WKB近似

数理物理学において、WKB 近似法またはWKB 法は、空間的に変化する係数を持つ線形微分方程式の近似解を求める方法です。これは通常、波動関数を指数関数として書き直し、半古典的に展開し、振幅または位相のいずれかがゆっくりと変化しているとみなす量子力学の半古典的計算に使用されます。

この名前は、Wentzel–Kramers–Brillouinの頭文字です。LG法またはLiouville–Green 法としても知られています。よく使用される他の文字の組み合わせには、JWKBやWKBJがあり、ここで「J」は Jeffreys を表します。

この方法は、1926年にこの方法を開発した物理学者グレゴール・ウェンツェル、ヘンドリック・アンソニー・クレイマース、レオン・ブリルアンにちなんで名付けられました。 ^[1] 1923年、数学者ハロルド・ジェフリーズは、シュレーディンガー方程式を含むクラスである線形2階微分方程式の解を近似する一般的な方法を開発しました。シュレーディンガー方程式自体は2年後まで開発されず、ウェンツェル、クレイマース、ブリルアンは明らかにこの初期の研究を知らなかったため、ジェフリーズの功績はしばしば軽視されています。量子力学の初期のテキストには、WBK、BWK、WKBJ、JWKB、BWKJなど、それらの頭文字の組み合わせが数多く含まれています。ロバート・B・ディングルによる権威ある議論と批判的な調査が行われています。^[2]

本質的に同等の方法が以前に登場したのは、 1817年のフランチェスコ・カルリーニ、1837年のジョセフ・リウヴィル、1837年のジョージ・グリーン、1912年のレイリー卿、1915年のリチャード・ガンズである。リウヴィルとグリーンは1837年にこの方法を創始したと言われており、リウヴィル・グリーン法またはLG法とも呼ばれている。^{[3] [4]}

ジェフリーズ、ウェンツェル、クレイマーズ、ブリルアンによるこの方法への重要な貢献は、転換点の扱いを取り入れ、転換点の両側でエバネッセント解と振動解を結び付けたことです。たとえば、これはシュレーディンガー方程式で、ポテンシャルエネルギーの丘のために発生する可能性があります。

一般的に、WKB理論は、最高導関数に小さなパラメータ εを乗じた微分方程式の解を近似する方法です。近似の方法は次のとおりです。

微分方程式については、 δ → 0 の 限界における漸近級数展開 の形の解を想定します。εに関するδの漸近スケーリングは、方程式によって決定されます。以下の例を参照してください 。$${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$$$${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$

上記の仮定を微分方程式に代入し、指数項を打ち消すと、展開図内の 任意の数の項S _n ( x )を解くことができます。

WKB理論は多重スケール解析の特殊なケースである。^{[5] [6] [7]}

この例は、 Carl M. BenderとSteven Orszagのテキストから引用したものです。^[7] 2階同次線形微分方程式を考えます 。 を代入すると、 次 の式が得られます 。$${\displaystyle \epsilon^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$${\displaystyle Q(x)\neq 0}$$${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$$${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).}$$

ϵの 主要順序（今のところ、級数が漸近的に一貫していると仮定）では、上記は次のように近似できる。 $${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$$

δ → 0の極限では、支配的なバランスは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$$

したがって、δ はϵに比例します。これらを等しく設定し、その累乗を比較すると 、アイコナール方程式 として認識できるようになり、その解は次のようになります。 $${\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),}$$$${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.}$$

ϵの一次べき乗を考慮すると、次 の 式が成り立ちます。k 1 は_任意の定数です。 $${\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$$$${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$$

これで、システムに対する近似値のペアが得られました (ペアなのは、 S _{0 が}2 つの符号を取ることができるためです)。1 次 WKB 近似値は、2 つの線形結合になります。 $${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].}$$

高次の項は、δの高次の累乗の方程式を調べることによって得られます。具体的には、 n ≥ 2 の 場合です。 $${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{nj}=0}$$

y ( x )の漸近級数は通常、発散級数であり、その一般項δ ⁿ S _n ( x )は、ある値n = n _max以降に増加し始めます。したがって、WKB 法によって達成される最小の誤差は、せいぜい最後に含まれる項のオーダーになります。

Q ( x ) <0の方程式が解析関数である場合 、最後の項の値と大きさは次のように推定できます。^[8] ここで、はを評価する必要がある点であり、は（複素）転換点であり、に最も近いです。 $${\displaystyle \epsilon^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$${\displaystyle n_{\max}}$ $${\displaystyle n_{\max}\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$ $${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y(x_{0})}$${\displaystyle x_{\ast}}$${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$${\displaystyle x=x_{0}}$

