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マイケル・アティヤ | |
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 2007年のマイケル・アティヤ | |
| 生まれる | マイケル・フランシス・アティヤ 1929年4月22日 ハムステッド、ロンドン、イギリス |
| 死亡 | 2019年1月11日（享年89歳） エディンバラ、スコットランド |
| 教育 | |
| 知られている | アティヤ代数 アティヤ予想 アティヤ配置に関するアティヤ予想 アティヤフロップ アティヤ–ボット公式 アティヤ–ボット不動点定理 アティヤ –フローアー予想 アティヤ–ヒルツェブルッフスペクトル列 アティヤ–ジョーンズ予想 アティヤ–ヒッチン–シンガー定理 アティヤ–シンガー指数定理 アティヤ–シーガル完備定理 ADHM 構成 フレドホルム加群 イータ不変量 K 理論 KR 理論 ピン群 トーリック多様体 |
| 受賞歴 | |
| 科学者としてのキャリア | |
| フィールド | 数学 |
| 機関 | |
| 論文 | 代数幾何学における位相的方法のいくつかの応用 (1955) |
| 博士課程の指導教員 | WVDホッジ[1] [2] |
| 博士課程の学生 | |
| その他の著名な学生 | エドワード・ウィッテン |
マイケル・フランシス・アティヤ（/ ə ˈ t iː ə / ; 1929年4月22日 - 2019年1月11日）は、幾何学を専門とするイギリス系レバノン人の数学者。[4]彼の貢献には、アティヤ・シンガーの指数定理と位相的K理論の共同創始者が含まれます。彼は1966年にフィールズ賞、 2004年に アーベル賞を受賞しました。
幼少期と教育
アティヤは1929年4月22日、イングランドのロンドン、ハムステッドで、ジャン（旧姓レヴァンス）とエドワード・アティヤの息子として生まれた。[5]母親はスコットランド人で、父親はレバノン正教会の信者だった。彼には、パトリック（故人）とジョーという2人の兄弟と、セルマ（故人）という1人の妹がいた。[6]アティヤは、スーダンのハルツームにある教区学校で小学校（1934年 - 1941年）に通い、カイロとアレクサンドリアにあるヴィクトリア・カレッジで中学校（1941年 - 1945年）に通った。この学校には、第二次世界大戦で国を追われたヨーロッパの貴族や、アラブ諸国の将来の指導者たちも通っていた。[7]彼はHSCの勉強のためにイングランドのマンチェスター・グラマー・スクールに戻り（1945年 - 1947年）、王立電気機械工兵隊で国民奉仕活動を行った（1947年 - 1949年）。彼は学部と大学院をケンブリッジ大学トリニティ・カレッジで過ごした（1949-1955年）。[8]彼はウィリアム・V・D・ホッジ[2]の指導の下博士課程に在籍し、1955年に「位相的手法の代数幾何学への応用」と題する論文で博士号を取得した。[1] [2]
アティヤは英国ヒューマニスト協会の会員であった。[9]
ケンブリッジ大学在学中、彼はアルキメデス協会の会長を務めた。[10]
キャリアと研究
アティヤは1955年から1956年までプリンストン高等研究所で過ごし、その後ケンブリッジ大学に戻り、研究員および助教（1957年から1958年）、ケンブリッジ大学ペンブルック・カレッジの大学講師およびチュートリアル・フェロー（1958年から1961年）を務めた。1961年にオックスフォード大学に移り、セント・キャサリンズ・カレッジの講師および教授フェロー（1961年から1963年）を務めた。[8] 1963年から1969年まで、オックスフォード大学ニュー・カレッジのサビリアン幾何学教授および教授フェローを務めた。プリンストン高等研究所で3年間教授を務めた後、オックスフォードに戻り、王立協会研究教授およびセント・キャサリンズ・カレッジの教授フェローとなった。 1974年から1976年までロンドン数学会の会長を務めた。[8]
私は子供の頃、旅行先で現地の通貨を外貨に両替してお金を稼ぐことから始めました。その時、父は私が将来数学者になるだろうと気づいたのです。
マイケル・アティヤ[11]
アティヤは1997年から2002年まで科学と世界情勢に関するパグウォッシュ会議の議長を務めた。 [12]また、国際問題に関するアカデミー間パネル、欧州アカデミー協会（ALLEA）、欧州数学会（EMS）の設立にも貢献した。[13]
英国国内では、ケンブリッジのアイザック・ニュートン数学研究所の設立に関わり、初代所長（1990–1996年）を務めた。また、王立協会会長（1990–1995年）、ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジ学長（ 1990–1997年） [12] 、[1995–2005年]、[12] 、エディンバラ王立協会会長（2005–2008年）を歴任した。[14] 1997年から2019年に死去するまで、エディンバラ大学の名誉教授であった。ジェームズ・クラーク・マクスウェル財団の評議員でもあった。[15]
アティヤの数学的共同研究者にはラウル・ボット、フリードリヒ・ヒルツェブルッフ[16]、イサドア・シンガーがおり、教え子にはグレアム・シーガル、ナイジェル・ヒッチン、サイモン・ドナルドソン、エドワード・ウィッテン[17]がいた。ヒルツェブルッフとともに、彼は位相的K理論の基礎を築いた。これは代数的位相幾何学における重要なツールであり、非公式に言えば、空間をねじる方法を記述するものである。彼の最もよく知られた結果であるアティヤ・シンガーの指数定理は、1963年にシンガーとともに証明され、微分方程式の独立した解の数を数えるのに使用されている。彼の最近の研究のいくつかは理論物理学、特にインスタントンとモノポールに触発されており、これらは量子場の理論におけるいくつかの補正に関与している。彼は1966年にフィールズ賞、2004年にアーベル賞を受賞した。
コラボレーション
