アティヤ・ボットの不動点定理

数学において、1960年代にマイケル・アティヤとラウル・ボットによって証明されたアティヤ・ボット不動点定理は、滑らかな多様体Mに対するレフシェッツ不動点定理の一般形であり、M上の楕円複体を用いる。これはベクトル束上の楕円微分作用素の系であり、元のレフシェッツ不動点定理に現れる滑らかな微分形式から構成されるド・ラーム複体を一般化したものである。

このアイデアは、レフシェッツ数に代わる適切な値を見つけることです。古典的な結果では、レフシェッツ数は滑らかな写像の不動点の正しい寄与を数える整数です。

${\displaystyle f\colon M\to M.}$

直感的に言えば、固定点は、 fのグラフと対角線 (恒等写像のグラフ)の交点である。${\displaystyle M\times M}$、そしてレフシェッツ数はそれによって交点数となる。アティヤ・ボットの定理は、左辺がグローバルな位相的（ホモロジー的）計算の結果であり、右辺がfの固定点における局所的な寄与の和である方程式である。

余次元を数える${\displaystyle M\times M}$fのグラフと対角線に対する横断性の仮定により、固定点集合がゼロ次元であることが保証される。M が閉多様体であると仮定すると、交点集合が有限であることが保証され、期待される式の右辺として有限の総和が得られる。さらに必要なデータは、ベクトル束の楕円複体に関するものである。${\displaystyle E_{j}}$すなわちバンドルマップ

${\displaystyle \varphi _{j}\colon f^{-1}(E_{j})\to E_{j}}$

各jについて、結果として得られる断面上の写像が楕円複体の自己準同型を生み出すようにする。${\displaystyle T}$このような内在性${\displaystyle T}$レフシェッツ番号を持つ

${\displaystyle L(T),}$

これは定義上、楕円複体のホモロジーの各次数付き部分におけるそのトレースの交代和である。

定理の形式は次のようになる。

${\displaystyle L(T)=\sum _{x}\left(\sum _{j}(-1)^{j}\mathrm {trace} \,\varphi _{j,x}\right)/\delta (x).}$

ここでトレース${\displaystyle \varphi _{j,x}}$痕跡を意味する $\displaystyle \varphi _{j}}$fの固定点xにおいて、${\displaystyle \delta (x)}$は自己準同型の決定因子である${\displaystyle I-Df}$xにおいて、${\displaystyle Df}$fの導関数（これがゼロにならないのは横断性によるものです）。外側の総和は固定点xについて、内側の総和は楕円複体の添え字jについて行われます。

アティヤ・ボットの定理を滑らかな微分形式のド・ラーム複体に適用すると、元のレフシェッツの不動点公式が得られる。アティヤ・ボットの定理の有名な応用例として、リー群論におけるワイル指標公式の簡単な証明が挙げられる。

この結果の初期の歴史は、アティヤー・シンガー指数定理の歴史と密接に結びついている。過去に使われていたウッズホール不動点定理という別名（孤立不動点の場合に正しく言及している）が示唆するように、他にも影響があった。^{[ 1 ]} 1964年にウッズホールで開催された会議には、さまざまなグループが集まった。

アイヒラーは不動点定理と保型形式との相互作用を始めた。志村は1964年のウッズホール会議でボットにこのことを説明することで、この発展に重要な役割を果たした。^{[ 2 ]}

アティヤが言うように：^{[ 3 ]}

[会議で]...ボットと私は、正則写像のレフシェッツ公式の一般化に関する志村の予想を知りました。多くの努力の末、私たちはこの種の一般的な公式が存在するはずだと確信しました[...]。

そして彼らは楕円複体に対応したバージョンへとたどり着いた。

会議に出席していたウィリアム・フルトンの回想によると、最初に証明を提示したのはジャン＝ルイ・ヴェルディエだった。

代数幾何学の文脈では、この命題は代数的に閉じた体上の滑らかで適切な多様体に適用されます。このアティヤ・ボット不動点公式の変形は、コンディレフとプリホドコ（2018）によって、公式の両辺を適切に選択されたカテゴリカルトレースとして表現することによって証明されました。

• ボット残留物式

• Atiyah, Michael F. ; Bott, Raoul (1966)、「楕円型微分作用素に対するレフシェッツ不動点公式」(PDF)、Bulletin of the American Mathematical Society、72 (2): 245–50、doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0これは、楕円複体の自己準同型のレフシェッツ数を計算する定理を述べている。
• Atiyah, Michael F. ; Bott, Raoul (1967)、「楕円複体に対するレフシェッツ不動点公式：I」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、86（2）：374–407、doi：10.2307/1970694、JSTOR 1970694 およびAtiyah, Michael F. ; Bott, Raoul (1968)、「楕円複体に対するレフシェッツ不動点公式：II. 応用」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、88 (3): 451–491、doi : 10.2307/1970721、JSTOR 1970721 これらは、前回の論文で発表された結果の証明といくつかの応用例を示しています。

• コンディレフ、グリゴリー。 Prikhodko、Artem (2018)、「正則アティヤ・ボット公式のカテゴリー的証明」、J. Inst.数学。ジュシュー: 1–25、arXiv : 1607.06345、doi : 10.1017/S1474748018000543

• Tu, Loring W. (2005年12月21日). 「アティヤ＝ボットの不動点定理」 .ラウル・ボットの生涯と業績.
• Tu, Loring W. (2015年11月). 「ウッズホール不動点定理の起源について」(PDF) .アメリカ数学会報. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. pp. 1200–1206 .