数値n _maxは、最も近い転換点と の間の振動数として解釈できます。${\displaystyle x_{0}}$

がゆっくり変化する関数である 場合、 n _{max の} 数は 大きくなり、漸近級数の最小誤差は指数的に小さくなります。 ${\displaystyle \epsilon^{-1}Q(x)}$$${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$

上記の例は、1次元で時間に依存しないシュレーディンガー方程式に特に当てはめることができ、 次のように書き直すことができる。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$$

波動関数は、別の関数S (作用に密接に関連)の指数関数として書き直すことができ、複素数になる可能性がある ため、シュレーディンガー方程式に代入すると次のようになります。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} )=e^{iS(\mathbf {x} ) \over \hbar },}$$

$${\displaystyle i\hbar \nabla ^{2}S(\mathbf {x} )-(\nabla S(\mathbf {x} ))^{2}=2m\left(V(\mathbf {x} )-E\right),}$$

次に、半古典的近似が使用されます。これは、各関数がħのべき級数として展開されることを意味します。 方程式に代入し、 ℏ の 1 次までの項のみを保持すると、次のようになります。 これにより、次の 2 つの関係が得られます。 これは 1D システムに対して解くことができ、最初の方程式は次のようになります。そして、上記の可能な値に対して計算された 2 番目の方程式は、一般的に次のように表されます。$${\displaystyle S=S_{0}+\hbar S_{1}+\hbar ^{2}S_{2}+\cdots }$$$${\displaystyle (\nabla S_{0}+\hbar \nabla S_{1})^{2}-i\hbar (\nabla ^{2}S_{0})=2m(E-V(\mathbf {x} ))}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla S_{0})^{2}=2m(E-V(\mathbf {x} ))=(p(\mathbf {x} ))^{2}\\2\nabla S_{0}\cdot \nabla S_{1}-i\nabla ^{2}S_{0}=0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\pm \int p(x)\,dx}$$$${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{+}{\frac {e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+C_{-}{\frac {e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$

したがって、結果として得られる波動関数は、WKB近似の1次関数として次のように表される。^{[9] [10]}

古典的に許容される領域、すなわち指数の積分関数が虚数であり、近似波動関数が振動する領域。古典的に禁制の領域では、解は増大するか減少します。分母を見ると、これらの近似解は両方とも、 E = V ( x )となる古典的転換点の近くで特異になり、有効ではなくなることがわかります。(転換点とは、古典的粒子が方向を変える点です。) ${\displaystyle V(x)<E}$${\displaystyle V(x)>E}$

したがって、 のとき、波動関数は次のように表現されるように選択できます。のときは、 となります。この解の積分は、古典的な転換点と任意の位置 x' の間で計算されます。 ${\displaystyle E>V(x)}$$${\displaystyle \Psi (x')\approx C{\frac {\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}+D{\frac {\sin {(-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}+\alpha )}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$${\displaystyle V(x)>E}$$${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {C_{+}e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+{\frac {C_{-}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}.}$$

条件から：$${\displaystyle (S_{0}'(x))^{2}-(p(x))^{2}+\hbar (2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x))=0}$$

結果は次のようになります。${\textstyle \hbar \mid 2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\mid +\hbar \mid iS_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid +\mid (p(x))^{2}\mid }$

WKB 近似で使用されるように、どちらの辺の項も等しいため、次の 2 つの不等式は等しくなります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (S_{0}'(x))^{2}\mid \\2\hbar \mid S_{0}'S_{1}'\mid \ll \mid (p'(x))^{2}\mid \end{aligned}}}$$

最初の不等式は、次のことを示すために使用できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \mid S_{0}''(x)\mid \ll \mid (p(x))\mid ^{2}\\{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|\ll |p(x)|^{2}\\\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|\ll {\frac {|p|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

ここでが使用され、は波動関数の局所ド・ブロイ波長である。この不等式は、ポテンシャルの変化がゆっくり変化すると仮定されていることを意味する。^{[10] [11]}この条件は、 または運動量 の波長にわたる分数変化がよりもはるかに小さいと言い換えることもできる。^[12]${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$${\textstyle \lambda (x)}$${\textstyle E-V(x)}$${\textstyle p(x)}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle 1}$

同様に、 WKB近似の基本的な仮定に基づく制約も示すことができる。これは、粒子のド・ブロイ波長がゆっくりと変化していることを意味する。 ^[11]${\textstyle \lambda (x)}$$${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$

ここで、転換点付近での波動関数の挙動について考えてみましょう。これには別の方法が必要です。最初の転換点x ₁付近では、項はべき級数で展開できます。 ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$

一次 微分方程式はエアリー方程式として知られており、その解はエアリー関数で表すことができる。^[13]$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$ $${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).}$$

