磁気単極子

初期の科学者の多くは、磁鉄鉱の磁性は、一方の端にある北極流体ともう一方の端にある南極流体という、2 つの異なる「磁性流体」（「エフルビア」）によるものだと考え、これらは正と負の電荷に類似して互いに引き合ったり反発したりした。^{[ 8 ] [ 9 ]}しかし、19 世紀に電磁気学の理解が深まると、磁鉄鉱の磁性は磁気単極子流体ではなく、電流、電子の磁気モーメント、および他の粒子の磁気モーメントの組み合わせによって適切に説明されることがわかった。マクスウェル方程式の1 つであるガウスの磁気の法則は、磁気単極子が存在しないことを数学的に述べている。それにもかかわらず、ピエール・キュリーは1894 年に^{[ 10 ]}、磁気単極子はこれまで見つかっていないにもかかわらず、理論的には存在し得ると指摘した。

磁荷の量子論は、 1931年に物理学者ポール・ディラックが発表した論文から始まった。^{[ 11 ]}この論文でディラックは、宇宙に磁気単極子が存在するならば、宇宙のすべての電荷は量子化されなければならないことを示した（ディラックの量子化条件）。^{[ 12 ]}実際、電荷は量子化されており、これは単極子の存在と矛盾しないが、証明するものではない。^{[ 12 ]}

ディラックの論文以来、いくつかの系統的な単極子探索が行われてきました。1975年^{[ 13 ]}と1982年^{[ 14 ]}の実験では、当初は単極子と解釈された候補事象が生成されましたが、現在では決定的な証拠とはみなされていません^{[ 15 ]} 。したがって、単極子が存在するかどうかは未解決の問題のままです。理論素粒子物理学のさらなる進歩、特に大統一理論と量子重力の発展により、単極子が存在するというより説得力のある議論（以下に詳述）がもたらされました。弦理論家のジョセフ・ポルチンスキーは、単極子の存在を「まだ見ていない物理現象についてできる最も確実な賭けの1つ」と表現しました^{[ 16 ]}。これらの理論は、必ずしも実験的証拠と矛盾するものではありません。いくつかの理論モデルでは、磁気単極子は粒子加速器で生成するには質量が大きすぎるため（以下の§ 磁気単極子の探索を参照）、また宇宙では粒子検出器に入る確率が低すぎるため、観測される可能性は低いとされています。^{[ 16 ]}

凝縮系の中には、表面的には磁気単極子に似た構造を持つ磁束管と呼ばれるものがある。磁束管の両端は磁気双極子を形成するが、それぞれ独立して運動するため、多くの目的において独立した磁気単極子準粒子として扱うことができる。2009年以降、一般メディアの多くの報道^{[ 17 ] [ 18 ]}では、これらの系が長らく待ち望まれていた磁気単極子の発見であると誤って伝えられてきたが、この2つの現象は表面的な関連性しかない^{[ 19 ] [ 20 ]} 。これらの凝縮系は、現在も活発な研究分野である。（下記の「凝縮系における単極子」の項 を参照。）

SIで使用される国際量体系では、磁荷q _mを定義するための 2 つの慣習があり、それぞれ異なる単位、ウェーバー (Wb)とアンペアメートル (A⋅m) があります。単位は1 Wb = 1 H⋅A = (1 H⋅m ⁻¹ )(1 A⋅m)であり、H はインダクタンスの SI 単位であるヘンリーであるため、これらの間の変換は_{q m} ^[Wb] = μ ₀ q _m ^[A⋅m]となります。

マクスウェル方程式は、次の形式をとります（上記と同じ表記法を使用）：^{[注1 ]}

マクスウェル方程式は、ポテンシャルを用いて次のように表すこともできます。

どこ

${\displaystyle \Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}}$

テンソルを用いたマクスウェル方程式は、ローレンツ共変性を明確に示します。本稿では、電磁テンソルと予備的な4元ベクトルを以下のように導入します。

どこ：

• ミンコフスキー計量の符号は(+ − − −)です。
• 電磁テンソルとそのホッジ双対は反対称テンソルである。

  ${\displaystyle F^{\alpha \beta }=-F^{\beta \alpha },\quad {\tilde {F}}^{\alpha \beta }=-{\tilde {F}}^{\beta \alpha }}$

