モメンタムマップ

数学、特にシンプレクティック幾何学において、運動量マップ（または、語源的にはモーメントマップ^{[ 1 ]} ）は、シンプレクティック多様体上のリー群のハミルトニアン作用に関連付けられたツールであり、作用の保存量を構成するために使用されます。運動量マップは、線形運動量と角運動量の古典的な概念を一般化したものです。これは、後述するシンプレクティック（マースデン・ワインスタイン）商やシンプレクティックカット、シンプレクティック和など、さまざまなシンプレクティック多様体の構成に不可欠な要素です。

させて${\displaystyle M}$シンプレクティック形式を持つ多様体である${\displaystyle \omega }$リー群を仮定する${\displaystyle G}$行動する${\displaystyle M}$シンプレクトモルフィズムを介して（つまり、各${\displaystyle g}$で${\displaystyle G}$保存${\displaystyle \omega }$）。 させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$のリー代数とする${\displaystyle G}$、${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$その双対、そして

${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \rangle$ :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }

2人の組み合わせ。${\displaystyle \xi }$で${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ベクトル場を誘導する${\displaystyle \rho (\xi )}$の上${\displaystyle M}$微小な作用を記述する${\displaystyle \xi }$正確に言うと、ある時点で${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$ベクトル$\displaystyle \rho (\xi )_{x}}$は

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

どこ${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {g}}\to G} は指数写像であり、${\displaystyle \cdot }$は${\displaystyle G}$-アクション${\displaystyle M}$[ ^{2 ]​}​${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$このベクトル場の縮約を次のように表す。${\displaystyle \omega }$。 なぜなら${\displaystyle G}$シンプレクトモルフィズムによって作用するから、カルタンの魔法の公式によれば、${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$閉鎖されています（すべての${\displaystyle \xi }$で${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$)

仮に${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$閉じているだけでなく、正確でもあるので、${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =\mathrm {d} H_{\xi }}$ある関数に対して${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbb {R} }$これが成り立つならば、${\displaystyle H_{\xi }}$地図を作る${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$線形。運動量マップ${\displaystyle G}$-アクション${\displaystyle (M,\omega )}$地図です${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$そのため

${\displaystyle \mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }$

すべての人々のために${\displaystyle \xi }$で${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。 ここ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$関数は${\displaystyle M}$に${\displaystyle \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$運動量マップは、（各連結成分上の）加算的な積分定数を除いて一意に定義されます。

A${\displaystyle G}$シンプレクティック多様体への作用${\displaystyle (M,\omega )}$シンプレクティックであり、運動量写像を許容する場合、それはハミルトニアンと呼ばれる。

運動量マップも多くの場合必要となる${\displaystyle G}$-同変、ここで${\displaystyle G}$行動する${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$共随作用を介して、そしてこの要件はハミルトニアン群作用の定義に含まれる場合もあります。群がコンパクトまたは半単純であれば、運動量写像が共随同変になるように積分定数を常に選択できます。しかし一般に、写像を同変にするために共随作用を修正する必要があります（これはたとえばユークリッド群の場合です）。修正は、群上の1-コサイクルによって行われ、その値はです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$スーリオ（1970）によって最初に記述された。

円のハミルトン作用の場合${\displaystyle G=U(1)}$リー代数の双対${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$自然に関連付けられる${\displaystyle \mathbb {R} }$そして、運動量マップは、円運動を生成するハミルトニアン関数そのものである。

別の典型的なケースは次のような場合に発生します。${\displaystyle M}$は、の余接束である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$そして${\displaystyle G}$は回転と平行移動によって生成されるユークリッド群です。つまり、${\displaystyle G}$は 6 次元群であり、半直積である。${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$そして$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$運動量マップの6つの構成要素は、3つの角運動量と3つの線運動量である。

させて${\displaystyle N}$滑らかな多様体とし、${\displaystyle T^{*}N}$その余接束とし、射影写像は${\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}$。 させて$\displaystyle \tau }$上のトートロジー 1 形式を表す${\displaystyle T^{*}N}$。 仮定する${\displaystyle G}$行動する${\displaystyle N}$誘発作用${\displaystyle G}$シンプレクティック多様体上${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}$によって与えられた${\displaystyle g\cdot \eta$ :=(T_{\pi ( \eta )}g^{-1})^{*}\eta } ${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$運動量マップを持つハミルトニアン${\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }$すべての人々のために${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$。 ここ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$ベクトル場の縮約を表す${\displaystyle \rho (\xi )}$微小な作用${\displaystyle \xi }$1形式$\displaystyle \tau }$。

以下に挙げる事実は、運動量マップのさらなる例を作成するために利用できる。

ネーターの定理は、運動量写像を用いて特に洗練された形で定式化できる。この節で関連する対象を簡単にまとめると、シンプレクティック多様体${\displaystyle (M,\omega )}$ハミルトニアンを持つハミルトニアン系の位相空間を${\displaystyle H:M\rightarrow \mathbb {R} }$各ポイント${\displaystyle z}$で${\displaystyle M}$はシステムの状態を表し、その時間発展はによって支配される。${\displaystyle {\dot {z}}=X_{H}}$どこ${\displaystyle X_{H}}$ハミルトニアンに対応するハミルトニアンベクトル場は${\displaystyle H}$つまり、${\displaystyle \iota _{X_{H}}\omega =dH}$関数の時間発展${\displaystyle F:M\rightarrow \mathbb {R} }$ポアソン括弧によって容易に示される${\displaystyle \{F,H\}=\omega (X_{F},X_{H})}$。

