束縛状態

束縛状態とは、粒子、原子、物体などの2つ以上の基本的な構成要素が1つの物体として振る舞い、それらを分割するためにエネルギーが必要となる複合体である。^[1]

量子物理学では、束縛状態とは、ポテンシャルを受ける粒子の量子状態であり、粒子は空間の1つ以上の領域に局在したままでいる傾向があります。^{[2]ポテンシャルは外部のものである場合もあれば、別の粒子の存在の結果である場合もあります。後者の場合、}相互作用エネルギーが各粒子の全エネルギーを超える2つ以上の粒子を表す状態として、束縛状態を同等に定義できます。1つの結論として、ポテンシャルが無限大で消失する場合、負のエネルギー状態は束縛される必要があります。束縛状態の集合のエネルギースペクトルは、連続スペクトルを持つ自由粒子の散乱状態とは異なり、最も一般的には離散的です。

厳密な意味での束縛状態ではないが、正味の相互作用エネルギーは正だが崩壊時間が長い準安定状態は不安定な束縛状態ともみなされることが多く、「準束縛状態」と呼ばれる。^[3] 例としては、放射性核種やリュードベリ原子などがある。^[4]

相対論的 量子場理論では、質量を持つn個の粒子の安定した束縛状態は、未満の質量中心エネルギーを持つS 行列の極に対応します。不安定な束縛状態は、複素質量中心エネルギー を持つ極として現れます。${\displaystyle \{m_{k}\}_{k=1}^{n}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{k}m_{k}}$

• 陽子と電子は別々に動くことができます。その場合、質量中心の総エネルギーは正であり、そのような粒子のペアはイオン化された原子として説明できます。電子が陽子の周りを回り始めると、エネルギーは負になり、結合状態、つまり水素原子 が形成されます。エネルギーが最も低い結合状態、つまり基底状態のみが安定しています。その他の励起状態は不安定であり、光子を放出することで、エネルギーの少ない安定した（ただし他の不安定ではない）結合状態に崩壊します。
• ポジトロニウム「原子」は、電子と陽電子の不安定な結合状態です。これは光子に崩壊します。
• 量子調和振動子のどの状態も束縛されていますが、正のエネルギーを持ちます。なので、以下は適用されないことに注意してください。${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty }$
• 原子核は陽子と中性子（核子）が結合した状態です。
• 陽子自体は3 つのクォーク(アップクォーク 2 つ、ダウンクォーク 1 つ、赤クォーク 1 つ、緑クォーク 1 つ、青クォーク 1 つ)の束縛状態です。ただし、水素原子の場合とは異なり、個々のクォークを分離することはできません。「閉じ込め」を参照してください。
• ハバードモデルとジェインズ・カミングス・ハバード（JCH）モデルは同様の束縛状態をサポートします。ハバードモデルでは、2つの反発するボソン 原子が光格子内で束縛対を形成できます。^{[5] [6] [7]} JCHハミルトニアンは、光子-原子相互作用が十分に強い場合、2つのポラリトン束縛状態もサポートします。^[8]

σ有限測度空間を、 可分複素ヒルベルト空間に関連する確率空間とします。上のユニタリ演算子、密度演算子、および観測可能な1 パラメータ群を定義します。を に関するの誘導確率分布とします。すると、進化 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb{R}}}$ ${\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mu (T,\rho )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)}$

は、​​ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty}{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0}$、

どこで。^{[疑わしい–議論する] [9]}${\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }$

量子粒子が束縛状態にあるとは、いかなる時点においても、いかなる有限領域からも「離れすぎている」ことが発見されないことを意味する。例えば、波動関数表現を用いると、これは^{[10]を意味する。}${\displaystyle R\subset X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{粒子は }}X\setminus R 内で測定されます)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}}$

そのような

${\displaystyle \int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}}$

一般に、量子状態が束縛状態となるのは、それがすべての時間 に対して有限に正規化できる場合に限られます。^[11]さらに、束縛状態がのスペクトルの純粋な点部分内にあるのは、それがの固有ベクトルである場合に限られます。^[12]${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