アティヤは多くの数学者と共同研究を行った。主な共同研究は、アティヤ-ボット不動点定理とその他多くのテーマに関するラウル・ボットとの共同研究、アティヤ-シンガー指数定理に関するイサドア・M・シンガーとの共同研究、位相的K理論に関するフリードリヒ・ヒルツェブルッフとの共同研究である[18]。アティヤは1955年にプリンストン高等研究所で彼らと出会った。[19]その他の共同研究相手には以下の人々がいる。J. Frank Adams (ホップ不変量問題)、Jürgen Berndt (射影平面)、Roger Bielawski (ベリー・ロビンズ問題)、Howard Donnelly ( L関数)、Vladimir G. Drinfeld (インスタントン)、Johan L. Dupont (ベクトル場の特異点)、Lars Gårding (双曲型微分方程式)、Nigel J. Hitchin (単極子)、William VD Hodge (第2種の積分)、Michael Hopkins ( K理論)、Lisa Jeffrey (位相ラグランジアン)、John DS Jones (ヤン・ミルズ理論)、Juan Maldacena (M理論)、Yuri I. Manin (インスタントン)、Nick S. Manton (スカイミオン)、Vijay K. Patodi (スペクトル非対称性)、AN Pressley (凸性)、Elmer Rees (ベクトル束)、Wilfried Schmid (離散級数表現)、グレアム・シーガル（同変K理論）、アレクサンダー・シャピロ[20]（クリフォード代数）、L・スミス（球面のホモトピー群）、ポール・サトクリフ（多面体）、デイビッド・O・トール（ラムダ環）、ジョン・A・トッド（シュティーフェル多様体）、カムラン・ヴァファ（M理論）、リチャード・S・ワード（インスタントン）、エドワード・ウィッテン（M理論、位相量子場理論）。[21]
彼のその後のゲージ場理論、特にヤン＝ミルズ理論に関する研究は、幾何学と物理学の重要な相互作用を刺激し、最も顕著なのはエドワード・ウィッテンの研究である。[22]
数学の問題に真っ向から取り組むと、行き詰まってしまうことがよくあります。何をやってもうまくいかないようで、角を曲がって先を覗けば簡単な解決策があるかもしれないと感じるでしょう。隣に誰かいることに勝るものはありません。なぜなら、その人はたいてい角を曲がって先を覗いてくれるからです。
マイケル・アティヤ[23]
アティヤの教え子には、ピーター・ブラーム（1987年）、 サイモン・ドナルドソン（ 1983年）、 K・デイビッド・エルワーシー（1967年）、ハワード・フィーガン（1977年）、エリック・グランワルド（1977年）、 ナイジェル・ヒッチン（ 1972年）、リサ・ジェフリー（1991年）、 フランシス・カーワン（ 1984年）、 ピーター・クロンハイマー（ 1986年）、 ルース・ローレンス（ 1989年）、 ジョージ・ルスティグ（ 1971年）、 ジャック・モラヴァ（1968年）、マイケル・マレー（1983年）、ピーター・ニューステッド（1966年）、 イアン・R・ポーティアス（1961年）、 ジョン・ロー（1985年）、ブライアン・サンダーソン（1963年）、 ロルフ・シュワルツェンバーガー（1960年）、グレアム・シーガル（1967年）、デイビッド・トール（1966年）、グレアム・ホワイト（1982年）がいる。[2]
アティヤに影響を与えた他の同時代の数学者には、ロジャー・ペンローズ、ラース・ヘルマンダー、アラン・コンヌ、ジャン＝ミシェル・ビスムトなどがいます。[24]アティヤは、最も尊敬する数学者はヘルマン・ワイルであり、[25] 20世紀以前のお気に入りの数学者はベルンハルト・リーマンとウィリアム・ローワン・ハミルトンであると述べています。[26]
アティヤの論文集7巻には、可換代数の教科書を除いて彼の研究のほとんどが収録されている。[27]最初の5巻はテーマ別に分かれており、6巻目と7巻目は日付順に並べられている。
代数幾何学（1952–1958）
アティヤの代数幾何学に関する初期の論文（およびいくつかの一般的な論文）は、彼の全集の第1巻に再録されている。[28]
学部生の頃、アティヤは古典的な射影幾何学に興味を持ち、最初の論文としてねじれ立方体に関する短いメモを書いた。[29]彼はWVDホッジの指導の下で研究を始め、1954年に線織面への層理論的アプローチでスミス賞を受賞した。[30]このことが、アティヤが他の興味である建築と考古学に移るのではなく、数学を続けることを奨励した。[31] ホッジとの博士論文は、ソロモン・レフシェッツの代数多様体上の第二種積分理論への層理論的アプローチに関するもので、その結果、プリンストン高等研究所に1年間滞在するよう招待された。[32]プリンストン在学中、彼は楕円曲線上のベクトル束を分類し（アレクサンダー・グロタンディークの種数 0 曲線上のベクトル束の分類を拡張）、任意のベクトル束は（本質的に一意の）分解不可能なベクトル束の和であることを示し、[33]次に、与えられた次数と正の次元の分解不可能なベクトル束の空間が楕円曲線と同一視できることを示した。[34]彼はまた、曲面上の二重点を研究し、[35] 3次元多様体の特殊な双有理変換であるフロップの最初の例を示し、これは後に森重文の3次元多様体の極小モデルの研究で頻繁に使用された。 [36]アティヤのフロップは、 K3 曲面の普遍マーク族がハウスドルフではないことを示すのにも使用できる。[37]
K理論（1959–1974）
アティヤのK理論に関する研究は、K理論に関する著書[38]を含め、彼の全集第2巻に再録されている。[39]
ベクトル束の最も単純で非自明な例は、メビウスの帯（右図）である。これはねじれのある紙片で、円（問題の円はメビウスの帯の中心線）上の階数 1 のベクトル束を表す。K 理論は、この例の高次元類似物を扱うためのツール、つまり高次元のねじれを記述するためのツールである。空間の K 群の要素はその上のベクトル束で表されるため、メビウスの帯は円の K 群の要素を表す。[40]
位相的K理論は、グロタンディークのグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理の証明とボットの周期性定理の研究に触発されたアティヤとフリードリヒ・ヒルツェブルッフ[41]によって発見されました。この論文ではゼロ次K群についてのみ議論されていましたが、その後すぐに彼らはそれをすべての次数のK群に拡張し、[42]一般化されたコホモロジー理論の最初の（非自明な）例を示しました。