の任意の固定値に対して、波動関数は転換点の近くで有界になりますが、上の図でわかるように、波動関数はそこでピークに達します。 が小さくなるにつれて、転換点における波動関数の高さは大きくなります。 また、この近似から次のことがわかります。 ${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int p(x)dx={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-a))^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}$$

残っているのは、シュレーディンガー方程式の全体的 (近似) 解を構築することです。波動関数を平方積分可能にするには、2 つの古典的に禁制の領域で指数関数的に減少する解のみを取らなければなりません。次に、これらの解は、転換点を通じて古典的に許容される領域に適切に「接続」される必要があります。ほとんどのE の値では、このマッチング手順は機能しません。解を古典的に許容される領域の近くに接続して得られる関数は、解を古典的に許容される領域の近くに接続して得られる関数と一致しません。2 つの関数が一致するという要件は、エネルギーEに条件を課し、正確な量子エネルギー レベルの近似値を与えます。${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

波動関数の係数は、図に示すような簡単な問題で計算できます。最初の転換点（電位が x にわたって減少する点）が で発生し、2 番目の転換点（電位が x にわたって増加する点）が で発生するものとします。波動関数が次の形式になることが予想されるため、エアリー関数とベイリー関数を使用して異なる領域を接続することで、係数を計算できます。 ${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)\approx A{\frac {e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}+B{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\Psi _{E>V}(x)\approx C{\frac {\cos {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}+D{\frac {\sin {({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha )}}{\sqrt[{4}]{u}}}\\\end{aligned}}}$$

例えば、減少するポテンシャル条件、または図で示されている例では、指数関数がxの負の値に対して減衰し、波動関数がゼロになることが必要です。ベイリー関数を必要な接続式と見なすと、次の式が得られます。^[14]${\displaystyle U_{1}<0}$${\displaystyle x=x_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Bi} (u)\rightarrow -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\sin {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\operatorname {Bi} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\end{aligned}}}$$

エアリー関数は負の x に対して指数関数的に増加するため、使用できません。WKB 解と比較し、 での挙動を一致させると、次の結論が導き出されます。 ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle B=-D=N}$、 そして。 ${\displaystyle A=C=0}$${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

したがって、ある正規化定数を とすると、波動関数はポテンシャル（xとともに）の増加に対して次のように与えられる：^[10]${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}-{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{2}>x>x_{1}\\\end{cases}}}$

例えば、ポテンシャルが増加する条件、または図に示されている例では、指数関数がxの正の値に対して減衰し、波動関数がゼロになることが必要です。エアリー関数を必要な接続式と見なすと、次の式が得られます。^[14]${\displaystyle U_{1}>0}$${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\operatorname {Ai} (u)\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\cos {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}\quad {\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\end{aligned}}}$$

ベイリー関数は正の x に対して指数関数的に増加するため使用できません。WKB 解と比較し、 での挙動を一致させると、次の結論が導き出されます。 ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle 2A=C=N'}$、 そして。 ${\displaystyle D=B=0}$${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

したがって、ある正規化定数を とすると、波動関数はポテンシャル（xとともに）の増加に対して次のように与えられる：^[10]${\displaystyle N'}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}{\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}})}&{\text{if }}x_{1}<x<x_{2}\\{\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{2}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$

領域 の 2 つの解を一致させるには、これらの関数の角度の差がである必要があります。ここで、位相差は波動関数の余弦を正弦に変更することを考慮しており、差は とすることで関数の否定が発生する可能性があるためです。したがって、 次のようになります。 ここで、nは負でない整数です。この条件は次のように書き直すこともできます。 ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$${\displaystyle \pi (n+1/2)}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n+1/2)\pi \hbar ,}$$

古典的なエネルギー曲線で囲まれた領域は です。${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$

いずれにせよ、エネルギーに関する条件はボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件の一種であり、「マスロフ補正」は1/2に等しい。^[15]

さまざまな領域での近似値をつなぎ合わせると、実際の固有関数の近似値が得られることが示せます。特に、マスロフ補正されたボーア・ゾンマーフェルトのエネルギーは、シュレーディンガー演算子の実際の固有値の近似値として優れています。^[16]具体的には、エネルギーの誤差は、量子エネルギー レベルの一般的な間隔に比べて小さいです。したがって、ボーアとゾンマーフェルトの「古い量子理論」は最終的にシュレーディンガー方程式に置き換えられましたが、適切なシュレーディンガー演算子の固有値の近似値として、その理論の痕跡が残っています。

このように、2つのケースから、古典的な転換点における接続式が得られる。[ ^11]${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longrightarrow -{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

そして：

${\displaystyle {\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longleftarrow {\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$