より非公式には、「有界性」は、観測可能量ではなく、定義のドメインと状態の特性の選択から主に生じます。 ^{[nb 1]}具体的な例: およびを位置演算子とします。コンパクトにサポートされているおよびが与えられます。 ${\displaystyle H:=L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}$${\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}$

• の状態発展が「この波パッケージを右に動かす」場合、例えば、すべての に対してである場合、 は位置に関して束縛された状態ではありません。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \rho}$
• が時間とともに変化しない場合、つまりすべての に対して、 は位置に関して制限されます。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho (t)=\rho }$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \rho}$
• より一般的には、 の状態進化が「境界付き領域内を移動するだけ」である場合、 は位置に関して境界付きです。${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$

有限正規化可能状態はスペクトルの純粋な点部分内になければならないので、束縛状態も純粋な点部分内になければならない。しかし、ノイマンとウィグナーが指摘したように、束縛状態のエネルギーがスペクトルの連続部分に位置することは可能である。この現象は連続体中の束縛状態と呼ばれる。^{[13] [14]}

一粒子シュレーディンガー方程式を考えてみましょう。状態がエネルギー を持つ場合、波動関数ψは、ある${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$${\displaystyle X>0}$

${\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ }}x>Xの場合}$

そのため、ψ はx が大きいときに指数関数的に抑制されます。この振る舞いは、波動関数のWKB 近似における滑らかに変化するポテンシャルに対してよく研究されており、方程式の右辺が負の場合には振動的な振る舞いが、正の場合には増加/減少する振る舞いが観察されます。^[15]したがって、 が無限大で消える 場合、負のエネルギー状態は制限されます。${\displaystyle V(x)}$

1 次元の束縛状態は、無限遠でゼロに減衰する、適切に動作する波動関数の場合、エネルギーが非縮退であることが示されます。これは、高次元の波動関数には当てはまりません。非縮退状態の特性により、1 次元の束縛状態は常に実数波動関数として表現できます。

ノード定理は、エネルギーの増加に従って順序付けられた境界波動関数には、正確に 個のノード、つまり 個の点があることを述べています。シュレーディンガーの時間独立方程式の形式により、物理的な波動関数が を持つことはできません。これは解に対応するためです。^[16]${\displaystyle n{\text{th}}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle \psi (a)=0\neq \psi '(a)}$${\displaystyle \psi (a)=0=\psi '(a)}$${\displaystyle \psi (x)=0}$

弱く結合した相互作用を媒介する質量m _χのボソンは、湯川型相互作用ポテンシャルを生成する。

${\displaystyle V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}}$、

ここで、gはゲージ結合定数、ƛ _i = ⁠${\displaystyle \alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi }$ℏ/マイク_​​⁠ は、縮小コンプトン波長です。スカラーボソンは普遍的に引力のあるポテンシャルを生成しますが、ベクトルは粒子を反粒子に引き付けますが、ペアのように反発します。質量m ₁とm _{2 の}2つの粒子の場合、システムの ボーア半径は次のようになります。

${\displaystyle a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}}$

そして無次元数

${\displaystyle D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}}$。

最初の束縛状態が存在するためには、光子は質量がないので、電磁気学ではDは無限大である。弱い相互作用では、Zボソンの質量は${\displaystyle D\gtrsim 0.8}$91.1876 ± 0.0021 GeV/ c ²であり、ほとんどの粒子間の束縛状態の形成を妨げます。陽子の質量の97.2倍で電子の質量 の178,000倍。

しかし、ヒッグス相互作用が電弱スケールで電弱対称性を破らなかった場合、SU(2)弱い相互作用は閉じ込められることになることに注意する必要がある。^[17]

• ベーテ・サルペーター方程式
• 連続体における束縛状態
• 複合フィールド
• クーパー対
• 共鳴（素粒子物理学）
• レビンソンの定理

• ブランチャード、フィリップ、ブリューニング、エドワード (2015)。「スペクトル表現のいくつかの応用」。物理学における数学的手法: 分布、ヒルベルト空間演算子、変分法、量子物理学への応用(第 2 版)。スイス: Springer International Publishing。p. 431。ISBN 978-3-319-14044-5。