K3表面

数学において、複素解析的K3 面は、自明な標準バンドルと不規則性ゼロを持つ次元 2 のコンパクトな連結複素多様体です。任意の体上の (代数的) K3 面は、同じ条件を満たす滑らかな適切な幾何学的に連結な代数面を意味します。エンリケス-コダイラの曲面分類では、K3 面はコダイラ次元0の極小曲面の 4 つのクラスの 1 つを形成します。簡単な例として、フェルマーの4 次曲面があります。

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$

複素射影3次元空間において。

2次元コンパクト複素トーラスとともに、K3曲面は次元2のカラビ・ヤウ多様体（およびハイパーケーラー多様体）です。そのため、これらは代数曲面の分類の中心に位置し、正に曲がったデルペッツォ曲面（分類が容易）と一般型の負に曲がった曲面（本質的に分類不可能）の間に位置しています。K3曲面は、その構造が曲線やアーベル多様体に還元されない最も単純な代数多様体であると考えられますが、それでも実質的な理解は可能です。複素K3曲面は実次元が4であり、滑らかな4次元多様体の研究で重要な役割を果たしています。K3曲面は、カッツ・ムーディ代数、ミラー対称性、弦理論に応用されています。

複素代数 K3 曲面を、より広い複素解析 K3 曲面の族の一部として考えると便利です。他の多くの種類の代数多様体には、このような非代数的変形はありません。

K3 曲面を定義するには、同等の方法がいくつかあります。自明な正準バンドルを持つコンパクトな複素曲面は、K3 曲面とコンパクトな複素トーラスだけなので、後者を除く任意の条件を追加して K3 曲面を定義できます。たとえば、複素解析 K3 曲面を、どこにも消えない正則2 形式を持つ次元 2 の単連結コンパクト複素多様体として定義することは同等です。(後者の条件は、正準バンドルが自明であることを正確に示しています。)

定義にはいくつかのバリエーションもあります。複素数上では、代数 K3 曲面のみを考慮する著者もいます。(代数 K3 曲面は自動的に射影的になります。^{[1] ) あるいは、K3 曲面が滑らかであるのではなく、}デュバル特異点(次元 2 の標準特異点)を持つことを許容する人もいます。

複素解析的K3曲面のベッティ数は次のように計算される。[ 2 ^]（同様の議論は、l進コホモロジーを使用して定義された任意の体上の代数的K3曲面のベッティ数についても同じ答えを与える。）定義により、正準バンドルは自明であり、不規則性q（X ）（コヒーレント層コホモロジー群の次元）はゼロである。セール双対性により、 ${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{2}}$${\displaystyle h^{1}(X,O_{X})}$${\displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$

${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.}$

その結果、Xの算術種数 (または正則オイラー特性) は次のようになります。

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.}$

一方、リーマン・ロッホの定理（ネーターの公式）は次のように言います。

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),}$

ここで、 は接バンドルのi番目のチャーン類です。は自明なので、その最初のチャーン類は0 であり、 となります。 ${\displaystyle c_{i}(X)}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)}$${\displaystyle c_{2}(X)=24}$

次に、指数列は コホモロジー群の正確な列を与えるので、 となる。したがってベッティ数はゼロであり、ポアンカレ双対性により、もゼロとなる。最後に、は位相的オイラー特性に等しい。${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0}$${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0}$${\displaystyle b_{1}(X)}$${\displaystyle b_{3}(X)}$${\displaystyle c_{2}(X)=24}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).}$

および なので、となる。^[3]${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$${\displaystyle b_{2}(X)=22}$

• 任意の2つの複素解析的K3曲面は滑らかな4次元多様体として微分同相である、小平邦彦^[4]
• Yum-Tong Siuによれば、すべての複素解析 K3 曲面はケーラー計量を持つ。^[5]（類似しているが、はるかに簡単：体上のすべての代数 K3 曲面は射影的である。）Shing-Tung YauによるCalabi 予想の解決によれば、すべての複素解析 K3 曲面はリッチ平坦ケーラー計量を持つ。
• 任意の K3 曲面のホッジ数はホッジ ダイヤモンドにリストされます。

  これを示す一つの方法は、特定のK3曲面のヤコビアンイデアルを計算し、代数的K3曲面のモジュライ上のホッジ構造のバリエーションを使用して、そのようなK3曲面はすべて同じホッジ数を持つことを示すことです。より低レベルの計算は、任意のK3曲面に対して計算されたホッジ構造の部分とともにベッティ数の計算を使用して行うことができます。この場合、ホッジ対称性は を強制するため、 となります。特性p > 0のK3曲面の場合、これはAlexey RudakovとIgor Shafarevichによって初めて示されました。^[6]${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{0}(X;\Omega _{X}^{2})\cong \mathbb {C} }$${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong \mathbb {C} ^{20}}$

