ウィグナー準確率分布

ウィグナー準確率分布（ユージン・ウィグナーとジャン＝アンドレ・ヴィルにちなんでウィグナー関数またはウィグナー・ヴィル分布とも呼ばれる）は準確率分布である。これは1932年にユージン・ウィグナーによって導入され^[1]、古典統計力学に対する量子補正を研究した。その目的は、シュレーディンガー方程式に現れる波動関数を位相空間の確率分布に結び付けることである。

これは、与えられた量子力学的波動関数ψ ( x )のすべての空間自己相関関数の生成関数である。したがって、これは、数学の表現論に関連した文脈で、1927 年にヘルマン ワイル[ ^3]によって導入された、実位相空間関数とエルミート演算子との間の写像内の量子密度行列に写像される^[2]。実質的には、これは密度行列のウィグナー–ワイル変換であり、したがって位相空間におけるその演算子の実現である。これは後に、1948 年にジャン ヴィルによって、信号の局所的な時間周波数エネルギーの二次（信号内）表現として再導出され、^[4]実質的にはスペクトログラムである。

1949年、これを独立に導出したホセ・エンリケ・モヤルは、これを量子モーメント生成関数として認識し、^[5]それにより、すべての量子期待値のエレガントな符号化の基礎となり、ひいては量子力学を位相空間で実現する基礎となった（位相空間定式化を参照）。これは、統計力学、量子化学、量子光学、古典光学のほか、電気工学、地震学、音楽信号の時間周波数解析、生物学や音声処理におけるスペクトログラム、エンジン設計など、さまざまな分野の信号解析に応用されている。

古典粒子は明確な位置と運動量を持ち、したがって位相空間内の点で表されます。粒子の集合（アンサンブル）が与えられた場合、位相空間内の特定の位置に粒子が見つかる確率は、確率分布、リウヴィル密度によって指定されます。この厳密な解釈は、不確定性原理のため、量子粒子には当てはまりません。代わりに、上記の準確率ウィグナー分布が類似の役割を果たしますが、従来の確率分布のすべての特性を満たすわけではなく、逆に、古典分布では利用できない有界性特性を満たします。

たとえば、ウィグナー分布は、古典的モデルを持たない状態に対しては負の値を取ることがあり、通常は負の値を取る。これは量子力学的干渉の便利な指標である。（ウィグナー関数が非負である純粋状態の特徴については、以下を参照。）ウィグナー分布をħより大きいサイズのフィルターで平滑化すると（たとえば、位相空間ガウス関数、ワイエルシュトラス変換と畳み込んで、以下のフシミ表現を生成する）、半正定値関数が得られる。つまり、半古典的関数に粗くされたと考えられる。^[a]

このような負の値の領域は（小さなガウス分布で畳み込むことによって）「小さい」ことが証明できます。つまり、数ħより大きいコンパクトな領域に拡張することはできず、したがって古典的な限界では消えてしまいます。これらは不確定性原理によって保護されており、 ħより小さい位相空間領域内での正確な位置は許可されないため、このような「負の確率」の逆説性は少なくなります。

純粋状態の ウィグナー分布W ( x , p )は次のように定義される。

ここで、ψは波動関数、xとpは位置と運動量ですが、任意の共役変数ペア (たとえば、電場の実部と虚部、信号の周波数と時間) になることもあります。ψ がxでサポートされない領域(「ビート」) でも、xでサポートされる場合があることに注意してください。

xとpに関して対称です。

${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (pq)e^{-2ixq/\hbar }\,dq,}$

ここで、φ は正規化された運動量空間波動関数であり、ψのフーリエ変換に比例します。

3Dでは、

${\displaystyle W({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({ \vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec { p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.}$

混合状態を含む一般的なケースでは、それは密度行列のウィグナー変換です。 ここで、 ⟨ x | ψ ⟩ = ψ ( x )です。このウィグナー変換（またはマップ）は、ワイル量子化において、位相空間関数をヒルベルト空間演算子にマップするワイル変換の逆です。 $${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle xy|{\hat {\rho }}|x +y\rangle e^{2ipy/\hbar }\,dy,}$$

したがって、ウィグナー関数は位相空間における量子力学の基礎となります。

1949 年、ホセ・エンリケ・モヤルは、ウィグナー関数が位相空間における積分測度 (確率密度関数に類似) を提供し、古典的な確率論を想起させる方法で、適切に順序付けられた演算子Ĝに一意に関連付けられた位相空間c 数関数g ( x ,  p )からワイル変換 (ウィグナー・ワイル変換と以下の特性 7 を参照) を通じて期待値を生成する仕組みを解明しました。

具体的には、演算子のĜ期待値は、その演算子のウィグナー変換の「位相空間平均」です。 $${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int dx\,dp\,W(x,p)g(x,p).}$$

