結び目不変量

数学の結び目理論の分野において、結び目不変量とは、各結び目に対して定義される量（広い意味で）であり、同値な結び目については同じである。同値性は周囲同位体によって与えられることが多いが、同相写像によって与えることもできる。^[1]いくつかの不変量は確かに数（代数的^[2]）であるが、不変量は、はい/いいえの答えのような単純なものから、ホモロジー理論のような複雑なもの（例えば、「結び目不変量とは、任意の結び目Kに量φ( K )を割り当てる規則であり、 KとK'が同値であればφ( K ) = φ( K' )となる」^[3] ）まで及ぶ。不変量に関する研究は、結び目を互いに区別するという基本的な問題だけでなく、結び目の基本的な性質と数学の他の分野との関係を理解することも目的としている。結び目不変量は結び目の分類に使用され、^{[3] [4]}「列挙」と「重複除去」の両方で使用されます。^[2]

結び目不変量とは、すべての結び目の集合上で定義される量であり、任意の2つの同等の結び目に対して同じ値を取る。例えば、結び目群は結び目不変量である。^[5]

通常、結び目不変量は結び目図上で定義される組み合わせ 量です。したがって、2 つの結び目図が何らかの結び目不変量に関して異なる場合、それらは異なる結び目を表しているに違いありません。ただし、位相不変量の場合に一般的に当てはまるように、2 つの結び目図が [単一の] 結び目不変量に関して同じ値を共有している場合、結び目が同じであると結論付けることはできません。^[6]

現代的な観点からは、結び目不変量を結び目図から定義するのは自然なことです。もちろん、それはライデマイスター移動（「三角移動」^[4]）に対して変化しない（つまり不変）でなければなりません。三色可能性（およびn色可能性）は特に単純で一般的な例です。他の例としては、ジョーンズ多項式などの結び目多項式があり、これは現在、結び目を互いに区別するための最も有用な不変量の一つですが、現在のところ、すべての結び目を互いに区別する結び目多項式が存在するかどうかはわかっていません。^{[7] [8] [9]ただし、}コバノフホモロジーや結び目フロイヤーホモロジーなど、非結び目を他のすべての結び目と区別する不変量はあります。

その他の不変量は、結び目図の整数値関数を考慮し、与えられた結び目のすべての可能な図に対してその最小値を取ることによって定義できます。このカテゴリには、結び目の任意の図の交差の最小数である交差数と、結び目の任意の図の橋の最小数である橋数が含まれます。

歴史的に、初期の結び目不変量の多くは、最初に図を選択することによって定義されるのではなく、本質的に定義されるため、これらの不変量の一部を計算することが困難になることがあります。たとえば、結び目の種数は計算が特に難しいですが、効果的な場合があります (たとえば、突然変異体を区別する場合)。

結び目の補集合（位相空間）は、ゴードン・リュッケ定理によって、その結び目を周囲の同位体や鏡像まで他のすべての結び目と区別するという意味において、結び目の「完全不変量」であることが知られている。結び目の補集合に関連する不変量には、補集合の基本群にすぎない結び目群が含まれる。結び目のカンドルもこの意味で完全不変量であるが、2つのカンドルが同型であるかどうかを判断するのは困難である。周辺部分群も完全不変量として機能することがある。^[10]

モストウ・プラサド剛性により、双曲リンクの補集合上の双曲構造は一意であり、これは双曲体積がこれらの結び目とリンクの不変量であることを意味します。体積やその他の双曲不変量は非常に効果的であることが証明されており、結び目の表作成における大規模な取り組みの一部で利用されています。

近年、よく知られた不変量を分類する結び目のホモロジー不変量に大きな関心が寄せられている。ヒーガード・フレアー・ホモロジーは、オイラー特性が結び目のアレクサンダー多項式であるホモロジー理論である。これは、古典的な不変量に関する新しい結果を導き出すのに有効であることが証明されている。別の研究分野では、オイラー特性がジョーンズ多項式であるコバノフ・ホモロジーと呼ばれる、組み合わせ論的に定義された結び目のコホモロジー理論がある。これは、以前の証明ではゲージ理論が必要だったスライス種数の境界を得るのに有効であることが最近示された。ミハイル・コバノフとレフ・ロザンスキーは、それ以来、オイラー特性が他の古典的な不変量を回復する他のいくつかの関連するコホモロジー理論を定義している。カタリーナ・ストロッペルは、量子群不変量を分類することにより、コバノフ・ホモロジーの表現論的解釈を与えた。

結び目の理論家と科学者の両方から、結び目の「物理的」または幾何学的性質を理解し、それを位相不変量や結び目の種類に関連付けることへの関心が高まっています。この方向での古い結果は、ファリー・ミルナー定理であり、 結び目Kの全曲率が${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \oint _{K}\kappa \,ds\leq 4\pi ,}$

ここでκ ( p ) はpにおける曲率であり、Kは結び目がない。したがって、結び目のある曲線の場合、

${\displaystyle \oint _{K}\kappa \,ds>4\pi .\,}$

「物理的な」不変量の例としては、ロープの長さが挙げられます。これは、特定の結び目タイプを実現するために必要な単位直径のロープの長さです。

• 連結数 – 3次元空間における2つの閉曲線の連結を表す数値不変量
• 有限型不変量 – 結び目理論における不変量の種類（またはヴァシリエフ不変量またはヴァシリエフ・グサロフ不変量）
• スティック数 – 結び目に相当する多角形パスの最小の辺数

• ロルフセン、デール (2003)。『結び目とつながり』。プロビデンス、ロードアイランド州：AMS。ISBN 0-8218-3436-3。
• アダムス、コリン・コンラッド（2004年）。『結び目の本：結び目の数学理論への初歩的入門』（改訂版、訂正あり）。プロビデンス、ロードアイランド州：AMS。ISBN 0-8218-3678-1。
• ブルデ、ゲルハルト。ジーチャン、ハイナー (2002)。ノット(第 2 版および拡張版)。ニューヨーク：デ・グルイテル。ISBN 3-11-017005-1。

• Cha, Jae Choon; Livingston, Charles. 「KnotInfo: 結び目不変量の表」。Indiana.edu 。2021年8月17日閲覧。
• 「不変量」、結び目アトラス。