• 複素解析K3面Xに対して、上の交差形式（またはカップ積）は整数の値を持つ対称双線型形式で、 K3格子と呼ばれる。これは偶ユニモジュラー格子、または同等のと同型であり、ここでUは階数2の双曲格子、はE8格子である。^[7]${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle \オペレーター名 {II} _{3,19}}$${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$${\displaystyle E_{8}}$
• 松本幸夫の11/8予想は、偶交差形式を持つすべての滑らかな有向4次元多様体Xは、符号の絶対値の少なくとも11/8倍の第二ベッチ数を持つことを予測する。これが真実であれば最適である。なぜなら、符号が3−19 = −16である複素K3曲面に対して等式が成り立つからである。この予想は、偶交差形式を持つすべての単連結な滑らかな4次元多様体は、K3曲面とのコピーの連結和に同相であることを意味する。^[8]${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• K3 曲面に微分同相なすべての複素曲面は K3 曲面であると、ロバート・フリードマンとジョン・モーガンは主張している。一方、K3 曲面に同相だが微分同相ではない滑らかな複素曲面（一部は射影的）が存在すると、小平とマイケル・フリードマンは主張している。^[9]これらの「ホモトピー K3 曲面」はすべて小平次元 1 を持つ。

• 滑らかな 6 次 (次数 6) 曲線に沿って分岐した射影平面の二重被覆 X は、種数 2 の K3 曲面 (つまり、次数 2 g −2 = 2) です。 (この用語は、の一般超平面のXにおける逆像が種数2の滑らかな曲線であることを意味します。)${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$
• の滑らかな 4 次 (次数 4) 曲面は、種数 3 (つまり、次数 4) の K3 曲面です。${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$
• クンマー面は、 2次元アーベル多様体 Aを作用 で割った商です。この結果、 Aの2次元捩れ点に16個の特異点が生じます。この特異面の最小解はクンマー面とも呼ばれ、その解は K3 面です。A が種数 2 の曲線のヤコビアンである場合、クンマーは商を 16 個のノードを持つ 4 次曲面としてに埋め込むことができることを示しました。${\displaystyle a\mapsto -a}$${\displaystyle A/(\pm 1)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$
• より一般的には、デュバル特異点を持つ任意の4 次曲面Yに対して、 Yの最小解像度は代数 K3 曲面です。
• における2 次曲面と 3 次曲面の交差は、種数 4 (つまり、次数 6) の K3 曲面です。${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$
• の 3 つの二次曲線の交差は、種数 5 (つまり、次数 8) の K3 曲面です。${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$
• 重み付き射影空間におけるデュヴァル特異点を持つK3曲面のデータベースはいくつか存在する。^[10]

複素解析 K3 曲面Xのピカール群Pic ( X ) は、 X上の複素解析直線束のアーベル群です。代数 K3 曲面の場合、 Pic( X ) はX上の代数直線束の群です。ジャン＝ピエール・セールのGAGA定理 により、複素代数 K3 曲面では 2 つの定義が一致します。

K3 曲面Xのピカール群は常に有限生成自由アーベル群であり、その階数はピカール数 と呼ばれます。複素数の場合、Pic( X ) は の部分群です。K3 曲面の重要な特徴は、多くの異なるピカール数が発生する可能性があることです。X に対して、複素代数 K3 曲面は1 から 20 までの任意の整数になります。複素解析の場合、は 0 になることもあります。(その場合、Xには閉じた複素曲線がまったく含まれません。対照的に、代数曲面には常に多くの連続曲線族が含まれます。)特性p > 0 の代数閉体上には、ピカール数 22 を持つ K3 曲面の特別なクラスである超特異 K3 曲面が存在します。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$

K3 曲面のピカール格子は、アーベル群 Pic( X ) とその交差形式、つまり整数に値を持つ対称双線型形式を組み合わせたものです。( 上では、交差形式は 上の交差形式の制限です。一般体上では、交差形式は、ピカール群を因子類群と同一視することにより、曲面上の曲線の交差理論を使用して定義できます。) K3 曲面のピカール格子は常に偶数 であり、つまり各 に対して整数 が偶数であることを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$

