ホップ不変量

数学、特に代数的位相幾何学において、ホップ不変量は、 n球面間の特定の写像のホモトピー不変量です。

1931年、ハインツ・ホップはクリフォード緯線を使ってホップ地図を作成した。

${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2},}$

そして、円の 連結数が${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}}$

は任意の に対して 1 に等しくなります。 ${\displaystyle x\neq y\in S^{2}}$

その後、ホモトピー群は によって生成される無限巡回群であることが示された。1951年にジャン＝ピエール・セールは有理ホモトピー群^[1]が ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

奇数次元球面（奇数）の場合、 が 0 またはn に等しくない限り、 はゼロになります。ただし、偶数次元球面（n が偶数）の場合、次数にもう 1 ビットの無限巡回ホモトピーが存在します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 2n-1}$

を連続写像とする（と仮定する）。すると、セル複体を形成することができる。${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},}$

ここで、 はを介し​​て に取り付けられた -次元円板です。細胞鎖群は次数の -細胞上に自由に生成されるため、次数 0 であり、それ以外の場所では 0 です。細胞 (コ) ホモロジーは、この鎖複体の (コ) ホモロジーであり、すべての境界準同型は 0 でなければならないため ( を思い出してください)、コホモロジーは ${\displaystyle D^{2n}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle C_{\mathrm {セル} }^{*}(C_{\varphi })}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\varphi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

コホモロジー群の生成元を

${\displaystyle H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle }$そして${\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}$

次元上の理由から、これらのクラス間のすべてのカップ積は を除いて自明でなければならない。したがって、環として、コホモロジーは ${\displaystyle \alpha \smile \alpha }$

${\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,​​\alpha \笑顔 \alpha =h(\varphi )\beta \rangle .}$

整数はマップのホップ不変量です。 ${\displaystyle h(\varphi)}$${\displaystyle \varphi}$

定理: 写像は準同型です。が奇数の場合、は自明です (は捩れなので)。が偶数の場合、 の像には が含まれます。さらに、恒等写像のホワイトヘッド積の像は2 に等しく、つまり となります。ここで は恒等写像であり、 はホワイトヘッド積です。 ${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \pi_{2n-1}(S^{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle h([i_{n},i_{n}])=2}$${\displaystyle i_{n}\colon S^{n}\to S^{n}}$${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]}$

ホップ不変量はホップ写像に対するもので、ここで はそれぞれ実除法代数 に対応し、球面上の方向をそれが張る部分空間に送るファイバリング に対応します。これは、フランク・アダムスによって最初に証明され、その後アダムスとマイケル・アティヤによって位相的 K 理論の方法を用いて証明された定理であり、これらがホップ不変量 1 を持つ唯一の写像であることが証明されました。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n=1,2,4,8}$${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }$${\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}$

JHCホワイトヘッドはホップ不変量に対する次の積分公式を提案した。^{[2] [3] : 命題17.22} 写像 が与えられたとき、となる 上の体積形式を考える。 なので、引き戻しは閉微分形式:である。ポアンカレの補題により、は正確な微分形式である。となる 上の-形式が存在する。ホップ不変量は次のように与えられる。 ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \int _{S^{n}}\omega _{n}=1}$${\displaystyle d\omega _{n}=0}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}\omega _{n}}$${\displaystyle d(\varphi ^{*}\omega _{n})=\varphi ^{*}(d\omega _{n})=\varphi ^{*}0=0}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle d\eta =\varphi ^{*}\omega _{n}}$

${\displaystyle \int _{S^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .}$

ホップ不変量の非常に一般的な概念を定義することはできますが、ある程度のホモトピー理論の基礎知識が必要です。

ベクトル空間とその一点コンパクト化を表すとします。つまり、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{\infty}}$${\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle V^{\infty }\cong S^{k}}$一部の人にとっては。${\displaystyle k}$

が任意の尖った空間（前のセクションで暗黙的にそうであるように）である場合、無限遠点を の基点とすると、ウェッジ積を形成することができる。 ${\displaystyle (X,x_{0})}$${\displaystyle V^{\infty }}$

${\displaystyle V^{\infty }\wedge X.}$

さて

${\displaystyle F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y}$

は安定な写像、すなわち被約サスペンション関数の下で安定である。の（安定な）幾何学的ホップ不変量は ${\displaystyle F}$

${\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}},}$

からへの写像の安定な -同変ホモトピー群の元。ここで「安定」とは「停止状態で安定」、つまり通常の同変ホモトピー群の（または）上の直接極限を意味します。 -作用は への自明な作用と 上の2つの因子の反転です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\wedge Y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\wedge Y}$

${\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X}$

標準対角写像と恒等写像を表すと、ホップ不変量は次のように定義されます。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).}$

この地図はもともと

${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X}$に${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y,}$

しかし、直接の極限では、それは写像の安定なホモトピー同変群の宣伝された要素になります。ホップ不変量の不安定なバージョンも存在するため、ベクトル空間を追跡する必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle h_{V}(F)}$${\displaystyle V}$

• アダムス、J. フランク(1960)、「ホップ不変量 1 の要素の非存在について」、Annals of Mathematics、72 (1): 20–104、CiteSeerX  10.1.1.299.4490、doi :10.2307/1970147、JSTOR  1970147、MR  0141119
• アダムス、J. フランク;アティヤ、マイケル F. (1966)、「K理論とホップ不変量」、四半期数学ジャーナル、17 (1): 31–38、doi :10.1093/qmath/17.1.31、MR  0198460
• Crabb, Michael; Ranicki, Andrew (2006). 「幾何学的ホップ不変量」(PDF)。
• ホップ、ハインツ (1931)、「Über die Abbildungen der dreiDimensionen Sphäre auf die Kugelfläche」、Mathematische Annalen、104 : 637–665、doi :10.1007/BF01457962、ISSN  0025-5831
• ショクロフ、AV (2001) [1994]、「ホップ不変量」、数学百科事典、EMS プレス