一般化された方程式は次のとおりです。^{[ 26 ] [ 27 ]}

あるいは、^{[ 28 ] [ 29 ]}

ここで、ε ^{α β μ ν}はLevi-Civita 記号です。

一般化されたマクスウェル方程式は、双対変換と呼ばれるある種の対称性を持っています。任意の実数角ξを選択することで、宇宙のあらゆる場所の場と電荷を同時に次のように変更できます（ガウス単位で）：^{[ 30 ]}

ここで、プライム記号の付いた量は変換前の電荷と電場を表し、プライム記号の付かない量は変換後の電荷と電場を表します。この変換後も、電場と電荷は依然として同じマクスウェル方程式に従います。

双対変換のため、粒子の挙動を観察してそれをマクスウェル方程式と比較するだけでは、粒子が電荷を持つか、磁気電荷を持つか、あるいはその両方を持つかを一意に決定することはできません。たとえば、電子が電荷を持つが磁気電荷を持たないというのは、マクスウェル方程式の要件ではなく、単なる慣例にすぎません。ξ = π /2の変換後は、逆になります。重要な経験的事実は、これまで観測されたすべての粒子が、磁気電荷と電荷の比率が同じであるということです。[ ^{30 ]双対}変換は、この比率を任意の数値に変更できますが、すべての粒子が同じ比率を持つという事実は変更できません。このため、この比率をゼロに設定する双対変換を行うことができ、すべての粒子が磁気電荷を持たないようにすることができます。この選択が、電気と磁気の「慣習的な」定義の根底にあります。^{[ 30 ]}

電磁気学のようなゲージ理論は、ゲージ場によって定義され、ゲージ場は時空内の各経路に群要素を対応付けます。微小経路の場合、群要素は単位元に近くなりますが、より長い経路の場合、群要素は経路上の微小群要素の連続的な積となります。

電気力学では、群はU(1)であり、乗法に関する単位複素数です。無限小経路の場合、群要素は1 + iA _μ dx ^μであり、これはsでパラメータ化された有限経路の場合、群要素が次のようになることを意味します。

${\displaystyle \prod _{s}\left(1+ieA_{\mu }{dx^{\mu } \over ds}\,ds\right)=\exp \left(ie\int A\cdot dx\right).}$

経路から群要素への写像はウィルソンループまたはホロノミーと呼ばれ、U(1)ゲージ群の場合、荷電粒子の波動関数が経路を通過する際に獲得する位相因子である。ループの場合：

${\displaystyle e\oint _{\partial D}A\cdot dx=e\int _{D}(\nabla \times A)\,dS=e\int _{D}B\,dS.}$

つまり、荷電粒子がループ内を移動する際に受ける位相は、ループを通過する磁束に等しい。小型ソレノイドに磁束が存在する場合、荷電粒子がソレノイドの周囲、あるいはソレノイドの異なる側面を周回する際に干渉縞が生じ、それによってソレノイドの存在が明らかになる。

しかし、すべての粒子の電荷がeの整数倍である場合、 2 π / eの磁束を持つソレノイドには干渉縞は生じません。なぜなら、任意の荷電粒子の位相因子はexp(2 π i ) = 1だからです。このようなソレノイドは、十分に薄ければ、量子力学的に不可視となります。このようなソレノイドが2 π / eの磁束を運ぶ場合、磁束が一方の端から漏れ出すと、単極子と区別がつかなくなります。

ディラックの単極子解は実際には一点で終わる微小な線状ソレノイドを表しており、そのソレノイドの位置が解の特異点、すなわちディラック弦です。ディラック弦は反対の磁荷を持つ単極子と反単極子を結び付けますが、ディラックのバージョンでは弦は無限遠まで伸びています。弦は観測不可能なので、どこにでも配置でき、2つの座標パッチを使用することで、弦が見えなくなる位置までスライドさせることにより、各パッチ内の場を非特異にすることができます。