ホッジ指数定理は、代数 K3 曲面のピカール格子が符号 を持つことを意味している。K3 曲面の多くの特性は、整数上の対称双線型形式としてのピカール格子によって決定される。これにより、K3 曲面の理論と対称双線型形式の算術の間には強いつながりが生まれる。このつながりの最初の例として、複素解析 K3 曲面が代数的であるためには、を持つ元が存在する必要がある。^[11]${\displaystyle (1,\rho -1)}$${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle u^{2}>0}$

大まかに言えば、すべての複素解析的 K3 曲面の空間は複素次元 20 を持ちますが、ピカール数を持つ K3 曲面の空間は次元を持ちます(超特異点の場合を除く)。特に、代数 K3 曲面は 19 次元の族に現れます。K3 曲面のモジュライ空間の詳細については、以下を参照してください。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle 20-\rho }$

どの格子がK3曲面のピカール格子として現れるかを正確に記述するのは複雑である。ヴィアチェスラフ・ニクーリンとデイヴィッド・モリソンによる明確な記述は、のシグネチャを持つすべての偶格子は、何らかの複素射影K3曲面のピカール格子である、ということである。^[12]このような曲面の空間は次元 を持つ。 ${\displaystyle (1,\rho -1)}$${\displaystyle \rho \leq 11}$${\displaystyle 20-\rho }$

K3 曲面の重要なサブクラスは、一般的な場合よりも解析が容易で、楕円ファイバー化 を持つ K3 曲面から構成されます。「楕円」とは、この射の有限個を除くすべてのファイバーが種数 1 の滑らかな曲線であることを意味します。特異ファイバーは有理曲線の和であり、特異ファイバーの可能なタイプは Kodaira によって分類されています。特異ファイバーの位相オイラー特性の合計は であるため、常にいくつかの特異ファイバーが存在します。一般的な楕円 K3 曲面には、それぞれがタイプ(節点 3 次曲線) の 24 個の特異ファイバーがあります。^[13]${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle \chi (X)=24}$${\displaystyle I_{1}}$

K3 曲面が楕円かどうかは、そのピカール格子から読み取ることができます。つまり、特性が 2 でも 3 でもない場合、K3 曲面X は、を持つ非ゼロ元が存在する場合に限り、楕円ファイバを持ちます。^[14] (特性が 2 または 3 の場合、後者の条件は準楕円ファイバに対応することもあります。) したがって、楕円ファイバを持つことは、K3 曲面上の余次元が 1 の条件です。したがって、楕円ファイバを持つ 19 次元の複素解析 K3 曲面の族と、楕円ファイバを持つ 18 次元の射影 K3 曲面のモジュライ空間が存在します。 ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle u^{2}=0}$

例:直線L を含むのすべての滑らかな 4 次曲面Xには、 Lから射影して与えられる楕円ファイバ化があります。すべての滑らかな 4 次曲面 (同型を除く) のモジュライ空間は次元 19 を持ち、直線を含む 4 次曲面の部分空間は次元 18 を持ちます。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$

デルペッツォ曲面のような正に曲がった多様体とは対照的に、複素代数 K3 曲面X は単線状ではない。つまり、連続した有理曲線族によって覆われていない。一方、一般型の曲面のような負に曲がった多様体とは対照的に、X は有理曲線の大きな離散集合（おそらく特異）を含む。特に、フョードル・ボゴモロフとデイヴィッド・マンフォードは、 X上のすべての曲線は有理曲線の正の線形結合と線形同値であることを示した。 ^[15]

負に曲がった多様体とのもう一つの対照は、複素解析的 K3 曲面X上の小林計量が恒常的にゼロであることだ。証明では、代数 K3 曲面Xが常に楕円曲線の像の連続族で覆われていることが用いられる。^[16] (これらの曲線は、 X がたまたま楕円 K3 曲面である場合を除き、Xにおいて特異である。) 未解決のより強い問題は、すべての複素 K3 曲面がから非退化正則写像を許容するかどうかである(ここで「非退化」とは、写像の導関数がある点で同型であることを意味する)。^[17]${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

複素解析 K3 面Xのマーキングを、 からK3 格子 への格子の同型として定義します。マーキングされた複素 K3 面の空間N は、次元 20 の非ハウスドルフ複素多様体です。 ^[18]複素解析 K3 面の同型類の集合は、直交群によるNの商ですが、この商は、 の作用が適切に不連続ではないため、幾何学的に意味のあるモジュライ空間ではありません。^[19]（たとえば、滑らかな 4 次曲面の空間は次元 19 で既約ですが、20 次元ファミリNのすべての複素解析 K3 面には、滑らかな 4 次曲面に同型な任意の小さな変形があります。^[20]）同じ理由で、少なくとも次元 2 のコンパクト複素トーラスの意味のあるモジュライ空間は存在しません。 ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$ ${\displaystyle O(\Lambda )}$${\displaystyle O(\Lambda )}$

