J準同型

数学において、J準同型は、特殊直交群のホモトピー群から球面のホモトピー群への写像である。これは、ハインツ・ホップ (1935)  の構成を拡張して、ジョージ・W・ホワイトヘッド(1942)によって定義された。

ホワイトヘッドの本来の準同型は幾何学的に定義され、準同型を与える。

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(S^{q})}$

整数q、およびに対するアーベル群の。(ホップはこれを特別な場合 に対して定義しました。) ${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle q=r+1}$

J準同型は次のように定義される。特殊直交群SO( q )の元は写像としてみなすことができる 。

${\displaystyle S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

そしてホモトピー群は、 r球面からSO( q )への写像のホモトピー類から構成される。したがって、の元は写像 ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

${\displaystyle S^{r}\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

これにホップ構成を適用すると、マップが得られる。

${\displaystyle S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\rightarrow S(S^{q-1})=S^{q}}$

において、ホワイトヘッドはこれをJ 準同型による の元の像として定義しました。${\displaystyle \pi_{r+q}(S^{q})}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

q が無限大に近づくにつれて極限をとると、安定ホモトピー理論における安定なJ準同型が得られる。

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} )\to \pi _{r}^{S},}$

ここで は無限特殊直交群であり、右辺は球面の安定ホモトピー群のr番目の安定幹です。 ${\displaystyle \mathrm {SO} }$

J準同型の像は、ダニエル・キレン(1971)によって証明されたアダムス (1963) のアダムス予想を仮定して、フランク・アダムス (1966)によって 次のように記述されました。群はボット周期性によって与えられます。これは常に巡回であり、rが正の場合、r が8 を法として0 または 1 であれば位数2 、r が8 を法として 3 または 7 であれば位数無限、それ以外の場合は位数 1 です (Switzer 1975、p. 488)。特に、安定したJ準同型の像は巡回です。安定したホモトピー群は、J準同型の (巡回) 像と、アダムス e 不変量 (Adams 1966) の核、つまり安定したホモトピー群から への準同型との直和です。r が8 を法として 0 または 1 で正の場合、像の位数は 2 です (したがって、この場合J準同型は単射です) 。rが 8 を法として 3 または 7 の場合、像は の分母に等しい位数の巡回群です( はベルヌーイ数) 。rが 8 を法として 2、4、5、または 6 である残りの場合、 は自明であるため、像は自明です。 ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$${\displaystyle \pi_{r}^{S}}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle B_{2n}/4n}$${\displaystyle B_{2n}}$${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$

マイケル・アティヤ（1961）は、球面Xに対して適切な次元における J準同型の像である空間Xの 群J（X ）を導入した。

J準同型のコカーネルは_、向き付けられたホモトピーn球面のhコボルディズム類の群Θnに現れる（Kosinski（1992））。 ${\displaystyle J\colon \pi _{n}(\mathrm {SO} )\to \pi _{n}^{S}}$

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