意味 Im( τ ) > 0 を 満たす任意の複素数τ に対して、q = e 2 πiτ
η （ τ ） = e π 私 τ 12 ∏ n = 1 ∞ （ 1 − e 2 n π 私 τ ） = q 1 24 ∏ n = 1 ∞ （ 1 − q n ） 。 {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right).} イータ方程式を24乗し、( 2π ) 12 を掛けると、
Δ （ τ ） = （ 2 π ） 12 η 24 （ τ ） {\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )} ここでΔは モジュラー判別式 です。24の 存在は、24 次元のリーチ格子 など、他の出現との関連で理解できます。
イータ関数は上半平面上では正則であるが、それより外側では解析的に拡張することはできない。
単位円盤上のオイラーのφの絶対値。黒は0、赤は4を表す。 q の関数としてのモジュラー判別式の実部。イータ関数は関数方程式 [ 1 ]を満たす。
η （ τ + 1 ） = e π 私 12 η （ τ ） 、 η （ − 1 τ ） = − 私 τ η （ τ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (\tau +1)&=e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau ).\,\end{aligned}}} 2 番目の式では、τ = i √ − iτ = 1 となるように平方根の枝 が選択されます。
より一般的に、a 、b 、c 、dは ad − bc = 1
τ ↦ 1 τ + b c τ + d {\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}} は モジュラー群 に属する変換である。c > 0 またはc = 0 かつd = 1 のいずれかであると仮定できる。すると
η （ 1 τ + b c τ + d ） = ϵ （ 1 、 b 、 c 、 d ） （ c τ + d ） 1 2 η （ τ ） 、 {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(c\tau +d\right)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),} どこ
ϵ （ 1 、 b 、 c 、 d ） = { e b 私 π 12 c = 0 、 d = 1 、 e 私 π （ 1 + d 12 c − s （ d 、 c ） − 1 4 ） c > 0. {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)={\begin{cases}e^{\frac {bi\pi }{12}}&c=0,\,d=1,\\e^{i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}&c>0.\end{cases}}} ここでs ( h , k )はデデキント和 である
s （ h 、 k ） = ∑ n = 1 k − 1 n k （ h n k − ⌊ h n k ⌋ − 1 2 ） 。 {\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).} これらの関数方程式により、イータ関数は、モジュラー 群のメタプレクティック二重被覆の位 数 24 1/2 、 レベル1のモジュラー形式 となり、他のモジュラー形式を定義するために使用できます。特に、ワイエルシュトラス楕円 関数のモジュラー判別式は、
ω 2 = τ ω 1 {\displaystyle \omega _{2}=\tau \omega _{1}} 定義できる
Δ （ τ ） = （ 2 π ω 1 ） 12 η （ τ ） 24 {\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi \omega _{1})^{12}\eta (\tau )^{24}\,} そして、これは重み12のモジュラー形式です。一部の著者は(2π ) 12の 係数を省略するため、級数展開は整数係数を持ちます。
ヤコビ三重積は、 引数の特定の値に対して、イータが（係数を除いて）ヤコビのシータ関数であることを意味します。 [ 2 ]
η （ τ ） = ∑ n = 1 ∞ χ （ n ） exp （ π 私 n 2 τ 12 ） 、 {\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp \left({\frac {\pi in^{2}\tau }{12}}\right),} ここで、χ ( n )ディリクレ指標であり、 χ (±1) = 1χ (±5) = −1
η （ τ ） = e π 私 τ 12 ϑ （ τ + 1 2 ; 3 τ ） 。 {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\vartheta \left({\frac {\tau +1}{2}};3\tau \right).} オイラー関数
ϕ （ q ） = ∏ n = 1 ∞ （ 1 − q n ） = q − 1 24 η （ τ ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)\\&=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),\end{aligned}}} オイラーの五角数定理 により、べき級数を持つ。
