最小モデルプログラム

代数幾何学において、極小モデルプログラムは代数多様体の双有理分類の一部です。その目的は、可能な限り単純な任意の複素射影多様体の双有理モデルを構築することです。この主題はイタリア学派が研究した古典的な曲面の双有理幾何学に起源を持ち、現在は代数幾何学内で活発な研究分野となっています。

この理論の基本的な考え方は、各双有理同値類において「可能な限り単純」な多様体を見つけることによって、多様体の双有理分類を単純化することである。このフレーズの正確な意味は、主題の発展とともに進化してきた。もともと曲面の場合、これは滑らかな曲面を持つ任意の双有理射が同型であるような滑らかな多様体を見つけることを意味していた。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to X'}$${\displaystyle X'}$

現代的な定式化では、理論の目標は次のようになります。単純化のために非特異であると仮定した射影多様体 が与えられたとします。その小平次元に基づいて2つのケースがあります。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa (X)}$

• ${\displaystyle \kappa (X)=-\infty .}$我々は、の双有理多様体と、一般ファイバーの反標準類が十分であるような射影多様体への射影を見つけたい。このような射影はファノファイバー空間と呼ばれる。${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon X'\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \dim Y<\dim X',}$ ${\displaystyle -K_{F}}$${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle \kappa (X)\geqslant 0.}$標準クラスnef を持つ の双有理を見つけたいとします。この場合、は の最小モデルです。${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{X^{\prime}}}$ ${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$

上に現れる多様体とが非特異であるかどうかという問題は重要です。滑らかな から始めると、滑らかな多様体のカテゴリ内に常に極小モデルまたはファノファイバー空間が見つかると考えるのは自然なことです。しかし、これは真実ではないので、特異多様体も考慮する必要があります。現れる特異点は終端特異点と呼ばれます。 ${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

すべての既約複素代数曲線は、唯一の滑らかな射影曲線に対して双有理的であるため、曲線の理論は自明です。曲面の場合は、1900年頃にイタリア学派の幾何学者によって最初に研究されました。Guido Castelnuovoの縮約定理は、基本的に、任意の滑らかな射影面の最小モデルを構築するプロセスを説明しています。定理は、任意の非自明な双有理射影は、−1 曲線を滑らかな点に縮約する必要があり、逆に、そのような曲線は滑らかに縮約できると述べています。ここで、−1 曲線は、自己交差を持つ滑らかな有理曲線Cです。このような曲線は、必ず を持ちます。これは、標準クラスが nef である場合、曲面には −1 曲線が存在しないことを示しています。 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle C\cdot C=-1.}$${\displaystyle K\cdot C=-1}$

カステルヌオーヴォの定理によれば、滑らかな表面の極小モデルを構築するには、表面上のすべての −1 曲線を縮約するだけでよく、結果として得られる多様体YはK nefを持つ (唯一の) 極小モデルか、線織面 (2 次元ファノ ファイバー空間と同じで、射影平面または曲線上の線織面のいずれか) のいずれかになります。2 番目のケースでは、Xに双有理的な線織面は一意ではありませんが、射影直線と曲線の積に同型な線織面は一意です。やや微妙な点は、表面に無限数の -1 曲線がある場合でも、有限個の -1 曲線を縮約するだけで -1 曲線のない表面が得られることです。

次元が 2 を超えると、理論ははるかに複雑になります。特に、nef 標準クラスを持つ任意の滑らかな多様体と双有理ではない滑らかな多様体が 存在します。1970 年代から 1980 年代初頭の主要な概念的進歩は、発生する特異点の種類に注意すれば、極小モデルの構築が依然として実行可能であるということでした。(たとえば、 がnef かどうかを判断したいので、交差数を定義する必要があります。したがって、少なくとも、多様体は何らかの正の整数 のカルティエ因子でなければなりません。) ${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle K_{X'}}$${\displaystyle K_{X'}\cdot C}$${\displaystyle nK_{X'}}$${\displaystyle n}$

最初の重要な結果は、の曲線の円錐の構造を記述する、森重文の円錐定理です。簡単に言えば、定理は、 から始めて、それぞれが nef を持つことに前のものよりも「近い」一連の多様体 を帰納的に構築できることを表しています。しかし、このプロセスは困難に遭遇するかもしれません。ある時点で多様体が「特異になりすぎる」可能性があるのです。この問題の推測上の解決法は、 に対する一種の余次元 2 手術操作であるフリップです。必要なフリップが存在するかどうか、また、フリップが常に終了する (つまり、有限個のステップで極小モデルに到達する) かどうかは明らかではありません。森 (1988) は、3 次元の場合にフリップが存在することを示しました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle K_{X_{i}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X'}$

より一般的な対数フリップの存在は、3次元と4次元でヴィアチェスラフ・ショクロフによって確立されました。これはその後、ショクロフとヘイコン、マッカーナンの以前の研究を基に、カウチャー・ビルカー、パオロ・カシーニ、クリストファー・ヘイコン、ジェームズ・マッカーナンによって高次元に一般化されました。彼らはまた、対数標準環の有限生成や対数一般型の多様体の極小モデルの存在など、他のいくつかの問題も証明しました。

高次元におけるログフリップの終了の問題は、依然として活発な研究の対象となっています。

• 豊富さの推測
• 最小有理曲面

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