いくつかの結果から、新たに導入された K 理論は、いくつかの点で通常のコホモロジー理論よりも強力であることがわかった。アティヤとトッド[43]は、ボレルとセールが通常のコホモロジーを使用して見つけたジェームズ数の下限を K 理論で改善し、複素シュティーフェル多様体から球面への写像が断面を持つ場合を説明した。(アダムズとグラントウォーカーは後に、アティヤとトッドが見つけた上限が最善であることを示した。) アティヤとヒルツェブルッフ[44] は、ヒルツェブルッフが数年前に気付いていたスティーンロッド演算とトッド類の関係を説明するのに K 理論を使用した。ホップ不変量の 1 つの問題演算に対する JF アダムズによる元の解法は、二次コホモロジー演算を使用する非常に長く複雑なものだった。アティヤは、K 理論の一次演算を使用して数行しかかからない短い解法を得られる方法を示し、アダムズとの共同研究[45]では、奇数の素数における結果の類似性も証明した。
アティヤ・ヒルツェブルフスペクトル列は、空間の通常のコホモロジーをその一般化されたコホモロジー理論に関連付けます。[42]（アティヤとヒルツェブルフはK理論の場合を使用しましたが、彼らの方法はすべてのコホモロジー理論に当てはまります）。
アティヤは有限群Gに対して、その分類空間BGのK理論がその指標環の完備化と同型であることを示した[46]。
同年[47] 、彼らは任意のコンパクト連結リー群Gに対して結果を証明した。この結果は、グレアム・シーガルの学位論文 [48] の結果を組み込むことによってすぐにすべてのコンパクトリー群に拡張できたが、その拡張は複雑であった。しかし、同変 K 理論、すなわちコンパクトな G 空間 X 上の G ベクトル束の同値類を導入することで、より単純で一般的な証明が生成された。 [ 49 ]適切な条件下では、Xの同変K理論の完備化は、ファイバーXでBG上にファイバー化された空間 の通常の K 理論と同型であることが示された。
元の結果は、 X を点とすることで系として導かれました。つまり、左辺はR(G)の完備化に簡約され、右辺はK(BG)に簡約されました。詳細については、 アティヤ・シーガルの完備化定理を参照してください。
彼はボルディズムとコボルディズムと呼ばれる新しい一般化されたホモロジーとコホモロジー理論を定義し、ルネ・トム、CTCウォールらによって発見された多様体のコボルディズムに関する深い結果の多くが、これらのコホモロジー理論に関する命題として自然に再解釈できることを指摘した。[50]これらのコホモロジー理論のいくつか、特に複素コボルディズムは、知られている中で最も強力なコホモロジー理論のいくつかであることが判明した。
「代数学は悪魔が数学者に提供するものです。悪魔はこう言います。『この強力な機械をあなたにあげましょう。あなたの好きな質問に何でも答えてくれます。あなたが私に魂を捧げるだけでいいのです。幾何学を捨てれば、この素晴らしい機械が手に入ります。』」
マイケル・アティヤ[51]
彼は有限複体XのJ群J ( X )を導入した[52] 。これは球束の安定ファイバーホモトピー同値類の群として定義される。これは後にJFアダムスによって一連の論文で詳細に研究され、アダムス予想につながった。
彼はヒルツェブルフとともにグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理を複素解析的埋め込みに拡張し[52]、関連論文[53]では、整コホモロジーに対するホッジ予想が誤りであることを示した。有理コホモロジーに対するホッジ予想は、2008年現在、未解決の大きな問題である。[54]
ボット周期性定理はアティヤのK理論の研究の中心テーマであり、彼は何度もこの定理に立ち戻り、よりよく理解するために何度も証明を書き直した。ボットとともに彼は初等的な証明を完成し、[55]彼の著書に別のバージョンを与えた。[56]ボットとシャピロとともに彼はボット周期性とクリフォード代数の周期性の関係を分析した。[57]この論文には周期性定理の証明はなかったが、その後まもなくR.ウッドが同様の証明を見つけた。彼は楕円演算子を使ったいくつかの一般化の証明を見つけた。[58]この新しい証明は、ボットの元の周期性定理の特に短くて簡単な証明を与えるために彼が使ったアイデアを使った。[59]
インデックス理論（1963-1984）
アティヤの指数理論に関する研究は、彼の著作集の第3巻と第4巻に再録されている。[60] [61]
微分演算子のインデックスは、独立解の数と密接に関係しています (より正確には、微分演算子とその随伴演算子の独立解の数の差です)。数学には、ある微分演算子の独立解の数を見つける問題に簡単に還元できる難しい基本的な問題が多数あります。そのため、微分演算子のインデックスを見つける手段があれば、これらの問題は多くの場合解決できます。これがアティヤ-シンガーのインデックス定理の役割です。この定理は、非常に複雑に見えますが、実際には計算が簡単な位相不変量を使用して、特定の微分演算子のインデックスの式を提供します。[引用が必要]
ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理など、いくつかの深い定理は、アティヤ・シンガーの指数定理の特別なケースです。実際、指数定理はより強力な結果をもたらしました。なぜなら、ヒルツェブルッフの証明は射影多様体に対してしか機能しなかったのに対し、指数定理の証明はすべてのコンパクト複素多様体に適用されたからです。また、多くの新しい応用もありました。典型的な応用は、インスタントンのモジュライ空間の次元を計算することです。指数定理は「逆」に実行することもできます。指数は明らかに整数であるため、その式も整数を与える必要があり、多様体の不変量に微妙な整数条件を与えることがあります。この典型的な例は、指数定理から導かれるロッホリンの定理です。[要出典]
私が数学の学生に与える最も役立つアドバイスは、印象に残る定理であっても、それが単純かつ自明で はない特別なケースを持たない場合は、常に疑うべきだということです。
マイケル・アティヤ[62]
楕円微分作用素の指数問題は1959年にゲルファンドによって提起された。[63]彼は指数のホモトピー不変性に注目し、位相不変量を用いてその公式を求めた。動機となった例としては、リーマン・ロッホの定理とその一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理、ヒルツェブルッフの署名定理などがある。ヒルツェブルッフとボレルはスピン多様体の種数の整数性を証明しており、アティヤはこの整数性がディラック作用素の指数であれば説明できると示唆した（これは1961年にアティヤとシンガーによって再発見された）。