ϕ （ q ） = ∑ n = − ∞ ∞ （ − 1 ） n q 3 n 2 − n 2 。 {\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.} この定理を使用すると、私 （ τ ） > 0 {\displaystyle {\mathfrak {I}}(\tau )>0}
η （ τ ） = ∑ n = − ∞ ∞ e π 私 n e 3 π 私 （ n − 1 6 ） 2 τ 。 {\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in}e^{3\pi i\left(n-{\frac {1}{6}}\right)^{2}\tau }.} これは、x = 2 π 私 τ {\displaystyle x=2\pi i\tau } オイラーの五角数定理 におけるイータ関数の定義。
イータ関数を理解する別の方法は、次の極限を通して行うことです。
リム z → 0 ϑ 1 （ z | τ ） z = 2 π η 3 （ τ ） {\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\vartheta _{1}(z|\tau )}{z}}=2\pi \eta ^{3}(\tau )}
言い換えれば、次のようになります。
∑ n = 0 ∞ （ − 1 ） n （ 2 n + 1 ） q （ 2 n + 1 ） 2 8 = η 3 （ τ ） {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1)q^{\frac {(2n+1)^{2}}{8}}=\eta ^{3}(\tau )}
どこϑ 1 （ z | τ ） {\displaystyle \vartheta _{1}(z|\tau )} はヤコビのシータ関数 であり、ϑ 1 （ z | τ ） = − ϑ 11 （ z ; τ ） {\displaystyle \vartheta _{1}(z|\tau )=-\vartheta _{11}(z;\tau )}
イータ関数はべき級数 から数値的に容易に計算できるため、計算においては可能な限り他の関数をイータ関数で表現することがしばしば有用であり、イータ関数の積や商（イータ商と呼ばれる）を用いて様々なモジュラー形式を表現することができる。
このページの図はオイラー関数の絶対値を示しています。これとイータの間にある追加の係数 q 1/24 は、視覚 的 に は ほとんど違いがありません。したがって、この図 は q の関数としてのイータの図とみなすことができます。
組み合わせの恒等式 アフィンリー代数 の代数的指標 の理論は、イータ関数に関するこれまで知られていなかった多くの恒等式を生み出します。これらの恒等式は、ワイル・カッツ指標公式 、より具体的にはいわゆる「分母恒等式」から導かれます。指標自体によって、モジュラー群 の下で変換するヤコビのシータ関数 の一般化を構成することができます。これが恒等式につながるのです。そのような新しい恒等式の1つの例[ 3 ]
η （ 8 τ ） η （ 16 τ ） = ∑ m 、 n ∈ Z m ≤ | 3 n | （ − 1 ） m q （ 2 m + 1 ） 2 − 32 n 2 {\displaystyle \eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}} ここで、q = e 2 πiτ 最大重量の q アナログ
特別価格 上記のオイラー関数との関連性と、オイラー関数の特殊な値から、以下のことが容易に推測できる。
η （ 私 ） = Γ （ 1 4 ） 2 π 3 4 η （ 1 2 私 ） = Γ （ 1 4 ） 2 7 8 π 3 4 η （ 2 私 ） = Γ （ 1 4 ） 2 11 8 π 3 4 η （ 3 私 ） = Γ （ 1 4 ） 2 3 3 （ 3 + 2 3 ） 1 12 π 3 4 η （ 4 私 ） = − 1 + 2 4 Γ （ 1 4 ） 2 29 16 π 3 4 η （ e 2 π 私 3 ） = e − π 私 24 3 8 Γ （ 1 3 ） 3 2 2 π {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}}
イータ指数 イータ商は、次の形式の商によって定義されます。
∏ 0 < d ∣ N η （ d τ ） r d {\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}} ここで、d は非負整数、r d は任意の整数です。虚数二次引数におけるイータ商の線形結合は代数的で ある場合があり、イータ商の結合は整数に なる場合もあります。例えば、次のように定義します。
j （ τ ） = （ （ η （ τ ） η （ 2 τ ） ） 8 + 2 8 （ η （ 2 τ ） η （ τ ） ） 16 ） 3 j 2 A （ τ ） = （ （ η （ τ ） η （ 2 τ ） ） 12 + 2 6 （ η （ 2 τ ） η （ τ ） ） 12 ） 2 j 3 A （ τ ） = （ （ η （ τ ） η （ 3 τ ） ） 6 + 3 3 （ η （ 3 τ ） η （ τ ） ） 6 ） 2 j 4 A （ τ ） = （ （ η （ τ ） η （ 4 τ ） ） 4 + 4 2 （ η （ 4 τ ） η （ τ ） ） 4 ） 2 = （ η 2 （ 2 τ ） η （ τ ） η （ 4 τ ） ） 24 {\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}} ウェーバーモジュラー関数 𝔣( τ ) の24乗を用いて、
