楕円複体

数学、特に偏微分方程式と微分幾何学において、楕円複体は楕円作用素の概念を数列に一般化する。楕円複体は、ホッジ理論を実行するために不可欠な、ド・ラーム複体とドルボー複体に共通する特徴を分離する。また、アティヤ・シンガーの指数定理やアティヤ・ボットの不動点定理との関連でも生じる。

E ₀ , E ₁ , ..., E _kが滑らかな多様体M（通常はコンパクトであるとみなされる）上のベクトル束である場合、微分複素数は列

${\displaystyle \Gamma (E_{0}){\stackrel {P_{1}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{1}){\stackrel {P_{2}}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {P_{k}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{k})}$

Ｐ_ｉ＋１ ∘ Ｐ_ｉ ＝０となるようなＥ_ｉの切断層間の微分作用素の集合。１階作用素を持つ微分複素数は、記号列

${\displaystyle 0\rightarrow \pi ^{*}E_{0}{\stackrel {\sigma (P_{1})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}E_{1}{\stackrel {\sigma (P_{2})}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {\sigma (P_{k})}{\longrightarrow }}\pi ^{*}E_{k}\rightarrow 0}$

は零点断面の外側では正確です。ここでπは余接束 T*MのMへの射影であり、π*はベクトル束の 引き戻しです。

• チェーン複合体

Atiyah, MF; Singer, IM (1968). 「楕円演算子のインデックス: I」.数学年報. 87 (3): 484. doi :10.2307/1970715. JSTOR  1970715.