アティヤ＝シンガーの定理の最初の発表は、1963年の論文でした。[64]この発表で概説された証明は、ヒルツェブルッフのヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理の証明に触発されたもので、パレの著書には記載されているものの、彼らによって公表されることはありませんでした。[65]彼らが最初に公表した証明[66]は、グロタンディークのグロタンディーク＝リーマン＝ロッホの定理の証明に似ており、最初の証明のコボルディズム理論をK理論に置き換えたものであり、彼らはこのアプローチを使用して、1968年から1971年にかけて一連の論文でさまざまな一般化の証明を示しました。
楕円作用素を 1 つだけ考えるのではなく、ある空間Yによってパラメータ化された楕円作用素の族を考えることもできる。この場合、添え字は整数ではなく、Yの K 理論の要素である。 [67]族内の作用素が実数であれば、添え字はYの実 K 理論に含まれる。これにより、 Yの実 K 理論から複素 K 理論への写像が必ずしも単射ではないため、少し余分な情報が得られる。[68]
アティヤはボットとともに、楕円型作用素に対するレフシェッツ不動点定理の類似物を発見し、楕円複体の自己準同型のレフシェッツ数を自己準同型の不動点上の和で与えた。[69]特殊なケースとして、彼らの公式にはワイル指標公式や、複素乗算を伴う楕円曲線に関するいくつかの新しい結果が含まれていたが、そのうちのいくつかは当初専門家に信じられなかった。[70] アティヤとシーガルは、この不動点定理を次のように指数定理と組み合わせた。楕円型作用素と可換なコンパクト多様体Xへの群Gのコンパクト群作用がある場合、指数定理の通常の K 理論を同変 K 理論で置き換えることができる。これは、自明な群Gに対しては指数定理を与え、孤立した不動点と作用する有限群Gに対してはアティヤ–ボット不動点定理を与える。一般に、これは群Gの不動点部分多様体上の和として指数を与える。[71]
アティヤ[72]は、ヘルマンダーとゲルファンドが独立に問うた、解析関数の複素べき乗が超関数を定義するかどうかという問題を解いた。アティヤは、広中の特異点の解決を用いて、これに肯定的に答えた。ほぼ同時期にJ.バーンスタインが独創的で初歩的な解を見つけ、アティヤが議論した。[73]
同変指数定理の応用として、アティヤとヒルツェブルッフは、有効円作用を持つ多様体はÂ-種数がゼロになることを示した。[74]（リヒネロヴィッチは、多様体が正のスカラー曲率の計量を持つ場合、 Â-種数がゼロになることを示した。）
アティヤはエルマー・リースとともに、射影空間上の位相的ベクトル束と正則ベクトル束の関係の問題を研究した。彼らは、射影3次元空間上の階数2のベクトル束はすべて正則構造を持つことを示すことにより、最も単純な未知のケースを解決した。[75] ホロックスは以前にそのようなベクトル束のいくつかの非自明な例を発見しており、後にアティヤはそれを4次元球面上のインスタントンの研究に使用した。
アティヤ、ボット、ビジェイ・K・パトディ[76]は熱方程式を用いて指数定理の新しい証明を与えた。
多様体に境界が許される場合、有限の指数を保証するために、楕円型作用素の定義域に何らかの制約を課さなければならない。これらの条件は局所的なもの（境界で定義域のセクションが消えることを要求するなど）でも、より複雑な大域的な条件（定義域のセクションが何らかの微分方程式を解くことを要求するなど）でもよい。局所的なケースはアティヤとボットによって解決されたが、彼らは多くの興味深い作用素（例えば、シグネチャ作用素）が局所的な境界条件を許容しないことを示した。これらの作用素を扱うために、アティヤ、パトーディ、シンガーは境界に沿って多様体に円筒を取り付け、次に定義域を円筒に沿って平方積分可能なセクションに制限することと等価な大域的境界条件を導入し、またアティヤ・パトーディ・シンガーのイータ不変量 を導入した。この結果、スペクトル非対称性に関する一連の論文が発表され、[77]これらは後に理論物理学、特にウィッテンの異常に関する研究 で予想外に使用された。
線形双曲偏微分方程式の基本解には、ペトロフスキーの空隙、つまり解が同一に消える領域がしばしば存在する。これらは1945年にIGペトロフスキーによって研究され、どの領域が空隙であるかを記述する位相条件が発見された。アティヤはボットおよびラース・ゴーディングと共同で、ペトロフスキーの研究を更新し一般化した3つの論文を執筆した。[78]
アティヤ[79] は、コンパクト商を持つ離散群によって作用される非コンパクト多様体に指数定理を拡張する方法を示した。楕円作用素の核は、この場合一般に無限次元であるが、フォン・ノイマン代数上のモジュールの次元を使用して有限の指数を得ることが可能である。この指数は一般に整数値ではなく実数値である。このバージョンはL 2指数定理と呼ばれ、アティヤとシュミット[80]によって、平方積分可能な調和スピノルを使用して、半単純リー群のハリシュ・チャンドラの離散級数表現の幾何学的構成を与えるために使用された。この研究の過程で、彼らは、リー群の指標の局所積分可能性に関するハリシュ・チャンドラの基本定理のより基本的な証明を見つけた。[81]
彼はH.ドネリーとI.シンガーとともに、ヒルツェブルッフの公式（ヒルベルトモジュラー面の尖端における特徴的欠陥をL関数の値に関連付ける）を実二次体からすべての完全実体に拡張した。[82]
ゲージ理論 (1977–1985)
ゲージ理論とそれに関連する話題に関する彼の論文の多くは、彼の全集第5巻に再録されている。[83]これらの論文の共通のテーマは、特定の非線型偏微分方程式、特にインスタントンとモノポールの方程式の解のモジュライ空間の研究である。これには、一見全く異なる2つの方程式の解の間に微妙な対応関係を見つけることがしばしば含まれる。アティヤが繰り返し使用したこの初期の例はペンローズ変換であり、これは時にはある実多様体上の非線型方程式の解を、異なる複素多様体上の線型正則方程式の解に変換することができる。