j （ 1 + − 163 2 ） = − 640320 3 、 e π 163 ≈ 640320 3 + 743.99999999999925 … j 2 A （ − 58 2 ） = 396 4 、 e π 58 ≈ 396 4 − 104.00000017 … j 3 A （ 1 + − 89 3 2 ） = − 300 3 、 e π 89 3 ≈ 300 3 + 41.999971 … j 4 A （ − 7 2 ） = 2 12 、 e π 7 ≈ 2 12 − 24.06 … {\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\[6pt]j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}} など、ラマヌジャン-佐藤級数 に現れる値。
イータ商は、直接計算して表現するのが難しいモジュラー形式 の基底を記述するための有用なツールにもなり得る。1959年、モリス・ニューマンは、上記の形式のイータ商η g 、すなわち ∏ 0 < d ∣ N η （ d τ ） r d {\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}
∑ 0 < d ∣ N d r d ≡ 0 （ モジュール 24 ） そして ∑ 0 < d ∣ N N d r d ≡ 0 （ モジュール 24 ） 、 {\displaystyle \sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}},} このとき、η g は合同部分群 Γ 0 ( N ) ( 正則性 を除いて)の重みk モジュラー形式であり、 [ 4 ]
k = 1 2 ∑ 0 < d ∣ N r d 。 {\displaystyle k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.} この結果は 2019 年に拡張され、 N が6 と互いに素な 場合に逆が成り立つことが示されましたが、元の定理がすべての整数N に対して最適であるかどうかは未解決のままです。[ 5 ] レベル n 合同部分群の任意の モジュラー イータ商 が群Γ( N ) のモジュラー形式でもあることを述べるようにも拡張されます。これらの定理はモジュラー イータ商を特徴づけますが、正則性の条件は、Gérard Ligozat [ 6 ] [ 7 ]
η g が 整数N に対して上記の条件を満たすイータ商であり、c とd が互いに素な整数である場合、 Γ 0 ( N ) に対するカスプ c / d
N 24 ∑ 0 < δ | N gcd （ d 、 δ ） 2 r δ gcd （ d 、 N d ） d δ 。 {\displaystyle {\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd \left(d,\delta \right)^{2}r_{\delta }}{\gcd \left(d,{\frac {N}{d}}\right)d\delta }}.} これらの定理は、正則モジュラーイータ商を作成する効果的な手段を提供するが、モジュラー形式とカスプ形式の ベクトル空間 の基底を構築するには十分ではない可能性がある。考慮するモジュラーイータ商の数を制限するための有用な定理は、Γ 0 ( N ) 上の正則重みk モジュラーイータ商が次の条件を満たさなければならないと述べている。
∑ 0 < d ∣ N | r d | ≤ ∏ p ∣ N （ p + 1 p − 1 ） ミニ （ 2 、 命令 p （ N ） ） 、 {\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leq \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}_{p}(N){\bigr )}},} ここで、ord p N )は p m が を 割り切る最大の整数m を表します。[ 8 ] [ 8 ] モジュラー形式の環上の次数付き環 構造を使用すると、モジュラー形式のベクトル空間の基底を計算できます。C {\displaystyle \mathbb {C} } N = pq が半素数 であると仮定すると、次のプロセスを使用してM k (Γ 0 ( N ))[ 5 ]
6と互いに素な半素数N = pq p 、q > 3 M k (Γ 0 ( N )) の次元D を計算します。これにより、基底を形成するために計算する必要のある線形独立なモジュラー イータ商の数がわかります。考慮するイータ商の数を減らします。半素数の場合、境界を使用して分割の数を減らすことができます。 ∑ 0 < d ∣ N | r d | {\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|} そして、 Γ 0 ( N ) の尖点での消滅次数の合計が等しくなければならないことに気付く