周期写像はK3面をそのホッジ構造に写す。注意深く述べると、トレリ定理が成り立つ。K3面はそのホッジ構造によって決定される。周期領域は20次元複素多様体として定義される。

${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C} ):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0\}.}$

周期写像は、マークされたK3曲面Xを複素直線に写す。これは射影的であり、局所同型であるが、同型ではない（特にDはハウスドルフであり、Nはそうではないため）。しかし、 K3曲面の全体的トレッリ定理によれば、集合の商写像は ${\displaystyle N\to D}$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )\cong \Lambda \otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle N/O(\Lambda )\to D/O(\Lambda )}$

は全単射である。従って、2つの複素解析的K3曲面XとYが同型であるための必要十分条件は、から へのホッジ等長写像、すなわち、交差形式を保存しへ送るアーベル群の同型写像が存在することである。^[21]${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega ^{2})}$

種数gの偏極K3曲面Xは、Lが原始的（つまり、他の線束の2倍以上ではない）であり、かつであるような豊富な線束Lを伴う射影K3曲面として定義される。これは、次数2 g −2の偏極K3曲面とも呼ばれる。 ^[22] ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$

これらの仮定の下では、L は基点フリーです。特性 0 では、ベルティーニの定理は、線形システム| L |に滑らかな曲線Cが存在することを意味します。このような曲線はすべて種数gを持ち、これが ( X、L ) が種数g を持つと言われる理由を説明しています。

Lの切断のベクトル空間は次元g + 1 を持つため、L はXから射影空間への射影を与える。ほとんどの場合、この射影は埋め込みであるため、X はの次数 2 g −2の曲面に同型である。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$

各 に対して、種数gの分極複素 K3 曲面の既約な粗モジュライ空間が 存在する。これは群SO (2,19)の志村多様体のザリスキ開部分集合とみなすことができる。各gに対して、は次元 19 の準射影複素多様体である。 ^[23]向井茂は、または の場合にはこのモジュライ空間が有理数であることを示した。対照的に、ヴァレリー・グリッセンコ、クラウス・ヒューレク、グレゴリー・サンカランは、または の場合にはが一般型であることを示した。この分野の概観は Voisin (2008) によって行われた。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle g\leq 13}$${\displaystyle g=18,20}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 63}$${\displaystyle g=47,51,55,58,59,61}$

異なる 19 次元モジュライ空間は複雑に重なり合っている。実際、ピカール数が少なくとも 2 である K3 曲面に対応する、それぞれに余次元 1 の部分多様体の可算無限集合が存在する。これらの K3 曲面は、2 g –2 だけではなく、無限に多くの異なる次数の分極を持つ。したがって、他のモジュライ空間の無限個が を満たすと言える。これは不正確である。なぜなら、すべてのモジュライ空間を含む行儀のよい空間は存在しないからである。しかし、この考えの具体的なバージョンは、任意の 2 つの複素代数 K3 曲面が代数 K3 曲面を介して変形同値であるという事実である。^[24]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$

より一般的には、種数gの準分極K3 曲面は、原始nefと大線束Lを持つ射影 K3 曲面を意味し、 となる。このような線束は への射影を与えるが、有限個の (−2) 曲線を縮約することができるため、Xの像Y は特異となる。(曲面上の(−2) 曲線は、自己交差が −2 である曲線を に同型とする。) 種数gの準分極 K3 曲面のモジュライ空間は、依然として次元 19 の既約である (前のモジュライ空間を開集合として含む)。形式的には、これをデュバル特異点を持つ K3 曲面Yのモジュライ空間と見なす方が適切である。^[25]${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

代数 K3 曲面の注目すべき特徴は、ピカール格子が、十分な因子の凸錐(ピカール格子の自己同型まで) を含む、曲面の多くの幾何学的特性を決定することです。十分な錐は、ピカール格子によって次のように決定されます。ホッジ指数定理により、実ベクトル空間上の交差形式は、シグネチャ を持ちます。したがって、正の自己交差を持つの元の集合には、 2 つの連結成分があります。正の錐を、X上の任意の十分な因子を含む成分と呼びます。 ${\displaystyle N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R} }$${\displaystyle (1,\rho -1)}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