数人の著者と共同で執筆した一連の論文で、アティヤはすべてのインスタントンを 4 次元ユークリッド空間に分類した。球面はコンパクトであるため、インスタントンを球面上に分類する方が便利であり、これは本質的にはユークリッド空間上にインスタントンを分類することと等価である。なぜなら、球面は共形的に同値であり、インスタントンの方程式は共形不変だからである。ヒッチンとシンガー[84]とともに、彼はコンパクトな 4 次元リーマン多様体上の任意の主バンドルに対する既約自己双対接続 (インスタントン) のモジュライ空間の次元を計算した (アティヤ・ヒッチン・シンガーの定理)。たとえば、ランクk >0 の SU 2インスタントンの空間の次元は8 k −3 である。これを行うために、彼らはアティヤ・シンガーの指数定理を使用して、ある点でのモジュライ空間の接空間の次元を計算した。接空間は本質的に楕円微分作用素の解の空間であり、非線形ヤン・ミルズ方程式の線型化によって与えられる。これらのモジュライ空間は後にドナルドソンが4 次元多様体の不変量を構成するために使用された。アティヤとウォードはペンローズ対応を使用して、4 次元球面上のすべてのインスタントンの分類を代数幾何学の問題に還元した。[85]彼はヒッチンとともにホロックスのアイデアを使用してこの問題を解決し、球面上のすべてのインスタントンのADHM 構成を与えた。マニンとドリンフェルドも同時に同じ構成を発見し、4 人の著者による共同論文につながった。[86]アティヤはこの構成を四元数を使用して再定式化し、ユークリッド空間上のインスタントンのこの分類についてのゆったりとした説明を本にまとめた。[87]
過去に解決された数学の問題や物理学から生まれた技術は、数学の生命線となってきました。
マイケル・アティヤ[88]
アティヤのインスタントンモジュライ空間に関する研究は、ドナルドソンのドナルドソン理論に関する研究で利用された。ドナルドソンは、正定値交差形式を持つコンパクトな単連結4 次元多様体上の (次数 1) インスタントンのモジュライ空間をコンパクト化して、多様体と複素射影空間のコピーの和との間にコボルディズムを与えることができることを示した。彼はこのことから、交差形式は 1 次元の交差形式の合計でなければならないと推論し、これは 4 次元ユークリッド空間上の非等価な滑らかな構造の存在など、滑らかな 4 次元多様体へのいくつかの素晴らしい応用につながった。ドナルドソンは、アティヤが研究した他のモジュライ空間を使用してドナルドソン不変量を定義し、これは滑らかな 4 次元多様体の研究に革命をもたらし、それらが他のどの次元の滑らかな多様体よりも微妙であり、また位相的な 4 次元多様体とはまったく異なることを示した。アティヤはこれらの結果のいくつかを概説講演で説明した。[89]
線型偏微分方程式のグリーン関数は、フーリエ変換を使って代数問題に変換することで見つけられることが多い。アティヤはこのアイデアの非線形バージョンを使用した。[90]彼はペンローズ変換を使って共形不変ラプラシアンのグリーン関数を複素解析オブジェクトに変換したが、これは本質的にはペンローズツイスター空間をその正方形に対角的に埋め込んだものであることが判明した。これにより、彼は4次元多様体上の共形不変グリーン関数の明示的な式を見つけることができた。
ジョーンズとの共著論文[91]では、 4次元球面上のSU(2)インスタントンのモジュライ空間の位相を研究した。彼らは、このモジュライ空間からすべての接続の空間への自然な写像が、ある範囲の次元でホモロジー群のエピモーフィズムを誘導することを示し、同じ範囲の次元でホモロジー群の同型を誘導する可能性があることを示唆した。これはアティヤ・ジョーンズ予想として知られるようになり、後に数人の数学者によって証明された。[92]
ハーダーとMSナラシムハンは、有限体上のモジュライ空間の点の数を数えることによって、リーマン面上の安定ベクトル束のモジュライ空間のコホモロジーを記述し、次にヴェイユ予想を使用して複素数上のコホモロジーを回復した。 [93] アティヤとR.ボットは、モース理論とリーマン面上のヤン・ミルズ方程式を使用して、ハーダーとナラシムハンの結果を再現し拡張した。[94]
シュアとホーンによる古い結果では、与えられた固有値を持つエルミート行列の可能な対角ベクトルの集合は、固有値のすべての順列の凸包であると述べられている。アティヤは、この一般化がトーラスによって作用されるすべてのコンパクトシンプレクティック多様体に当てはまることを証明し、モーメントマップによる多様体の像が凸多面体であることを示した。[95]また、プレスリーとともに、無限次元ループ群に関連する一般化を与えた。[96]
デュイスターマートとヘックマンは、トーラス作用のモーメント写像のリウヴィル測度の押し出しが、定常位相近似（一般には厳密なものではなく漸近展開にすぎない）によって正確に与えられるという、印象的な公式を発見した。アティヤとボット[97]は、これが同変コホモロジーにおけるより一般的な公式から演繹できることを示した。同変コホモロジーは、よく知られた局在定理の結果である。アティヤは[98]、モーメント写像が幾何学的不変理論と密接に関連していることを示し、このアイデアは後に彼の学生であるF. カーワンによってさらに発展させられた。ウィッテンはその後まもなく、デュイスターマート-ヘックマン公式をループ空間に適用し、これがディラック演算子のアティヤ-シンガー指数定理を正式に与えることを示した。このアイデアはアティヤによって講義された。[99]
彼はヒッチンとともに磁気単極子の研究を行い、ニック・マントンのアイデアを使ってその散乱を研究した。[100]彼とヒッチンとの共著[101]には、彼らの磁気単極子に関する研究が詳細に記述されている。その本の主なテーマは、磁気単極子のモジュライ空間の研究である。これは自然なリーマン計量を持ち、重要な点は、この計量が完全かつ超ケーラーであるということである。次に、この計量は、モジュライ空間上の測地線流が散乱の低エネルギー近似であるという N. マントンの示唆を使って、2 つの単極子の散乱を研究するために使用される。例えば、彼らは、2 つの単極子が正面衝突すると 90 度の散乱が生じ、散乱の方向は 2 つの単極子の相対位相に依存することを示している。彼はまた、双曲空間上の単極子の研究も行った。[102]