量子化された電荷を持つ U(1) ゲージ群では、群は半径2π / eの円になります。このような U(1) ゲージ群はコンパクトと呼ばれます。大統一理論(GUT)から得られる U(1) はすべてコンパクトです。なぜなら、コンパクトな高次ゲージ群のみが意味を持つからです。ゲージ群の大きさは逆結合定数の尺度であり、ゲージ群の体積が大きい極限では、任意の固定表現の相互作用はゼロになります。

U(1)ゲージ群の場合は、その既約表現がすべて同じ大きさであるため、特別なケースとなります。電荷は整数倍大きくなりますが、場は依然として複素数であるため、U(1)ゲージ場理論では矛盾なく非コンパクト化極限を取ることができます。電荷量子は小さくなりますが、各荷電粒子は膨大な数の電荷量子を持つため、電荷は有限のままです。非コンパクトなU(1)ゲージ群理論では、粒子の電荷は一般的に単一の単位の整数倍ではありません。電荷量子化は実験的に確実なので、電磁気学のU(1)ゲージ群がコンパクトであることは明らかです。

大統一理論（GUT）はコンパクトなU(1)ゲージ群をもたらすため、磁気単極子とは論理的に独立しているように見える方法で電荷量子化を説明する。しかし、長距離でU(1)ゲージ群に崩壊するGUTには必ず磁気単極子が存在するため、その説明は本質的に同じである。

この議論は位相幾何学的なものである。

1. ゲージ場のホロノミーは、ループをゲージ群の要素に写像する。微小ループは、単位元に限りなく近い群の要素に写像される。
2. 宇宙空間にある大きな球体を想像すると、北極を始点とし北極を終点とする微小なループを次のように変形させることができます。まず、ループを西半球上で大円になるまで伸ばし（それでも北極を始点とし北極を終点とします）、次に東半球上で小さなループに縮めます。これを「球体をラッソで捕らえる」と呼びます。
3. ラッソイングはループのシーケンスであるため、ホロノミーはそれを群要素のシーケンス、すなわちゲージ群における連続的な経路に写像する。ラッソイングの開始時のループは終了時のループと同じであるため、群における経路は閉じている。
4. ラッソイング手順に関連する群経路がU(1)の周りを巻き付く場合、その球体には磁荷が含まれる。ラッソイング中、ホロノミーは球体を通過する磁束の量に応じて変化する。
5. 最初と最後のホロノミーが恒等式であるため、全磁束は量子化される。磁荷は巻線数Nに比例し、球を通過する磁束は2 π N / eに等しい。これはディラックの量子化条件であり、長距離 U(1) ゲージ場構成が整合していることを要求する位相的条件である。
6. U(1)ゲージ群がコンパクトリー群の破壊から生じる場合、U(1)群を十分な回数周回する経路は、大きな群において位相的に自明です。非U(1)コンパクトリー群では、被覆空間は同じリー代数を持つリー群ですが、すべての閉ループが縮約可能です。リー群は同次であるため、群内の任意のサイクルを移動させて恒等から開始し、被覆群へのリフトをPで終了させることができます。Pは恒等のリフトです。ループを2周するとP ²に、3周するとP ³に到達し、これらはすべて恒等のリフトです。しかし、リフトは蓄積できないため、恒等のリフトは有限個しかありません。ループを縮約可能にするためにループをたどる回数は小さく、たとえばGUT群がSO(3)で被覆群がSU(2)の場合、任意のループを2周すれば十分です。
7. これは、GUT群に連続的なゲージ場構成が存在するため、U(1)モノポール構成が短距離でほどけることを可能にするが、その代償としてU(1)内に留まらなくなることを意味する。できるだけ少ないエネルギーでこれを行うには、U(1)ゲージ群をモノポールのコアと呼ばれる一点の近傍にのみ残す必要がある。コアの外側では、モノポールは磁場エネルギーのみを持つ。

