意味 させてH {\displaystyle H} は分離可能な 複素 ヒルベルト空間 を表し、 （ X 、 M ） {\displaystyle (X,M)} 可能な空間 （集合）X {\displaystyle X} ボレルσ代数 M {\displaystyle M} X {\displaystyle X} 値尺度 π {\displaystyle \pi } M {\displaystyle M} 有界自己共役作用素 の集合へH {\displaystyle H}
π （ E ） {\displaystyle \pi (E)} 直交射影 であるE ∈ M 。 {\displaystyle E\in M.} π （ ∅ ） = 0 {\displaystyle \pi (\emptyset )=0} π （ X ） = 私 {\displaystyle \pi (X)=I} ∅ {\displaystyle \emptyset } 空集合 であり、私 {\displaystyle I} 演算子 。もしE 1 、 E 2 、 E 3 、 … {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\dotsc } M {\displaystyle M} v ∈ H {\displaystyle v\in H} π （ ⋃ j = 1 ∞ E j ） v = ∑ j = 1 ∞ π （ E j ） v 。 {\displaystyle \pi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)v=\sum _{j=1}^{\infty }\pi (E_{j})v.} π （ E 1 ∩ E 2 ） = π （ E 1 ） π （ E 2 ） {\displaystyle \pi (E_{1}\cap E_{2})=\pi (E_{1})\pi (E_{2})} E 1 、 E 2 ∈ M 。 {\displaystyle E_{1},E_{2}\in M.} 第4の性質は、第1の性質と第3の性質の帰結である。第2の性質と第4の性質は、もしE 1 {\displaystyle E_{1}} E 2 {\displaystyle E_{2}} E 1 ∩ E 2 = ∅ {\displaystyle E_{1}\cap E_{2}=\emptyset } π （ E 1 ） \displaystyle \pi (E_{1}) π （ E 2 ） \displaystyle \pi (E_{2}) 直交して いる。
させてV E = 私は （ π （ E ） ） {\displaystyle V_{E}=\オペレーター名 {im} (\pi (E))} 直交補空間 V E ⊥ = カー （ π （ E ） ） {\displaystyle V_{E}^{\perp }=\ker(\pi (E))} 像 と 核 を表す。π （ E ） {\displaystyle \pi (E)} V E {\displaystyle V_{E}} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} 直交分解 として記述できる H = V E ⊕ V E ⊥ {\displaystyle H=V_{E}\oplus V_{E}^{\perp }} π （ E ） = 私 E \displaystyle \pi (E)=I_{E}} V E {\displaystyle V_{E}}
すべてのξ 、 η ∈ H {\displaystyle \xi ,\eta \in H} E ∈ M {\displaystyle E\in M} 複素数値測度 を形成するH {\displaystyle H}
μ ξ 、 η （ E ） := ⟨ π （ E ） ξ ∣ η ⟩ {\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle } 最大で総変動 ‖ ξ ‖ ‖ η ‖ {\displaystyle \|\xi \|\|\eta \|} 測度 に帰着するのは、
μ ξ （ E ） := ⟨ π （ E ） ξ ∣ ξ ⟩ {\displaystyle \mu _{\xi }(E):=\langle \pi (E)\xi \mid \xi \rangle } そして確率尺度 ξ {\displaystyle \xi } は単位ベクトル です。
例 （ X 、 M 、 μ ） {\displaystyle (X,M,\mu )} σ E ∈ M {\displaystyle E\in M}
π （ E ） : L 2 （ X ） → L 2 （ X ） {\displaystyle \pi (E):L^{2}(X)\to L^{2}(X)} 定義される
ψ ↦ π （ E ） ψ = 1 E ψ 、 {\displaystyle \psi \mapsto \pi (E)\psi =1_{E}\psi ,} すなわち、指示関数 による乗算として1 E {\displaystyle 1_{E}} L 2 ( X )π （ E ） = 1 E {\displaystyle \pi (E)=1_{E}} X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } E = （ 0 、 1 ） {\displaystyle E=(0,1)} φ 、 ψ ∈ L 2 （ R ） {\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} μ φ 、 ψ {\displaystyle \mu _{\varphi ,\psi }} f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
∫ E f d μ φ 、 ψ = ∫ 0 1 f （ x ） ψ （ x ） φ ¯ （ x ） d x {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu _{\varphi ,\psi }=\int _{0}^{1}f(x)\psi (x){\overline {\varphi }}(x)\,dx}
射影値尺度の拡張 π が可測空間 ( X , M ) 上の射影値測度である場合、写像は
χ E ↦ π （ E ） {\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi (E)} これは、 X 上の階段関数 のベクトル空間上の線形写像に拡張されます。実際、この写像が環準同型であることは簡単に確認できます。この写像は、 X 上のすべての有界複素数値可測関数 に標準的な方法で拡張され、次のようになります。
この定理は、有界でない可測関数に対しても正しい。f {\displaystyle f} T {\displaystyle T} H {\displaystyle H}
直接積分 まず、直接積分 に基づく射影値測度の一般的な例を示します。( X , M , μ) を測度空間とし、{ H x x ∈ X E ∈ M に対して、π ( E ) をヒルベルト空間上の1 E
∫ X ⊕ H x d μ （ x ） 。 {\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).} すると、π は( X , M )上の射影値測度となる。
π 、ρ は ( X 、M )上の射影値測度であり、その値はH 、K の射影に含まれると仮定する。π 、 ρ がユニタリ同値である のは、 ユニタリ演算子U : H → K が存在し、
π （ E ） = U * ρ （ E ） U {\displaystyle \pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad } すべてのE ∈ M に対して。
定理 。( X , M ) が標準ボレル空間 であるならば、可分 ヒルベルト空間の射影に値をとる( X , M ) 上の任意の射影値測度 πに対して、ボレル測度 μ と、μ 可測なヒルベルト空間の族 { H x x ∈ X π は ヒルベルト空間上で 1 E
∫ X ⊕ H x d μ （ x ） 。 {\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).} μの測度クラスx → dim H x
射影値測度πが多重度 n の同次で あるのは、多重度関数が定数n を持つ場合のみである。明らかに、
定理 。可分ヒルベルト空間の射影空間に値をとる任意の射影値測度π は、同次射影値測度の直交直和である。
π = ⨁ 1 ≤ n ≤ ω （ π ∣ H n ） {\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})} どこ
H n = ∫ X n ⊕ H x d （ μ ∣ X n ） （ x ） {\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)} そして
X n = { x ∈ X : 薄暗い H x = n } 。 {\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}
注記 ↑ コワルスキー、エマニュエル（2009）、「ヒルベルト空間におけるスペクトル理論 （PDF）」 、チューリッヒ工科大学講義ノート、 50ページ
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