同変コホモロジー

数学において、同変コホモロジー（またはボレルコホモロジー）は、群作用を持つ位相空間に適用される代数位相幾何学のコホモロジー理論である。これは、群コホモロジーと通常のコホモロジー理論の共通の一般化として見ることができる。具体的には、位相群の作用を持つ空間の同変コホモロジー環は、ホモトピー商の係数環を持つ通常のコホモロジー環として定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle EG\times _{G}X}$

${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(EG\times _{G}X;\Lambda ).}$

が自明群である場合、これはの通常のコホモロジー環です。一方、が縮約可能 である場合、これは分類空間のコホモロジー環(つまり、Gが有限である場合のの群コホモロジー) に簡約されます。GがXに自由に作用する場合、標準写像はホモトピー同値であるため、次の式が得られます。${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle EG\times _{G}X\to X/G}$${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda)=H^{*}(X/G;\Lambda).}$

加群Aの係数を持つ の同変コホモロジーを定義することもできます 。これらはアーベル群です。この構成は、局所係数を持つコホモロジーの類似物です。 ${\displaystyle H_{G}^{*}(X;A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Xが多様体、G がコンパクト リー群、が実数体または複素数体 (最も一般的な状況) である場合、上記のコホモロジーは、いわゆるカルタン モデルを使用して計算できます(同変微分形式を参照)。 ${\displaystyle \Lambda}$

この構成は、ブレドンコホモロジーや不変微分形式のコホモロジーなどの他のコホモロジー理論と混同すべきではない。Gがコンパクトリー群であれば、平均化の議論^[要出典]により、任意の形式を不変にすることができる。したがって、不変微分形式のコホモロジーは新しい情報を与えない。

コズル双対性は、同変コホモロジーおよび通常のコホモロジーの間で成立することが知られています。

リー群 に対して、滑らかな多様体の同変コホモロジー^[1]は、リー群の群コホモロジーの特別な例である。これは、コンパクトリー群の-空間が与えられた場合、関連する群が存在するためである。${\displaystyle {\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]}$

その同変コホモロジー群は、群体のド・ラーム二重複体の総和であるカルタン複体を使って計算できる。カルタン複体の項は${\displaystyle \Omega _{G}^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}}$

ここで、はリー群 の双対リー代数の対称代数であり、 -不変形式に対応します。これは、コンパクトリー群の のコホモロジーを計算するのに特に便利なツールです。これは、 のコホモロジーとして計算できるためです。${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (-)^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle [G\rightrightarrows *]}$

ここで、アクションは点上では自明です。

${\displaystyle H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}}$

例えば、

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ ただし }}\deg(t)=2\end{aligned}}}$

双対リー代数上の -作用は自明で あるからである。${\displaystyle U(1)}$

ホモトピー商 は、ホモトピー軌道空間またはボレル構成とも呼ばれ、まず が大きくホモトピー等価な空間 に置き換えられた軌道空間( をその -作用で割った商)の「ホモトピー的に正しい」バージョンであり、その結果、作用が自由であることが保証されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

このためには、Gに対して普遍バンドル EG → BGを構築し、EG が自由なG作用を許容することを思い出してください。すると、積EG × X ( EGは縮約可能であるためXとホモトピー同値)は、 ( e , x )で定義される「対角」G作用を許容します。g = ( eg , g ⁻¹ x ): さらに、この対角作用はEG上で自由であるため自由です。そこで、ホモトピー商X _{G を}この自由なG作用の軌道空間 ( EG × X )/ Gと定義します。

言い換えれば、ホモトピー商は、空間XへのGの作用と主バンドルEG → BGから得られるBG上の付随Xバンドルです。このバンドルX → X _G → BGはボレルファイバと呼ばれます。

次の例は[1]の命題1である。

X を複素射影代数曲線とする。Xを、コンパクトなリーマン面である複素点の集合を持つ位相空間と同一視する。Gを複素単連結半単純リー群とする。すると、分類空間は2 連結でXの実次元が 2なので、X上の任意の主Gバンドルは自明バンドルに同型である。X上に滑らかなGバンドルを固定する。すると、上の任意の主Gバンドルはに同型である。言い換えれば、X 上の主 G バンドルとその上の複素解析的構造からなるペアのすべての同型類の集合は、上の複素解析的構造の集合、またはそれと同値な X 上の正則接続の集合と同一視できる（接続は次元の理由で積分可能であるため）。は無限次元複素アフィン空間であるため、縮約可能である。 ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle BG}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \オメガ}$

を のすべての自己同型群（すなわち、ゲージ群）とします。すると、 によるのホモトピー商は、X上の複素解析的（または同等の代数的）主Gバンドルを分類します。すなわち、それはまさに離散群 の分類空間です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

主バンドルのモジュライスタックを 商スタックとして定義することができ、ホモトピー商は定義により のホモトピー型になります。 ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle [\Omega /{\mathcal {G}}]}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

E をG多様体M上の同変ベクトル束とする。これはホモトピー商上のベクトル束を生じ、上の束に引き戻される。E の同変特性類はの通常の特性類であり、これはコホモロジー環 の完備化の要素である。 (チャーン・ヴェイユ理論を適用するには、 EGの有限次元近似を使用する。) ${\displaystyle {\widetilde {E}}}$${\displaystyle EG\times _{G}M}$${\displaystyle {\widetilde {E}}=EG\times E}$${\displaystyle EG\times M}$${\displaystyle {\widetilde {E}}}$${\displaystyle H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)}$

あるいは、まず同変チャーン類を定義し、次に通常の場合と同様に他の特性類をチャーン類の不変多項式として定義することもできます。たとえば、同変直線束の同変トッド類は、その束の同変第 1 チャーン類で評価されたトッド関数です。(直線束の同変トッド類は、同変第 1 チャーン類の冪級数です(非同変の場合のように多項式ではありません)。したがって、同変コホモロジー環の完備化に属します。)

非同変ケースでは、最初のチャーン類は、多様体M上の複素直線束のすべての同型類の集合と^[2]との間の一対一写像として見ることができる。同変ケースでは、これは次のように変換される。同変最初のチャーンは、同変複素直線束のすべての同型類の集合ととの間の一対一写像を与える。 ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

局所化定理は、同変コホモロジーにおける最も強力なツールの 1 つです。

• 同変微分形式
• キルワン地図
• 同変コホモロジーの局所化公式
• GKM品種
• ブレドンコホモロジー

• アティヤ、マイケル;ボット、ラウル(1984)、「モーメントマップと同変コホモロジー」、トポロジー、23 : 1–28、doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
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• 「同変コホモロジー」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Young-Hoon Kiem (2008). 「同変コホモロジー理論入門」(PDF) . ソウル国立大学。
• 共役によって自分自身に作用する群の同変コホモロジーとは何ですか?