アティヤは[103]、 4次元のインスタントンは2次元のインスタントンと同一視でき、扱いがはるかに簡単であることを示した。もちろん、4次元から2次元に移行すると、ゲージ理論の構造群が有限次元群から無限次元ループ群に変化するという落とし穴がある。これは、一見無関係な2つの非線形偏微分方程式の解のモジュライ空間が本質的に同じであることが判明する別の例を示している。
アティヤとシンガーは、量子場理論の異常性がディラック演算子の指数理論によって解釈できることを発見した。[104]この考えは後に物理学者によって広く使われるようになった。
後期作品（1986年～2019年）
彼の全集第6巻[105]に収録されている論文の多くは、概説、追悼記事、一般的な講演である。アティヤはその後も、いくつかの概説、一般向けの本[106] 、およびシーガルとの共著によるツイストK理論に関する論文など、出版を続けた。
一つの論文[107]は、位相幾何学と指数定理の観点から デデキントのイータ関数を詳細に研究したものである。
この頃の彼の論文のいくつかは、場の量子論、結び目、ドナルドソン理論の関係を研究している。彼は、ウィッテンの研究とシーガルの共形場理論の定義に触発されて、位相的量子場理論の概念を導入した。 [108]彼の著書「結び目の幾何学と物理学」[109]では、位相的量子場理論の観点からヴォーン・ジョーンズとエドワード・ウィッテンによって発見された新しい結び目不変量を説明しており、L・ジェフリーとの共著論文[110]では、ドナルドソン不変量を与えるウィッテンのラグランジアンについて説明している。
彼はニック・マントンと共にスキルミオンを研究し、 [111]磁気単極子とインスタントンとの関係を発見し、 2つのスキルミオンのモジュライ空間が複素射影3次元空間の特定の部分商として構造するという予想を与えた。
いくつかの論文[112]は、ジョナサン・ロビンスの問題 (ベリー–ロビンス問題と呼ばれる) に触発されたものである。ロビンスは、3 次元空間のn点の配置空間からユニタリ群の旗多様体への写像が存在するかどうかを尋ねた。アティヤはこの質問に肯定的な回答をしたが、彼の解決策は計算量が多すぎると感じ、より自然な解を与える予想を研究した。彼はまた、この問題をナームの方程式に関連付け、配置に関するアティヤ予想を導入した。
しかし、ほとんどの実用的な目的には、古典的な群を使用するだけです。例外的なリー群は、理論が少し大きいことを示すためだけに存在し、実際に現れることは非常にまれです。
マイケル・アティヤ[113]
彼はフアン・マルダセナ、カムルン・ヴァファ[114]、E・ウィッテン[115]とともに、G2ホロノミーを持つ多様体上のM理論のダイナミクスを記述した。これらの論文はアティヤが例外リー群について取り組んだ最初の論文と思われる。
M.ホプキンス[116]およびG.シーガル[117]との論文では、彼は以前の関心であったK理論に戻り、理論物理学への応用を伴うK理論のいくつかのねじれた形態について記述した。
2016年10月、彼は6次元球面上に複素構造が存在しないという短い証明を主張した[118]。彼の証明は、多くの先人たちと同様に、改訂版に書き直された後も数学界では欠陥があると考えられている。[119] [120]
2018年のハイデルベルク賞受賞者フォーラムで、彼はヒルベルトの第8問題であるリーマン予想を微細構造定数を用いた背理法により解決したと主張した。しかし、この証明は成立せず、この予想は2024年現在、数学における未解決のミレニアム問題6つのうちの1つとなっている。[121] [122]
文献
書籍
このサブセクションでは、アティヤが書いたすべての書籍をリストします。彼が編集したいくつかの書籍は省略されています。
- アティヤ、マイケル F.;マクドナルド、イアン G. (1969)、可換代数入門、アディソン・ウェスリー出版、マサチューセッツ州レディング-ロンドン-オンタリオ州ドン・ミルズ、MR 0242802標準的な可換代数を扱った古典的な教科書。
- Atiyah、Michael F. (1970)、多様体上のベクトル場、Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen、Heft 200、ケルン: Westdeutscher Verlag、MR 0263102（Atiyah 1988b、項目50）として転載。
- アティヤ、マイケル F. (1974)、「楕円演算子とコンパクト群」、数学講義ノート、第 401 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、MR 0482866（Atiyah 1988c、項目78）として転載。
- Atiyah、Michael F. (1979)、Yang-Mills フィールドの幾何学、Scuola Normale Superiore Pisa、ピサ、MR 0554924（Atiyah 1988e、項目99）として転載。
- アティヤ、マイケル F.; ヒッチン、ナイジェル (1988)、「磁気単極子の幾何学とダイナミクス」、MB ポーター講義、プリンストン大学出版、doi :10.1515/9781400859306、ISBN 978-0-691-08480-0、MR 0934202（Atiyah 2004、項目126）として転載。
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- アティヤ、マイケル F. (1988b)、全集。第 2 巻 K 理論、オックスフォード サイエンス パブリケーションズ、クラレンドン プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853276-7、MR 0951892。
- アティヤ、マイケル F. (1988c)、全集。第 3 巻、索引理論: 1、オックスフォード サイエンス パブリケーションズ、クラレンドン プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853277-4、MR 0951892。
- アティヤ、マイケル F. (1988d)、全集。第 4 巻、索引理論: 2、オックスフォード サイエンス パブリケーションズ、クラレンドン プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853278-1、MR 0951892。
