微分演算子の種類
環状空間 上で定義された ラプラス方程式 の解 。 ラプラス演算子は 楕円演算子の最も有名な例です。 偏微分方程式 の理論において 、 楕円型演算子は ラプラス演算子 を一般化する 微分演算子 です 。楕円型演算子は、最高次の導関数の係数が正であるという条件によって定義されます。これは、 主記号 が可逆であるという重要な特性、つまり実数の 特性 方向が存在しないことを意味します 。
楕円演算子はポテンシャル理論 の典型であり 、 静電気学 や 連続体力学 で頻繁に登場します。 楕円の正則性は、 その解が 滑らかな関数になる傾向があることを意味します (演算子の係数が滑らかな場合)。 双曲型 方程式と 放物型 方程式の定常解は、 一般に楕円方程式を解きます。
定義 を、によって与えられる
R n の 領域上の m 次線型微分作用素 と します 。
ここで、は 多重指数 を表し 、 は における 次数の偏微分を表します 。
L
{\displaystyle L}
Ω
{\displaystyle \Omega }
L
u
=
∑
|
α
|
≤
m
a
α
(
x
)
∂
α
u
{\displaystyle Lu=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }u}
α
=
(
α
1
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}
∂
α
u
=
∂
1
α
1
⋯
∂
n
α
n
u
{\displaystyle \partial ^{\alpha }u=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}u}
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
が楕円型で ある とは、 内の任意の xと R n 内の 任意の非ゼロ に対して 、
であるときです 。
L
{\displaystyle L}
Ω
{\displaystyle \Omega }
ξ
{\displaystyle \xi }
∑
|
α
|
=
m
a
α
(
x
)
ξ
α
≠
0
,
{\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }\neq 0,}
ξ
α
=
ξ
1
α
1
⋯
ξ
n
α
n
{\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}
多くの応用では、この条件は十分に強くなく、代わりに m = 2 k 次の演算子に対して 一様楕円条件 が課されることがあります。
ここで C は正の定数です。楕円率は最高次の項にのみ依存することに注意してください。 [1]
(
−
1
)
k
∑
|
α
|
=
2
k
a
α
(
x
)
ξ
α
>
C
|
ξ
|
2
k
,
{\displaystyle (-1)^{k}\sum _{|\alpha |=2k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }>C|\xi |^{2k},}
非線形演算子は
、その 線形化が楕円型である場合に楕円型です。つまり、 u に関する 1 次テイラー展開 と任意の点についてのその導関数は楕円型演算子です。
L
(
u
)
=
F
(
x
,
u
,
(
∂
α
u
)
|
α
|
≤
m
)
{\displaystyle L(u)=F\left(x,u,\left(\partial ^{\alpha }u\right)_{|\alpha |\leq m}\right)}
例1 R d における ラプラス演算子 の負の部分は 、 一様楕円演算子です。ラプラス演算子は、静電気学でよく使用されます。ρ が領域 Ω 内の電荷密度である場合、ポテンシャル Φ は次の式を満たしている必要があります。
−
Δ
u
=
−
∑
i
=
1
d
∂
i
2
u
{\displaystyle -\Delta u=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}^{2}u}
−
Δ
Φ
=
4
π
ρ
.
{\displaystyle -\Delta \Phi =4\pi \rho .}
例2 対称かつ任意のx に対して正定値で 、成分 a ij を 持つ行列値関数 A ( x ) が与えられた場合、演算子は 楕円型です。これは、2 次発散形式線形楕円微分演算子の最も一般的な形式です。ラプラス演算子は、 A = I とすることで得られます。これらの演算子は、分極媒体の静電気でも発生します。
L
u
=
−
∂
i
(
a
i
j
(
x
)
∂
j
u
)
+
b
j
(
x
)
∂
j
u
+
c
u
{\displaystyle Lu=-\partial _{i}\left(a^{ij}(x)\partial _{j}u\right)+b^{j}(x)\partial _{j}u+cu}
例3 p が 非負の数 である場合、p-ラプラシアンは、次のように定義される非線形楕円演算子です 。 同様の非線形演算子は、 氷河力学でも使用されます。氷の Cauchy 応力テンソルは、 グレン流動法則 によれば 、 ある定数 B に対して次のように与えられます。定常状態の氷床の速度は、非線形楕円系を解きます。 ここで、 ρ は氷の密度、 g は重力加速度ベクトル、 p は圧力、 Q は 強制項です。
L
(
u
)
=
−
∑
i
=
1
d
∂
i
(
|
∇
u
|
p
−
2
∂
i
u
)
.