ケース1: Pic( X )の要素uは存在しません。この場合、十分な円錐は正の円錐に等しくなります。したがって、これは標準的な円錐です。 ${\displaystyle u^{2}=-2}$

ケース2: それ以外の場合、ピカール格子の根の集合を とする。根の直交補集合は、すべて正錐を通過する超平面の集合を形成する。すると、豊錐は正錐におけるこれらの超平面の補集合の連結成分となる。そのような成分の2つは、格子Pic( X)の直交群を介して同型である。なぜなら、格子Pic(X )には各根超平面を横切る反射が含まれるからである。この意味で、ピカール格子は同型性まで豊錐を決定する。^[26]${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2\}}$

Sándor Kovács による関連する記述は、Pic( X )の 1 つの豊富な因子Aがわかれば、 Xの曲線の錐全体が決まるというものです。つまり、X がピカール数 を持つとします。根の集合が空の場合、曲線の閉じた錐は正の錐の閉包です。それ以外の場合、曲線の閉じた錐は のすべての要素によって張られる閉じた凸錐です。最初のケースでは、Xには (−2) 曲線が含まれません。2 番目のケースでは、曲線の閉じた錐はすべての (−2) 曲線によって張られる閉じた凸錐です。^[27]（の場合、もう一つの可能​​性があります。曲線の円錐は、1つの（−2）曲線と自己交差0の1つの曲線で張られる可能性があります。）したがって、曲線の円錐は、標準的な円形の円錐であるか、そうでなければ「鋭い角」を持ちます（すべての（−2）曲線は曲線の円錐の 孤立した極値線を張るため）。${\displaystyle \rho \geq 3}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle u\in \Delta }$${\displaystyle A\cdot u>0}$${\displaystyle \rho =2}$

K3 曲面は、自己同型群が無限、離散、高度に非可換である可能性がある点で、代数多様体の中ではやや変わっています。トレリ定理のバージョンにより、複素代数 K3 曲面Xのピカール格子は、通約可能性までXの自己同型群を決定します。つまり、ワイル群W を、ルートの集合 の反射によって生成された直交群O (Pic( X )) の部分群とします。すると、W はO (Pic( X ))の正規部分群であり、Xの自己同型群は商群O (Pic( X ))/ Wと通約可能です。ハンス・スタークによる関連する記述は、Aut( X ) が有理多面体基本領域を持つXのネフ錐に作用することです。^[28] ${\displaystyle \Delta }$

K3 面は弦の双対性においてほぼ普遍的に現れ、弦の双対性を理解するための重要なツールを提供します。これらの面上の弦のコンパクト化は自明ではありませんが、その特性のほとんどを詳細に分析するには十分単純です。タイプ IIA 弦、タイプ IIB 弦、E ₈ ×E ₈ヘテロティック弦、Spin(32)/Z2 ヘテロティック弦、および M 理論は、K3 面上のコンパクト化によって関連しています。たとえば、K3 面上にコンパクト化されたタイプ IIA 弦は、4 次元トーラス上にコンパクト化されたヘテロティック弦と同等です (Aspinwall (1996))。

の四次曲面は、エルンスト・クンマー、アーサー・ケイリー、フリードリヒ・シューアなどの 19 世紀の幾何学者によって研究されました。より一般的には、フェデリゴ・エンリケスは1893 年に、様々な数gに対して、自明な標準バンドルと不規則性ゼロを持つ の 2 次g −2の曲面が存在することを観察しました。^[29] 1909 年に、エンリケスはそのような曲面がすべての に対して存在することを示しました。また、フランチェスコ・セヴェリは、そのような曲面のモジュライ空間が各gに対して次元 19 を持つことを示しました。^[30]${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$${\displaystyle g\geq 3}$

アンドレ・ヴェイユ (1958) は K3 曲面に名前をつけ (上記の引用を参照)、その分類についていくつかの影響力のある予想を立てた。小平邦彦は 1960 年頃に基本理論を完成させ、特に代数的ではない複素解析 K3 曲面の初めての体系的な研究を行った。彼は、任意の 2 つの複素解析 K3 曲面が変形同値であり、したがって微分同相であることを示したが、これは代数 K3 曲面にとっても新しいものだった。その後の重要な進歩は、イリヤ・ピアテツキ＝シャピロとイゴール・シャファレヴィッチ (1971) による複素代数 K3 曲面に対するトレッリ定理の証明であり、これはダニエル・バーンズとマイケル・ラポポート(1975) によって複素解析 K3 曲面に拡張された。

• エンリケス表面
• テイト予想
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• K3 表面の幾何学、David Morrison による講義 (1988)。