さて、ネーターの定理によれば、ハミルトニアンが（シンプレクティックな）群作用の下で不変であれば、${\displaystyle \Phi (g,z):G\times M\rightarrow M}$無限小発生器付き${\displaystyle \rho (\xi )}$上記で定義したように、対応する運動量マップ${\displaystyle J(\xi )}$は運動の保存量となる。これを証明するのは簡単だ。不変条件を微分するだけでよい。${\displaystyle H(z)=H(\Phi (g,z))}$に関して${\displaystyle g}$取得するため $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=dH\cdot \rho (\xi )&\\\rightarrow \quad 0&=\iota _{\rho (\xi )}\iota _{X_{H}}\omega \\\rightarrow \quad 0&=\{H,J(\xi ))\}\\\rightarrow \quad 0&={\dot {J}}(\xi )\end{aligned}}}$$

リー群の作用を仮定する${\displaystyle G}$シンプレクティック多様体上${\displaystyle (M,\omega )}$は、上記で定義したハミルトニアンであり、運動量マップは等変である。${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ハミルトニアン条件から、${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$不変である${\displaystyle G}$。

ここで、${\displaystyle G}$自由かつ適切に行動する${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$したがって、${\displaystyle 0}$は、${\displaystyle \mu }$、 それで${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$そしてその商${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$どちらも滑らかな多様体である。商空間はシンプレクティック形式を継承する。${\displaystyle M}$;つまり、商空間には一意のシンプレクティック形式が存在し、その引き戻しは${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$制限に等しい${\displaystyle \omega }$に${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$したがって、商はシンプレクティック多様体であり、( Marsden & Weinstein 1974 )にちなんでマースデン・ワインスタイン商、シンプレクティック商、またはシンプレクティック還元と呼ばれます。${\displaystyle M}$による${\displaystyle G}$そして、と表記される${\displaystyle M/\!\!/G}$その次元は、${\displaystyle M}$次元の2倍を引いた${\displaystyle G}$。

より一般的に言えば、Gが自由に行動しない（しかし適切に行動する）場合、( Sjamaar & Lerman 1991 )は、${\displaystyle M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}$これは層状シンプレクティック空間、すなわち層上に互換性のあるシンプレクティック構造を持つ層状空間である。

スペース${\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}$自明な束上の接続${\displaystyle \Sigma \times G}$表面上には無限次元のシンプレクティック形式が現れる

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle$ :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}

ゲージグループ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$活用によって連結に作用する${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag}$。 識別する${\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}$統合ペアリングを介して。次にマップ

${\displaystyle \mu$ :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}

接続をその曲率に送るモーメント写像は、接続に対するゲージ群の作用のモーメント写像である。特に、ゲージ等価性を法とする平面接続のモジュライ空間は${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}$シンプレクティック還元によって与えられる。

• GIT 指数
• 量子化は還元と可換である
• ポアソン・リー群
• トーリック多様体
• 幾何力学
• キルワン地図
• コスタントの凸性定理
• BRST量子化

• J.-M. Souriau、Structure des systèmes dynamiques、Maîtrises de mathématiques、デュノー、パリ、1 ​​970。ISSN 0750-2435。 
• S.K. ドナルドソン、P.B. クロンハイマー著、『四次元多様体の幾何学』、オックスフォード・サイエンス出版、1990年。ISBN 0-19-850269-9。
• Dusa McDuffおよび Dietmar Salamon、『シンプレクティックトポロジー入門』、Oxford Science Publications、1998 年。ISBN 0-19-850451-9。
• Choquet-Bruhat, イヴォンヌ県; DeWitt-Morette、Cécile (1977)、分析、多様体、物理学、アムステルダム: エルゼビア、ISBN 978-0-7204-0494-4
• オルテガ、フアン＝パブロ；ラティウ、チューダー S. (2004).運動量マップとハミルトニアン縮約. 数学の進歩. 第 222 巻. バークハウザー ボストン. ISBN 0-8176-4307-9。
• オーディン、ミシェル（2004）、「シンプレクティック多様体上のトーラス作用」、Progress in Mathematics、第 93巻（第2版改訂 版）、Birkhäuser、ISBN 3-7643-2176-8
• ギルマン、ヴィクトル；シュテルンベルク、シュロモ（1990）、『物理学におけるシンプレクティック技法（第2 版）』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-38990-9
• Woodward, Chris (2010), Moment maps and geometric invariant theory , Les cours du CIRM, vol.  1, EUDML, pp. 55–98 , arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W 
• Bruguières、Alain ( 1987)、「Propriétés de convexité de l'application moment」(PDF)、Astérisque、Séminaire Bourbaki、145–146 : 63–87
• マースデン、ジェロルド；ワインスタイン、アラン（1974）「対称性を持つシンプレクティック多様体の縮小」、数理物理学報告、5（1）：121–130、Bibcode：1974RpMP....5..121M、doi：10.1016/0034-4877(74)90021-4
• Sjamaar, Reyer; Lerman, Eugene (1991)、「層状シンプレクティック空間と還元」、Annals of Mathematics、134 (2): 375–422、doi : 10.2307/2944350、JSTOR 2944350