{\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).}
τ
i
j
=
B
(
∑
k
,
l
=
1
3
(
∂
l
u
k
)
2
)
−
1
3
⋅
1
2
(
∂
j
u
i
+
∂
i
u
j
)
{\displaystyle \tau _{ij}=B\left(\sum _{k,l=1}^{3}\left(\partial _{l}u_{k}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{3}}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}u_{i}+\partial _{i}u_{j}\right)}
∑
j
=
1
3
∂
j
τ
i
j
+
ρ
g
i
−
∂
i
p
=
Q
,
{\displaystyle \sum _{j=1}^{3}\partial _{j}\tau _{ij}+\rho g_{i}-\partial _{i}p=Q,}
楕円正則性定理 L を、 係数が 2 k連続導関数を持つ 2 k 次楕円演算子とします 。L の ディリクレ 問題 は、関数 f と適切な境界値が与えられたときに、 Lu = f であり、 u が適切な境界値と正規導関数を持つような関数 u を 見つけることです 。楕円演算子の存在理論は、 ガードンの不等式 、 ラックス・ミルグラムの補題 、 フレドホルムの代替法を使用して、 ソボレフ空間 H k に弱解 u が 存在する ための十分条件を述べています 。
例えば、 例2 のような2階楕円演算子の場合、
γ>0 という数があり、各 μ>γ 、各 に対して、 Lax-Milgram の補題 に基づく 境界値問題 の 一意の解が存在する 。
f
∈
L
2
(
U
)
{\displaystyle f\in L^{2}(U)}
u
∈
H
0
1
(
U
)
{\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}
L
u
+
μ
u
=
f
in
U
,
u
=
0
on
∂
U
{\displaystyle Lu+\mu u=f{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}
(a) 任意の に対して 、 (1) は一意の解を持つか、(b) は 解 を持ちます。これは、 コンパクト演算子 と フレドホルム代替 の特性に基づいています 。
f
∈
L
2
(
U
)
{\displaystyle f\in L^{2}(U)}
L
u
=
f
in
U
,
u
=
0
on
∂
U
{\displaystyle Lu=f{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}
L
u
=
0
in
U
,
u
=
0
on
∂
U
{\displaystyle Lu=0{\text{ in }}U,u=0{\text{ on }}\partial U}
u
≢
0
{\displaystyle u\not \equiv 0}
この状況は、最終的には不満足なものであり、弱解 u には、表現 Lu が 古典的な意味で適切に定義されるのに十分な導関数がない可能性がある。
楕円 正則定理は、 f が二乗積分可能である場合、 u に は実際に 2k 個 の二乗積分可能な弱導関数が存在することを保証します 。特に、 f が無限回微分可能である場合、 u も 無限回微分可能です。
例2 の L の場合 、
内部正則性 : m が自然数の場合、 (2)は (1)の弱解であり、 U 内 の任意の開集合 V に対してコンパクト閉包 (3)となり、ここで Cは U、V、L、m に依存し、これは ソボレフの埋め込み定理 により mが 無限大の場合にも成立する 。
a
i
j
,
b
j
,
c
∈
C
m
+
1
(
U
)
,
f
∈
H
m
(
U
)
{\displaystyle a^{ij},b^{j},c\in C^{m+1}(U),f\in H^{m}(U)}
u
∈
H
0
1
(
U
)
{\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}
‖
u
‖
H
m
+
2
(
V
)
≤
C
(
‖
f
‖
H
m
(
U
)
+
‖
u
‖
L
2
(
U
)
)
{\displaystyle \|u\|_{H^{m+2}(V)}\leq C(\|f\|_{H^{m}(U)}+\|u\|_{L^{2}(U)})}
u
∈
H
l
o
c
m
+
2
(
U
)
{\displaystyle u\in H_{loc}^{m+2}(U)}
境界の正則性 : (2)は、仮定と合わせて、 (3)は Vを U に 置き換えた後でも成立することを示しています 。 つまり、 mが 無限大の場合でも成立します 。
∂
U
{\displaystyle \partial U}
C
m
+
2
{\displaystyle C^{m+2}}
u
∈
H
m
+
2
(
U
)
{\displaystyle u\in H^{m+2}(U)}
