KR理論

数学において、KR 理論は、反転 を持つ空間に対して定義される位相的 K 理論の変形です。これは、実楕円演算子に対するアティヤ・シンガーの指数定理への応用をきっかけに、アティヤ (1966) によって導入されました 。

実空間は、反転を持つ位相空間として定義されます。実空間X上の実ベクトル束は、実空間でもあるX上の複素ベクトル束Eとして定義され、 EからXへの自然写像と× EからEへの自然写像は反転と可換であり、反転は 上の複素共役として機能します。(これは、反転が 上で自明に作用するZ /2 Z空間のカテゴリの複素ベクトル束の概念とは異なります。) ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

群KR ( X ) は、実空間X上の有限次元実ベクトル束のグロタンディーク群です。

ボット周期性と同様に、 KRの周期性定理は、KR ^p、q = KR ^{p +1、q +1}を述べています。ここで、KR ^{p、q は}、 R ^p、q = R ^q + i R ^p （ pとqの順序が入れ替わる） に関する停止であり、次のように与えられます。

${\displaystyle KR^{p,q}(X,Y)=KR(X\times B^{p,q},X\times S^{p,q}\cup Y\times B^{p,q})}$

B ^p、q、S ^p、qはR ^p、q内の単位球と単位球です。

• アティヤ、マイケル・フランシス(1966)、「K理論と現実」、The Quarterly Journal of Mathematics、第2シリーズ、17 (1): 367–386、doi :10.1093/qmath/17.1.367、ISSN  0033-5606、MR  0206940、2013-04-15にオリジナルからアーカイブ