S := （ p + 1 ） （ q + 1 ） 6 {\displaystyle S:={\frac {(p+1)(q+1)}{6}}} 5 ] S を4 組に分割するすべての方法を見つけます( Γ 0 ( N ) には 4 つの尖点があります)。これらの分割のうち、ニューマンの条件を満たすものだけを考慮します (消滅の次数を指数に変換できます)。これらの分割はそれぞれ、一意のイータ商に対応します。各イータ商のq 展開シュトゥルムの限界 として知られる結果を利用します）。次に、線形代数を用いて、これらのイータ商の中から最大の独立集合を決定します。線形独立なD 個の eta 商がまだ見つかっていないと仮定して、 k ′ M k ′ (Γ 0 ( N ) ) が( 弱正則な ) eta 商によって張られ、[ 8 ] M k ′ − k (Γ 0 ( N η g M k ′ (Γ 0 ( N )) を見つけます。計算したイータ商のスパンに含まれない重みk を持つモジュラー形式fを取り、 M k ′ (Γ 0 ( N )) のイータ商の線形結合としてf η g を計算し、 η g f をイータ商の線形結合として表す式が得られます。基底が形成されるまでこれを繰り返します。 デデキントのイータ関数の6300を超える積の恒等式のコレクションが、マイケル・ソモスのウェブサイトのWayback Machine [ 9 ]で、標準的で標準化された形式で入手可能です。
参考文献 ↑ シーゲル、CL (1954)。 「 η (−1/ τ ) = η ( τ ) √ τ / i 数学 1 : 4.土井 : 10.1112/S0025579300000462。 ↑ バンプ、ダニエル (1998)、 『オートモルフィック形式と表現』 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-55098-X ↑ Fuchs, Jurgen (1992), Affine Lie Algebras and Quantum Groups , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X ↑ Newman, Morris (1959). "Construction and application of a class of modular functions (II)". Proc. London Math. Soc . 9 (3): 373– 387. doi : 10.1112/plms/s3-9.3.373 . 1 2 3 Allen, Michael; Anderson, Nicholas; Hamakiotes, Asimina; Oltsik, Ben; Swisher, Holly (2020). "素数または半素数レベル曲線および楕円曲線のイータ商". Involve . 13 (5): 879– 900. arXiv : 1901.10511 . doi : 10.2140/involve.2020.13.879 . S2CID 119620241 . ↑ リゴザット、G. (1974)。 ジャンル モジュールのクールブ 1 。出版物 オルセー数学。 Vol. 75. UER Mathématique、パリ第 11 大学、オルセー。 p. 7411。 ↑ Martin, Yves (1996). "乗法 η 商" . Transactions of the American Mathematical Society . 348 (12): 4825–4856. doi : 10.1090/S0002-9947-96-01743-6 . 1 2 3 Rouse, Jeremy; Webb, John J. (2015). "イータ商によって張られるモジュラー形式の空間について" . Advances in Mathematics . 272 : 200–224. arXiv : 1311.1460 . doi : 10.1016/j.aim.2014.12.002 . ↑ 「マイケル・ソモスによるデデキント・イータ関数の積の恒等式」 。 2019年7月9日に オリジナル からアーカイブされました。
さらに読む アポストル、トム M. (1990).数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数 .大学院数学テキスト . 第 41 巻 (第 2 版). Springer-Verlag. 第 3 章. ISBN 3-540-97127-0 。 コブリッツ、ニール （1993）。楕円曲線とモジュラー形式入門 。大学院数学テキスト。第 97巻（第2 版）。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-97966-2 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115e2cf1ec4847441337ad3abd833a55bc29a968)
![{\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f93a438d67482758dba183240bdd2cdbacf0484)
![{\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.999999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac \end{aligned}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0641e0c59b568e5db8ec354794d037654100f3)