そこから離れた古典的な転換点における WKB 波動関数は、左側に表される古典的な許容領域における振動正弦関数または振動余弦関数と、右側に表される禁制領域における増大または減少する指数関数によって近似されます。この含意は、減少する指数関数よりも増大する指数関数が優勢であることによるものです。したがって、波動関数の振動部分または指数部分の解は、関連する転換点だけでなく、他のポテンシャル領域における波動関数の形も暗示できます。

次に、近似波動関数に関連する確率密度を計算できます。量子粒子が古典的に禁制の領域で見つかる確率は小さいです。一方、古典的に許容される領域では、量子粒子が特定の間隔で見つかる確率は、古典粒子が1周期の運動中にその間隔で過ごす時間の割合にほぼ相当します。 ^[17]古典粒子の速度は転換点でゼロになるため、転換点の近くでは古典的に許容される他の領域よりも多くの時間を費やします。この観察により、転換点の近くで波動関数（およびその確率密度）がピークになることがわかります。

ミュラー・キルステンは、WKB法をさまざまなポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式に適用し、摂動法や経路積分との比較を行っている。^[18]

WKBポテンシャルは滑らかに変化するポテンシャルにのみ適用されますが^[11]、剛体壁がポテンシャルの無限大を生成する例では、WKB近似を使用して、滑らかに変化するポテンシャルの領域内の波動関数を近似することができます。剛体壁は非常に不連続なポテンシャルを持っているため、これらのポイントでは接続条件を使用できず、得られる結果も上記の処理の結果と異なる場合があります。^[10]

このようなシステムの可能性は、次の形式で表すことができます。

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

どこ。 ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

境界領域、つまり古典的な転換点と内で波動関数を求めるには、それぞれとから離れた近似を考慮することにより、2 つの解が得られます。 ${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}}$

波動関数は の近くで消えなければならないので、 と結論付けられます。 の近くのエアリー関数については、 が必要です。 これらの関数内の角度には位相差があり、位相差は正弦を余弦に変換し、を許容することを説明します。 ${\textstyle x_{1}}$${\textstyle \alpha =0}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle \pi (n+1/2)}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$ここでnは非負の整数です。^[10] nが非ゼロの自然数のみを許可されている場合、 この式の右辺は次のようになることに注意してください。${\displaystyle \pi (n-1/4)}$

したがって、球対称の3次元では、この問題との類似性から、位置xを半径距離rに置き換えた同じ条件が成立すると結論付けられる。^[19]${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$

このようなシステムの可能性は、次の形式で表すことができます。

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$

どこ。 ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

との間は古典的な転換点である ため、とからそれぞれ離れた近似値を考慮すると、2 つの解が得られます。 ${\textstyle E\geq V(x)}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)}}$

${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)}}$

波動関数はおよびで消えなければならないため、ここで位相差は のみを考慮する必要があり、 が許されます。したがって条件は次のようになります。 ${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$ただし、波動関数がどこでもゼロになるため、ゼロにはなりません。^[10]${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$

跳ね返るボールが受ける次のような可能性を考慮してください。

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\\\end{cases}}}$

上記の波動関数の解は、代替ポテンシャルの奇パリティ解のみを考慮することで、WKB 法を使用して解くことができます。古典的な転換点は、およびとして識別されます。したがって、WKB で得られた量子化条件を適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

とすると、 をとして解くと、跳ねるボールの量子力学的エネルギーが得られる。^[20]${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$${\textstyle E}$${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

この結果は、代替ポテンシャルを考慮する必要なく、1 つの剛体壁の束縛状態からの方程式を使用することとも一致しています。

このようなシステムの可能性は、次の形式で表すことができます。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

どこ。 ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

入射波に対する解は次のようになります。

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}A\exp({ip_{0}x \over \hbar })+B\exp({-ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x<x_{1}\\{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx)}&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\D\exp({ip_{0}x \over \hbar })&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

ここで、古典的に禁制の領域にある波動関数は WKB 近似ですが、増大する指数関数を無視しています。これは、波動関数が大きな値まで増大することが予想されない広いポテンシャル障壁に対する妥当な仮定です。

波動関数とその導関数の連続性の要件により、次の関係が示されます。$${\displaystyle {\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

ここで、および。 ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$

を使用すると、符号なしの値は次のように表されます。 ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})}$

${\textstyle J_{\text{inc.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{ref.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2})}$

${\textstyle J_{\text{trans.}}={\frac {\hbar }{2m}}({\frac {2p_{0}}{\hbar }}|E|^{2})}$

したがって、透過係数は次のようになります。

$${\displaystyle T={\frac {|E|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

ここで、であり、 である。結果は と表すことができる。^[10]${\textstyle p(x)={\sqrt {2m(E-V(x))}}}$${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$