- アティヤ、マイケル F. (1988e)、Collected works. Vol. 5 Gauge theory、Oxford Science Publications、The Clarendon Press Oxford University Press、ISBN 978-0-19-853279-8、MR 0951892。
- アティヤ、マイケル F. (1989)、K理論、Advanced Book Classics (第2版)、Addison-Wesley、ISBN 978-0-201-09394-0、MR 1043170初版（1967年）は（Atiyah 1988b、項目45）として再版されました。
- アティヤ、マイケル F. (1990)、「結び目の幾何学と物理学」、リンチェイ講義集、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511623868、ISBN 978-0-521-39521-2、MR 1078014（Atiyah 2004、項目136）として転載。
- アティヤ、マイケル F. (2004)、全集。第 6 巻、オックスフォード サイエンス パブリケーションズ、クラレンドン プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853099-2、MR 2160826。
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- アティヤ、マイケル F.、イアゴルニッツァー、ダニエル、チョン、チタット (2015)、「フィールズ賞受賞者講演 (第 3 版)」、World Scientific、doi :10.1142/9652、ISBN 978-981-4696-18-0。
選ばれた論文
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- アティヤ、マイケル F.;ヒルツェブルッフ、フリードリヒ(1961)、「ベクトル束と同次空間」、純粋数学シンポジウム論文集、第 3 巻、pp. 7–38、doi :10.1090/pspum/003/0139181、ISBN 9780821814031（Atiyah 1988b、論文28）に再録。
- アティヤ、マイケル F.;シーガル、グレアム B. (1969)、「同変 K 理論と完成」、微分幾何学ジャーナル、3 (1–2): 1–18、doi : 10.4310/jdg/1214428815（Atiyah 1988b、論文49）に再録。
- Atiyah、Michael F. (1976)、「楕円演算子、離散群、およびフォン・ノイマン代数」、コロク「分析とトポロジー」アン・ロヌール・ド・アンリ・カルタン (オルセー、1974)、アスタリスク、vol. 32–33、学会。数学。フランス、パリ、43–72 ページ、MR 0420729. (Atiyah 1988d、論文 89) に再録。L 2 -ベッティ数の合理性に関するAtiyah「予想」の定式化。
- アティヤ、マイケル F.; シンガー、イサドア M. (1963)、「コンパクト多様体上の楕円演算子のインデックス」、Bull. Amer. Math. Soc.、69 (3): 322–433、doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10957-X指数定理の発表。(Atiyah 1988c、論文56)に再録。
- アティヤ、マイケル F.; シンガー、イサドア M. (1968a)、「楕円演算子の索引 I」、数学年報、87 (3): 484–530、doi :10.2307/1970715、JSTOR 1970715これはコホモロジーの代わりにK理論を使った証明である。(Atiyah 1988c、論文64)に再録されている。
- アティヤ、マイケル F.; シーガル、グレアム B. (1968)、「楕円演算子の索引: II」、数学年報、第 2 シリーズ、87 (3): 531–545、doi :10.2307/1970716、JSTOR 1970716これは、同変K理論を使用して、結果を一種のレフシェッツ不動点定理として再定式化します。(Atiyah 1988c、論文65)に再録されています。
- アティヤ、マイケル F.; シンガー、イサドア M. (1968b)、「楕円演算子の索引 III」、数学年報、第 2 シリーズ、87 (3): 546–604、doi :10.2307/1970717、JSTOR 1970717この論文では、K理論バージョンからコホモロジーを使用したバージョンに変換する方法を示します。(Atiyah 1988c、論文66)に再掲載。
- アティヤ、マイケル F.; シンガー、イサドア M. (1971)、「楕円演算子の索引 IV」、数学年報、第 2 シリーズ、93 (1): 119–138、doi :10.2307/1970756、JSTOR 1970756この論文では楕円演算子の族を研究します。ここで、インデックスは族をパラメータ化する空間の K 理論の要素です。(Atiyah 1988c、論文 67) に再掲載。
- アティヤ、マイケル F.; シンガー、イサドア M. (1971)、「楕円演算子の索引 V」、数学年報、第 2 シリーズ、93 (1): 139–149、doi :10.2307/1970757、JSTOR 1970757これは、実数（複素数ではない）の楕円演算子の族を研究するもので、少し余分な情報を引き出すことができる場合があります。(Atiyah 1988c、論文 68) に再掲載。
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- アティヤ、マイケル F.; ボット、ラウル (1967)、「楕円複体のレフシェッツ不動点公式: I」、数学年報、第 2 シリーズ、86 (2): 374–407、doi :10.2307/1970694、JSTOR 1970694(Atiyah 1988c、論文 61 に再録) およびAtiyah, Michael F.、Bott, Raoul (1968)、「楕円複体の Lefschetz 固定点式: II. 応用」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、88 (3): 451–491、doi :10.2307/1970721、JSTOR 1970721（Atiyah 1988c、論文62）に再録。これらは、前回の論文で発表された結果の証明といくつかの応用を示しています。
- Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul; Patodi, Vijay K. (1973)、「熱方程式と指数定理について」(PDF)、Invent. Math.、19 (4): 279–330、Bibcode :1973InMat..19..279A、doi :10.1007/BF01425417、MR 0650828、S2CID 115700319;アティヤ、マイケル F.; ボット、R.; パトディ、VK (1975)、「Errata」、Invent. Math.、28 (3): 277–280、Bibcode :1975InMat..28..277A、doi : 10.1007/BF01425562、MR 0650829(Atiyah 1988d、論文79、79a)に再録。
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- アティヤ、マイケル (2010)、エディンバラ幾何学、解析学、物理学講義、arXiv : 1009.4827v1、Bibcode :2010arXiv1009.4827A
受賞と栄誉
1966年、37歳だった彼は、 K理論、一般化されたレフシェッツ不動点定理、アティヤ・シンガー定理の開発に関する研究でフィールズ賞を受賞[123]し、 2004年にはイサドア・シンガーと共同でアーベル賞も受賞した[124]。 その他の受賞歴としては、 1968年の王立協会ロイヤルメダル、[125] 1980年のロンドン数学会ド・モルガンメダル、1981年のリンチェイ国立アカデミーのアントニオ・フェルトリネッリ賞、 1987年のファイサル国王国際科学賞、[126] 1988年の王立協会コプリーメダル、[127]物理学および物理科学における顕著な業績に対するベンジャミン・フランクリンメダルなどがある。1993年にアメリカ哲学協会から名誉博士号[128] 、 1993年にインド国立科学アカデミーからジャワハルラール・ネルー生誕100周年記念メダル[129]、2008年に物理学研究所から大統領メダル[130] 、 2010年にフランス科学アカデミーからグランド・メダル[131] 、 2011年にフランス・レジオンドヌール勲章グラン・オフィシエ[132]を受賞した。
彼は、米国科学アカデミー、アメリカ芸術科学アカデミー（1969年）、[133]科学アカデミー、レオポルディーナアカデミー、スウェーデン王立アカデミー、アイルランド王立アカデミー、エディンバラ王立協会、アメリカ哲学協会、インド国立科学アカデミー、中国科学アカデミー、オーストラリア科学アカデミー、ロシア科学アカデミー、ウクライナ科学アカデミー、グルジア科学アカデミー、ベネズエラ科学アカデミー、ノルウェー科学文学アカデミー、スペイン王立科学アカデミー、リンチェイアカデミー、モスクワ数学会の外国人会員に選出された。 [ 8 ] [ 12 ] 2012年、彼はアメリカ数学会のフェローとなった。[134]彼はまた、1993年に王立工学アカデミー[135]の名誉会員[135 ]に任命されました。
アティヤは、バーミンガム大学、ボン大学、シカゴ大学、ケンブリッジ大学、ダブリン大学、ダーラム大学、エディンバラ大学、エセックス大学、ゲント大学、ヘルシンキ大学、レバノン大学、レスター大学、ロンドン大学、メキシコ大学、モントリオール大学、オックスフォード大学、レディング大学、サラマンカ大学、セントアンドリュース大学、サセックス大学、ウェールズ大学、ウォーリック大学、ベイルート・アメリカン大学、ブラウン大学、プラハ・チャールズ大学、ハーバード大学、ヘリオット・ワット大学、香港（中華大学）、キール大学、クイーンズ大学（カナダ）、オープン大学、ウォータールー大学、ウィルフリッド・ローリエ大学、カタロニア工科大学、UMISTから名誉学位を授与された。[8] [12] [136] [137]
アティヤは1983年にナイト爵を授与され[8] 、 1992年にはメリット勲章を受章した[12]。
レスター大学のマイケル・アティヤ・ビル[138]とベイルート・アメリカン大学の マイケル・アティヤ数学科学教授職[139]は彼にちなんで名付けられました。
私生活
アティヤは1955年7月30日にリリー・ブラウンと結婚し、ジョン、デイビッド、ロビンの3人の息子をもうけた。アティヤの長男ジョンは、妻のマジ・リスとともにピレネー山脈でハイキング旅行中に2002年6月24日に亡くなった。
リリー・アティヤは2018年3月13日に90歳で亡くなりました[4] [6] [8]。一方、マイケル・アティヤ卿はそれから1年も経たない2019年1月11日に89歳で亡くなりました[140] [141]。
参照
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外部リンク
Wikiquote にはマイケル・アティヤに関する引用があります。
- マイケル・アティヤがWeb of Storiesで自身の人生について語る
- 2009年4月20日から24日までエディンバラで行われたマイケル・アティヤの80歳の誕生日のお祝い
- マイケル・アティヤの数学の子孫
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- Celebratio Mathematicaの Michael Atiyah の作品リスト
- Connes, Alain; Kouneiher, Joseph (2019). 「マイケル・アティヤ卿、ナイト数学者: インスピレーションを与え、友人であったマイケル・アティヤへの賛辞」アメリカ数学会報. 66 (10): 1660–1685. arXiv : 1910.07851 . Bibcode :2019arXiv191007851C. doi :10.1090/noti1981. S2CID 204743755.
- ロンドンのナショナル・ポートレート・ギャラリーにあるマイケル・アティヤの肖像画