 ${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}$

これは次のように表現できる。

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {C}}+i{\overline {S}}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n}){\text{ and }}{\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

または、次のようにも言えます:

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

どこ

${\displaystyle {\overline {R}}={\sqrt {{\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}}{\text{ and }}{\overline {\theta }}=\arctan({\overline {S}}/{\overline {C}}).}$

円形pdf P ( θ )の平均角度()の分布は次のように表される。 ${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

${\displaystyle P({\overline {C}},{\overline {S}})\,d{\overline {C}}\,d{\overline {S}}=P({\overline {R}},{\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}=\int _{\Gamma }\cdots \int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left[P(\theta _{n})\,d\theta _{n}\right]}$

ここで、 は任意の長さの区間にわたっており、積分はと が定数であるという制約、またはと が定数であるという制約に従います。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle {\overline {C}}}$${\displaystyle {\overline {R}}}$${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

ほとんどの円形分布の平均分布の計算は解析的に不可能であり、分散分析を実行するためには数値的または数学的な近似が必要である。^[14]

中心極限定理は標本平均の分布に適用できる。（メイン記事：方向統計の中心極限定理）。 ^[14]によれば、大きな標本サイズの限界において 分布は二変量正規分布に近づくことが示される。${\displaystyle [{\overline {C}},{\overline {S}}]}$

周期的なデータの場合（例えば、均一に分布しているか）:

• 単峰性クラスターのレイリー検定
• マルチモーダルな可能性のあるデータに対するKuiper の検定。

• 円相関係数
• 複素正規分布
• ラップされた配布

• Batschelet, E. (1981).生物学における循環統計学. ロンドン: Academic Press . ISBN 0-12-081050-6。
• フィッシャー、NI（1993）。循環データの統計分析。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-35018-2。
• フィッシャー、NI 、ルイス、T.、エンブルトン、BJJ (1993)。球面データの統計分析。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-45699-1。
• Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). 循環統計のトピックス。ニュージャージー: World Scientific。ISBN 981-02-3778-2. 2011年5月15日閲覧。
• Mardia, KV ; Jupp, P. (2000).方向統計学（第2版）. John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-471-95333-4。
• Ley, C.; Verdebout, T. (2017).現代の方向性統計学. CRC Press Taylor & Francis Group . ISBN 978-1-4987-0664-3。