ADHM建設

数理物理学とゲージ理論において、ADHM 構築またはモナド構築とは、マイケル・アティヤ、ウラジミール・ドリンフェルド、ナイジェル・ヒッチン、ユーリ・I・マニンが論文「インスタントンの構築」で 線形代数の方法を使用してすべてのインスタントンを構築することです。

ADHM 構築では次のデータが使用されます。

• k次元とN次元の複素ベクトル空間 VとW、
• k  ×  k複素行列B ₁、B ₂、k  ×  N複素行列I、N  ×  k複素行列 J、
• リアルモーメント マップ ${\displaystyle \mu_{r}=[B_{1},B_{1}^{\dagger }]+[B_{2},B_{2}^{\dagger }]+II^{\dagger }-J^{\dagger }J,}$
• 複雑なモーメントマップ${\displaystyle \displaystyle \mu _{c}=[B_{1},B_{2}]+IJ.}$

そしてADHM構成は、ある規則性条件が与えられた場合、

• B ₁、B ₂、I、Jが与えられ、SU( N )ゲージ理論においてインスタントン数kの反自己双対インスタントンが構成できる。${\displaystyle \mu_{r}=\mu_{c}=0}$
• すべての反自己双対インスタントンはこのようにして得られ、U( k )回転までの解と1対1に対応しており、U( k)回転は、副表現の各Bと、基本表現と反基本表現を介してIとJに作用する。
• インスタントンのモジュライ空間上の計量は、 B、 I、J上の平坦計量から継承されたものです。

非可換ゲージ理論では、ADHM 構成は同一ですが、モーメント マップは時空の非可換行列と単位行列 の積の自己双対射影に等しく設定されます。この場合、ゲージ グループが U(1) の場合でもインスタントンが存在します。非可換インスタントンは、1998 年にNikita NekrasovとAlbert Schwarzによって発見されました 。 ${\displaystyle {\vec {\mu}}}$

B ₂とJをゼロに設定すると、渦、インスタントン、ブレーンで実証されたように、色とフレーバーの数が等しい超対称ゲージ理論の非可換渦の古典的なモジュライ空間が得られます。より多くのフレーバーへの一般化は、ヒッグス相のソリトン: モジュライ行列アプローチで示されました。どちらの場合も、スクォーク凝縮を決定するFayet–Iliopoulos 項 は、実モーメントマップの非可換性パラメータの役割を果たします。

xを四元数表記 で書かれた4次元ユークリッド 時空座標とする。${\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix }}.}$

2 k  × ( N  + 2 k )行列 を考える

${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

すると、条件は因数分解条件と等しくなります。 ${\displaystyle \displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$

${\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}$ここでf ( x )はk × kの エルミート行列です。

すると、エルミート射影演算子Pは次のよ​​うに構築できる。

${\displaystyle P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}$

Δ( x )のヌル空間は、一般的なxに対してN次元です。このヌル空間の基底ベクトルは、正規直交化条件U ^† U = 1を持つ( N  + 2 k )×  N行列U ( x )に組み立てることができます 。

Δの階数に関する正則性条件は完全性条件を保証する。

${\displaystyle P+UU^{\ダガー }=1.\,}$

反自己双対接続はUから次の式で 構築される。

${\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}$

• モナド（ホモロジー代数）
• ツイスター理論

• アティヤ、マイケル・フランシス(1979)、ヤン・ミルズ・フィールドの幾何学、ピサ高等師範学校、ピサ、MR  0554924
• マイケル・フランシス・アティヤ;ドリンフェルド, バージニア州;ヒッチン, ニュージャージー州; Manin、Yuri Ivanovich (1978)、「インスタントンの構築」、Physics Letters A、65 (3): 185–187、Bibcode :1978PhLA...65..185A、doi :10.1016/0375-9601(78)90141- X、ISSN  0375-9601、MR  0598562
• Hitchin, N. (1983)、「モノポールの構築について」、Commun. Math. Phys. 89、145–190。