フリップ（数学）

代数幾何学において、フリップ と フロップは、相対標準環に沿って拡大することによって与えられる、極小モデルプログラムで生じる余次元2の手術操作です。次元3では、フリップは極小モデルの構築に使用され、任意の2つの双有理的に同値な極小モデルは、フロップのシーケンスによって接続されます。より高い次元でも同じことが当てはまると推測されます。

最小モデルプログラムは、次のように簡単にまとめることができます。多様体 が与えられた場合、それぞれが正準因子 が負である曲線を縮約する縮約のシーケンスを構築します。最終的には、nef (少なくとも非負のKodaira 次元の場合)になるはずであり、これが望ましい結果です。主な技術的問題は、ある段階で、多様体が「特異すぎる」、つまり正準因子がもはやカルティエ因子ではなくなる可能性があるということで、曲線との交差数は定義されません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=X_{1}\rightarrow X_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{n}}$${\displaystyle K_{X_{i}}}$${\displaystyle K_{X_{n}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle K_{X_{i}}}$${\displaystyle K_{X_{i}}\cdot C}$${\displaystyle C}$

この問題の（推測上の）解は、反転 です。上記のような問題が与えられた場合、 の反転は、の特異点よりも「優れた」特異点を持つ多様体への双有理写像（実際は余次元 1 の同型）です。したがって、 を代入して、処理を続行できます。^[1]${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle f\colon X_{i}\rightarrow X_{i}^{+}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i+1}=X_{i}^{+}}$

フリップに関する 2 つの大きな問題は、フリップが存在することを示すことと、フリップの無限シーケンスはあり得ないことを示すことです。これらの問題の両方が解決できれば、最小モデル プログラムを実行できます。3 次元多様体のフリップの存在は Mori (1988) によって証明されました。3 次元と 4 次元でのより一般的な種類のフリップである log フリップの存在は Shokurov (1993、2003) によって証明され、彼の研究は log フリップの存在やその他の高次元の問題の解決に不可欠でした。高次元での log フリップの存在は、(Caucher Birkar、Paolo Cascini、Christopher D. Hacon 他 2010) によって解決されています。一方、停止の問題 (フリップの無限シーケンスはあり得ないことを証明する) は、3 次元を超えるとまだ未解決です。

が射で、KがXの標準バンドルである場合、 fの相対標準環は ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle \bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK))}$

はY上の正則関数の層上の次数付き代数の層である。爆発 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$

${\displaystyle f^{+}\colon X^{+}=\operatorname {Proj} {\big (}\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK)){\big )}\to Y}$

Yの相対標準環に沿った射は、 Yへの射です。相対標準環が有限生成 ( 上の代数として) である場合、 が相対的に豊富な場合、射はのフリップと呼ばれ、 K が相対的に自明な場合、のフロップと呼ばれます。 ( からへの誘導双有理射は、フリップまたはフロップと呼ばれることもあります。) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle f^{+}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$

アプリケーションでは、極限光線の小さな収縮であることが多く、いくつかの追加のプロパティを意味します。 ${\displaystyle f}$

• 両方の写像の例外集合は少なくとも2の余次元を持ち、${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{+}}$
• ${\displaystyle X}$終端特異点などの軽度の特異点のみを持ちます。${\displaystyle X^{+}}$
• ${\displaystyle f}$および はYへの双有理射であり、 Y は正規かつ射影的である。${\displaystyle f^{+}}$
• およびのファイバー内のすべての曲線は数値的に比例します。${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{+}}$

アティヤ フロップとして知られるフロップの最初の例は、(Atiyah 1958) で見つかりました。におけるの零点をYとし、原点におけるYの爆発をVとします。この爆発の例外的な位置は と同型であり、2 つの異なる方法で に爆発することができ、多様体とが得られます。 からへの自然な双有理写像はアティヤ フロップです。 ${\displaystyle xy=zw}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$

リード（1983）はリードのパゴダを導入した。これはアティヤのフロップのYをのゼロに置き換えた一般化である。 ${\displaystyle xy=(z+w^{k})(z-w^{k})}$

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