したがって、ディラックモノポールはコンパクトなU(1)ゲージ理論における位相的欠陥である。大統一理論が存在しない場合、この欠陥は特異点となり、コアは一点に縮小する。しかし、時空に何らかの短距離レギュレータが存在する場合、モノポールは有限の質量を持つ。モノポールは格子U(1)に現れ、その場合、コアのサイズは格子のサイズとなる。一般に、短距離レギュレータが存在する場合には必ずモノポールが現れると予想される。

宇宙では、量子重力が調整役を担っている。重力が加わると、単極子特異点はブラックホールになる可能性があり、大きな磁気電荷と質量の場合、ブラックホールの質量はブラックホールの電荷に等しくなるため、磁気ブラックホールの質量は無限大にはならない。ブラックホールがホーキング放射によって完全に崩壊する場合、最も軽い荷電粒子は重くなりすぎることはない。^{[ 33 ]}最も軽い単極子は、自然単位でその電荷よりも小さいか同程度の質量を持つべきである。

したがって、弦理論が唯一知られている例であるような、一貫性のあるホログラフィック理論においては、常に有限質量の単極子が存在する。通常の電磁気学においては、質量の上限はプランク質量とほぼ同じ大きさであるため、あまり有用ではない。

数学において、（古典的な）ゲージ場は、時空上の主G束上の接続として定義される。Gはゲージ群であり、束の各ファイバーに個別に作用する。

Gバンドル上の接続は、 Mの近接する点でファイバーを結合する方法を示します。これは、ファイバーFに作用する連続対称群Gから始まり、各微小経路に群要素を関連付けます。任意の経路に沿った群乗算は、経路に関連付けられたG要素がファイバーFに作用することによって、バンドル上の 1 つの点から別の点に移動する方法を示します。

数学において、束の定義は位相を強調するように設計されているため、接続の概念は後付けで付け加えられたものです。物理学においては、接続は基本的な物理的対象です。代数位相における特性類理論の基本的な観察の一つは、非自明な主束の多くのホモトピー構造が、その上の任意の接続に関する何らかの多項式の積分として表現できるということです。自明な束上の接続からは決して非自明な主束は得られないことに注意してください。

時空が${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$Gバンドルのすべての可能な接続の空間は連結である。しかし、時空から時間的ワールドラインを取り除くとどうなるかを考えてみよう。結果として得られる時空は、位相的球面S ²とホモトピー的に同値である。

S ²上の主Gバンドルは、 S ^{2 を}2 つのチャートで覆うことで定義され、各チャートは開 2 球と同相であり、それらの交点はストリップS ¹ × Iと同相である。2 球はホモトピー的に自明であり、ストリップは円S ¹とホモトピー的に同値である。したがって、可能な接続の位相的分類は、遷移関数の分類に帰着する。遷移関数はストリップをGに写像し、ストリップをGに写像するさまざまな方法は、 Gの最初のホモトピー群によって与えられる。

したがって、Gバンドル定式化では、ゲージ理論は、Gが単連結でない場合、つまり、一定経路（像が一点からなる経路）に変形できない経路が群の周りを回る場合に、ディラックモノポールを許容します。量子化された電荷を持つU(1)は単連結ではなく、ディラックモノポールを持つことができますが、${\displaystyle \mathbb {R} }$その普遍被覆群は単連結であり、量子化された電荷を持たず、ディラック単極子を許容しない。数学的な定義は、ディラックに従ってパッチごとにのみ定義されるゲージ場が許容され、異なるパッチ上のゲージ場がゲージ変換後に貼り合わされるという条件の下で、物理学的な定義と同等である。

全磁束は、主束の第一チャーン数に他ならず、主束の選択のみに依存し、その上の具体的な接続には依存しない。言い換えれば、それは位相不変量である。

このモノポールに関する議論は、純粋な U(1) 理論に対するラッソ議論の言い換えである。これは、d ≥ 2のd + 1次元にいくつかの方法で一般化される。1 つの方法は、すべてを余剰次元に拡張し、U(1) モノポールがd − 3次元のシートになることである。もう 1 つの方法は、ホモトピー群π _{d −2} (G)を持つ点における位相的特異点のタイプを調べることである。

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