この性質を示す任意の微分演算子は、 準楕円演算子と呼ばれます。したがって、すべての楕円演算子は準楕円です。この性質は、楕円演算子のすべての 基本解が 、0 を含まない任意の近傍で無限に微分可能である
ことも意味します。
応用として、関数が コーシー・リーマン方程式 を満たすとします 。コーシー・リーマン方程式は楕円演算子を形成するため、 は滑らかであることがわかります 。
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
一般的な定義 を任意の階数の ベクトル束 間の（非線形の可能性のある）微分作用素と します。その 主記号を 1 形式 に関して取ります。（基本的に、最高次の 共変微分を ベクトル場 に 置き換えることを行ないます 。）
D
{\displaystyle D}
σ
ξ
(
D
)
{\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}
ξ
{\displaystyle \xi }
∇
{\displaystyle \nabla }
ξ
{\displaystyle \xi }
が任意の非ゼロの に対して 線型 同型 である場合、は 弱楕円型 であると いいます 。
D
{\displaystyle D}
σ
ξ
(
D
)
{\displaystyle \sigma _{\xi }(D)}
ξ
{\displaystyle \xi }
が （一様） 強楕円 であるとは、ある定数に対して 、
D
{\displaystyle D}
c
>
0
{\displaystyle c>0}
(
[
σ
ξ
(
D
)
]
(
v
)
,
v
)
≥
c
‖
v
‖
2
{\displaystyle \left([\sigma _{\xi }(D)](v),v\right)\geq c\|v\|^{2}}
全ての人々 のために 。
‖
ξ
‖
=
1
{\displaystyle \|\xi \|=1}
v
{\displaystyle v}
記事の前半で定義した楕円率は 強楕円率 です。ここで は内積です。は 共ベクトル場または 1 形式ですが、は が作用するベクトル束の要素であることに注意してください 。
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
ξ
{\displaystyle \xi }
v
{\displaystyle v}
D
{\displaystyle D}
(強い) 楕円演算子の典型的な例は、 ラプラシアン (または慣例に応じてその負の演算子) です。 が偶数次でなければ、強い楕円性は選択肢にさえならないこと は容易にわかります。 そうでない場合は、 と の負の演算子の両方を代入することを検討してください。 一方、 ディラック演算子 などの弱い楕円の 1 次演算子は、2 乗する とラプラシアンなどの強い楕円演算子になります。 弱い楕円演算子の合成は、弱い楕円です。
D
{\displaystyle D}
ξ
{\displaystyle \xi }
それでもなお、弱楕円性はフレドホルム代替法 、 シャウダー推定値 、 アティヤ・シンガー指数定理 に対しては十分に強い 。一方、 最大原理 、および固有値が離散的であり、その唯一の極限点が無限大であることを保証するためには、強楕円性が必要である。
参照
数学ポータル
注記
^これは 厳密な楕円性 と呼ばれることもあり 、 一様楕円性は 演算子の記号にも上限が存在することを意味するために使われます。慣例が異なる場合があるため、著者が使用している定義を確認することが重要です。最初の定義の使用については、たとえば Evans の第 6 章を、2 番目の定義の使用については Gilbarg と Trudinger の第 3 章を参照してください。
参考文献 エヴァンス、LC (2010) [1998]、 偏微分方程式 、 大学院数学研究 、第19巻（第2版）、プロビデンス、ロードアイランド州： アメリカ数学会 、 ISBN 978-0-8218-4974-3 、 MR 2597943 レビュー: Rauch, J. (2000). 「LC Evans による偏微分方程式」 (PDF) . アメリカ数学会誌 . 37 (3): 363–367. doi : 10.1090/s0273-0979-00-00868-5 . ギルバーグ、D. Trudinger、NS (1983) [1977]、二次楕円偏微分方程式、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 224 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、 ISBN 978-3-540-13025-3 、 MR 0737190 シュビン、MA (2001) [1994]、「楕円演算子」、 数学百科事典 、 EMS プレス
外部リンク EqWorld の線形楕円方程式: 数学方程式の世界。 EqWorld の非線形楕円方程式: 数学方程式の世界。
,v\right)\geq c\|v\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d578d11a3612e360fa0dd1d5748784017168783e)
