神聖な比率: 有理三角法から普遍幾何学へ

『神聖な比率: 有理三角法から普遍幾何学へ』は、数学者ノーマン・J・ワイルドバーガーによる2005年の本で、ユークリッド幾何学と三角法に代わるアプローチである有理三角法について書かれています。この本では、三角法の通常の基本量であるユークリッド距離と角度を、それぞれ距離の2乗と角度の正弦の2乗に置き換えることを提唱しています。これは、標準的な展開と論理的に同等です (置き換えた量を標準的な量で表すことができ、その逆も可能)。著者は、このアプローチには無理数が不要になるなどの利点があると主張しています。

この本は、ウィルトバーガーが自身の出版社ワイルドエッグを通じて「本質的に自費出版」した^[1]。この本の公式や定理は正しい数学としてみなされているが、実用的または教育的優位性に関する主張は主にウィルトバーガー自身によって推進されており、賛否両論の評価を受けている。

神聖な比率の主な考え方は、距離をユークリッド距離の二乗（ワイルドバーガーはこれを四角形と呼ぶ）に置き換え、角度の尺度をその正弦の二乗（ワイルドバーガーはこれを2本の線の間の広がりと呼ぶ）に置き換えることである。神聖な比率は、線分または交差する線のペアを決定する点の直交座標から、これら2つの概念を直接定義する。このように定義されると、それらはそれらの座標の有理関数であり、距離や角度の尺度を計算するときに必要な平方根や逆三角関数を必要とせずに直接計算できる。^[1]

有限主義者のヴィルトバーガーにとって、この置き換えは、実数の定義に用いられる極限や実際の無限大の概念を回避できるという利点があるとされているが、ヴィルトバーガーはこれらの概念は根拠がないと主張している。^{[2] [1]}また、この置き換えにより、同様の概念を、四角形と広がりの同じ公式を使用して、有理数から有限体などの他の数体系に直接拡張することができる。 ^[1]さらに、この方法では、2 本の線によって形成される2 つの補角の曖昧さが回避される。両方の角度が同じ広がりを持つためである。このシステムはより直感的で、2 次元から 3 次元に簡単に拡張できると主張されている。 ^[3]ただし、これらの利点と引き換えに、距離と角度の加法性が失われる。たとえば、線分が 2 つに分割された場合、その長さは 2 つの部分の長さの合計であるが、部分の四角形を組み合わせるのはより複雑で、平方根が必要になる。^[1]

『神聖な比率』は4つの部分に分かれている。第1部では、距離と角度の代わりに四分円と広がりを使用する方法の概要を示し、その利点について論じる。第2部では、第1部で述べた主張を形式化し、厳密に証明する。^[1]直線を点の無限集合として定義するのではなく、点と直線の発生をテストするための公式で使用できる同次座標によって定義する。正弦と同様に、余弦と正接も「交差」と「ねじれ」と呼ばれる有理数に置き換えられ、神聖な比率では、これらの量を含む三角関数の恒等式のさまざまな類似物を展開している。 ^{[3]これには、}ピタゴラスの定理、正弦の法則、余弦の法則のバージョンが含まれる。^[4]

パート III では、前の 2 つのパートで開発されたツールを使って、三角形と円錐曲線の幾何学を展開します。 ^[1]三角形の面積を辺の長さから計算するヘロンの公式や、円の弦が円上の他の点から囲む角度が等しいという円周角定理などのよく知られた結果は、四角形と広がりの観点から再定式化され、それによって任意の数体に一般化されます。 ^{[3] [5]}最後に、パート IV では、物理学と測量における実際の応用を検討し、高次元ユークリッド空間と極座標への拡張を展開します。^[1]

『神聖なる比率』は読者に数学的背景をあまり想定していないが、長い数式が多く、有限体を頻繁に考慮し、（第 1 部以降）数学的厳密さを強調しているため、一般の数学読者にとっては障害となる可能性がある。むしろ、この本は主に数学の教師や研究者向けに書かれている。しかし、数学の学生にも読める可能性があり、数学コースの基礎として使用できる演習が含まれている。^{[1] [6]}

この本で評論家から最も好意的に受け止められたのは、距離幾何学と角度幾何学の結果を有限体に拡張した点である。評論家のローラ・ウィズウェルはこの研究に感銘を受け、正五角形を含む最小の有限体はであるという結果に魅了された。^[1]マイケル・ヘンレはこの本の第3部で、三角形と円錐断面幾何学の有限体への拡張を「一般性の高いエレガントな理論」と呼んでいる。^[4]ウィリアム・バーカーもこの本のこの側面を高く評価し、「特に斬新」で、新しい研究の方向性を開拓する可能性があると述べている。^[6]${\displaystyle \mathbb {F} _{19}}$

ウィズウェルは、この研究で出典を明示せずに提示された詳細な結果のうち、実際に新しいものがどれだけあるかという疑問を提起している。^[1]この観点から、マイケル・ヘンレは、ユークリッド距離の二乗の使用は「他の場所ではしばしば便利であることがわかっている」と指摘している。 ^[4]たとえば、距離幾何学、最小二乗統計、凸最適化で使用されている。ジェームズ・フランクリンは、線形代数を使用して従来モデル化された3次元以上の空間では、神聖比例による広がりの使用は、三角関数の代わりにドット積を使用する標準的な方法とあまり変わらないと指摘している。^[5]

ヘンレが指摘したワイルドバーガーの方法の利点は、単純な代数だけを使用するため、証明が理解しやすく、コンピュータで検証しやすいことである。しかし、ヘンレは、この本が主張する全体的な理論の単純さは、四分円と広がりを距離、角度、正弦などの対応する古典的な概念ではなく、古典的な三角法のはるかに幅広いツールと比較した誤った比較に基づいていると示唆している。また、関数電卓を持つ学生にとって、平方根や三角関数を避ける公式は問題ではないと指摘し、^[4]バーカーは、新しい公式には個別の計算ステップが多く含まれることが多いと付け加えている。^[6]複数のレビューアが、学生に三角法を教えるのに必要な時間の短縮は非常に歓迎されると感じていたが、^{[3] [5] [7]}ポール・キャンベルは、これらの方法が実際に学習をスピードアップするかどうかについては懐疑的である。^[7]ジェリー・レバーシャは偏見を持たず、「[ワイルドバーガーが]出版すると約束した生徒向けの教科書や、学生のモルモットを使った制御された実験を見るのは興味深いだろう」と書いている。^[3]しかし、これらの教科書や実験はまだ出版されていない。

ウィズウェルは、従来の幾何学にはこれらの方法が回避できる根本的な欠陥があるという主張には納得していない。^[1]ウィズウェルに同意しながらも、バーカーは、無限に対するワイルドバーガーの哲学的疑念を共有する数学者が他にもいるかもしれないと指摘し、この研究は彼らにとって大きな関心事となるはずだとしている。^[6]

複数の査読者が提起した最後の問題は、慣性である。仮にこれらの方法の方が優れていると仮定したとしても、これらの方法で幾何学と三角法を再学習するという大きな個人的努力、および古典的な幾何学と三角法の代わりにこれらを使用するように学校のカリキュラムを改訂するという組織的努力に見合うほど優れているのだろうか。ヘンレ、バーカー、およびレバーシャは、この本はこの点について十分な根拠を示していないと結論付けている^{[3] [4] [6]}が、サンドラ・アーリングハウスは、この研究を、伝統的な組織的硬直性に比較的投資が少なかった彼女の数理地理学などの分野にとって、そのような代替の可能性を示す機会と見なしている^[8]

• パールズ配置、有理座標では表せないユークリッド平面上の点と線の有限集合