外角定理

外角定理はユークリッドの『原論』の命題 1.16 で、三角形の外角の大きさは、離れた内角の大きさのどちらよりも大きいことを述べています。この定理の証明は平行線公理に依存しないため、絶対幾何学における基本的な結果です。

高校の幾何学の授業では、「外角定理」という用語が別の結果に適用されている。^[1]つまり、三角形の外角の大きさは、離れた内角の大きさの合計に等しいという命題 1.32 の部分である。ユークリッドの平行線公理に基づくこの結果は、ユークリッドの外角定理と区別するために「高校外角定理」(HSEAT) と呼ばれる。

一部の著者は「高校の外角定理」を外角定理の強い形と呼び、「ユークリッドの外角定理」を弱い形と呼んでいます。^[2]

三角形には頂点と呼ばれる3つの角があります。頂点で集まる三角形の辺（線分）は2つの角度を形成します（三角形の辺を線分ではなく線と見なすと、4つの角度になります）。^[3]これらの角度のうち1つだけが三角形の3番目の辺をその内部に含み、この角度を三角形の内角と呼びます。 ^[4]下の図では、角度 ∠ABC、∠BCA、および∠CABが三角形の3つの内角です。外角は三角形の1つの辺を延長することによって形成されます。延長された辺と他の辺の間の角度が外角です。図では、角度∠ACDが外角です。

ユークリッドによる命題1.16の証明は、ユークリッドが不完全な証明を与えた箇所の一つとしてよく引用される。^{[5] [6] [7]}

ユークリッドは外角定理を次のように証明しました。

• 線分ACの中点Eを作図し、
• 光線BEを描きます。
• 光線BE上に点Fを描き、EがBとFの中点となるようにする。
• 線分FCを描きます。

合同な三角形により、∠ BAC = ∠ ECF であり、∠ ECF は ∠ ECD より小さいと結論付けることができます。∠ ECD = ∠ ACD であるため、∠ BAC は ∠ ACD より小さく、BC を二等分することにより角度 ∠ CBA についても同じことが言えます。

欠陥は、点 (上記 F) が角度 (∠ ACD) の「内側」にあるという仮定にあります。この主張の根拠は示されていませんが、添付の図ではそれが正しいように見えます。ユークリッド幾何学の公理の完全なセットを使用すると (幾何学の基礎を参照)、ユークリッドのこの主張は証明できます。^[8]

外角定理は、球面幾何学でも関連する楕円幾何学でも有効ではありません。頂点の 1 つが北極で、他の 2 つが赤道上にある球面三角形を考えてみましょう。北極から放射される三角形の辺 (球面の大円) はどちらも赤道と直角に交わるため、この三角形の外角は離れた内角に等しくなります。もう 1 つの内角 (北極) は 90° より大きくすることができ、このためこの主張が成り立たないことがさらに強調されます。ただし、ユークリッドの外角定理は絶対幾何学の定理であるため、双曲幾何学では自動的に有効になります。

高校の外角定理 (HSEAT) によれば、三角形の頂点の外角の大きさは、三角形の他の 2 つの頂点の内角 (離れた内角) の大きさの合計に等しくなります。したがって、図では、角ACDの大きさは、角ABCの大きさと角CABの大きさの合計に等しくなります。

HSEAT は、三角形の角度の合計が180° であるというユークリッドの命題と論理的に同等です。三角形の角度の測定値の合計が 180° であることがわかっている場合、HSEAT は次のように証明されます。

${\displaystyle b+d=180^{\circ }}$

${\displaystyle b+d=b+a+c}$

${\displaystyle \theresomed=a+c.}$

一方、HSEAT が真のステートメントであるとすると、次のようになります。

${\displaystyle d=a+c}$

${\displaystyle b+d=180^{\circ }}$

${\displaystyle \thereso b+a+c=180^{\circ }.}$

三角形の角度の合計が 180° であることを証明します。

HSEATのユークリッド的証明（および三角形の角度の和の結果）は、点Cを通る辺ABに平行な線を描くことから始まります。次に、平行線の対応する角度と交互の内角の性質を使用して、図のような結論を導きます。^[9]

HSEAT は、三角形の未知の角度の寸法を計算するときに非常に役立ちます。

• フェイバー、リチャード L. (1983)、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の基礎、ニューヨーク：マルセル・デッカー社、ISBN 0-8247-1748-1
• グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ（1974）、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学/発展と歴史、サンフランシスコ：WHフリーマン、ISBN 0-7167-0454-4
• ヒース、トーマス L. (1956)。『ユークリッド原論 13 巻』（第 2 版 [複製。初版: ケンブリッジ大学出版局、1925 年] 編集）。ニューヨーク: ドーバー出版。

(3 巻): ISBN 0-486-60088-2 (第 1 巻)、ISBN 0-486-60089-0 (第 2 巻)、ISBN 0-486-60090-4 (第 3 巻)。   

• ヘンダーソン、デイビッド・W.; タイミナ、ダイナ (2005)、『歴史とともに体験する幾何学/ユークリッドと非ユークリッド』（第3版）、ピアソン/プレンティス・ホール、ISBN 0-13-143748-8
• ベネマ、ジェラルド A. (2006)、『幾何学の基礎』、アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: ピアソン プレンティス ホール、ISBN 0-13-143700-3
• ワイリー、CR Jr. (1964)、幾何学の基礎、ニューヨーク：マグロウヒル

HSEAT 参照

• 幾何学教科書 - 標準 IX、マハラシュトラ州中等・高等中等教育委員会、プネ - 411 005、インド。
• Geometry Common Core、Pearson Education: Upper Saddle River、©2010、171-173 ページ |米国。
• ウィーター、キャロリン C. (2007)、宿題ヘルパー：幾何学、フランクリンレイクス、ニュージャージー：キャリアプレス、pp. 88–90、ISBN 978-1-56414-936-7。