1. W ( x ,  p ) は実数値関数である。

2. xとpの確率分布は周辺分布によって与えられる。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$システムが純粋状態で記述できる場合、${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=|\psi (x)|^{2}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle .}$システムが純粋状態で記述できる場合、${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=|\varphi (p)|^{2}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}).}$

通常、密度行列のトレースは1 に等しくなります。${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

3. W ( x , p ) には次の反射対称性がある。

• 時間の対称性:${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x)^{*}\Rightarrow W(x,p)\to W(x,-p).}$
• 空間の対称性:${\displaystyle \psi (x)\to \psi (-x)\Rightarrow W(x,p)\to W(-x,-p).}$

4. W ( x , p ) はガリレイ共変である:

${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x+y)\Rightarrow W(x,p)\to W(x+y,p).}$

それはローレンツ共変ではありません。

5. 位相空間内の各点の運動方程式は、力が存在しない場合には古典的である。

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial W(x,p)}{\partial x}}.}$

実際、調和力が存在する場合でも、それは古典的です。

6. 州の重複は次のように計算されます

${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W_{\psi }(x,p)W_{\theta }(x,p).}$

7. 演算子の期待値（平均）は、それぞれのウィグナー変換の位相空間平均として計算されます。

${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\left\langle x-{\frac {y}{2}}\right|{\hat { G}}\left|x+{\frac {y}{2}}\right\rangle e^{ipy/\hbar },}$

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =\オペレーター名 {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\ infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)g(x,p).}$

8. W ( x , p ) が物理的な（正の）密度行列を表すためには、次の式を満たす必要がある。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)W_{\theta }(x,p)\geq 0}$

すべての純粋状態|θ⟩に対して。

9.コーシー・シュワルツの不等式により、純粋状態の場合、次の式は有界であることが制約される。

${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq W(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$

この境界は古典的極限ħ → 0では消滅する。この極限では、W ( x ,  p )は、通常高度に局在化した座標空間xの確率密度に運動量のδ関数を乗じたものに縮小される。古典的極限は「スパイク状」である。したがって、この量子力学的境界は、不確定性原理を反映して、位相空間で完全に局在化したδ関数であるウィグナー関数を排除する。^[6]

10. ウィグナー変換は、密度行列が位置基底で表現されている場合、密度行列の反対角成分のフーリエ変換に過ぎません。 ^[7]

を量子調和振動子の- 番目のフォック状態とします。Groenewold (1946) は、無次元変数における関連するウィグナー関数を発見しました。 ${\displaystyle |m\rangle \equiv {\frac {a^{\dagger m}}{\sqrt {m!}}}|0\rangle }$${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi }}e^{-(x^{2}+p^{2})}L_{m}{\big (}2(p^{2}+x^{2}){\big )},}$

ここで、 は- 番目のラゲール多項式を表します。 ${\displaystyle L_{m}(x)}$${\displaystyle m}$

これは静的な固有状態波動関数の表現から導かれる。

${\displaystyle u_{m}(x)=\pi ^{-1/4}H_{m}(x)e^{-x^{2}/2},}$

ここで は- 番目のエルミート多項式です。上記のウィグナー関数の定義から、積分変数を変更すると、 ${\displaystyle H_{m}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi ^{3/2}2^{m}m!}}e^{-x^{2}-p^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\zeta \,e^{-\zeta ^{2}}H_{m}(\zeta -ip+x)H_{m}(\zeta -ip-x).}$

この表現はエルミート多項式とラゲール多項式の間の積分関係から導かれる。^[8]

ウィグナー変換は、ヒルベルト空間上の演算子Ĝを位相空間上の関数g ( x ,  p )に変換する一般的な可逆変換であり、次のように表される。

${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds\,e^{ips/\hbar }\left\langle x-{\frac {s}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {s}{2}}\right\rangle .}$

エルミート演算子は実関数に写像されます。位相空間からヒルベルト空間へのこの変換の逆はワイル変換と呼ばれます。

${\displaystyle \langle x|{\hat {G}}|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dp}{h}}e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({\frac {x+y}{2}},p\right)}$

（微分幾何学における別個のワイル変換と混同しないように）。

ここで議論されているウィグナー関数 W ( x , p ) は、密度行列演算子ρ̂のウィグナー変換であることがわかります。したがって、密度行列ウィグナー変換を持つ演算子のトレースは、 g ( x ,  p )とウィグナー関数 の同等の位相空間積分重なりになります。

シュレーディンガー描像における密度行列のフォン・ノイマン発展方程式のウィグナー変換は、ウィグナー関数の モヤルの発展方程式である。

ここで、H ( x , p )はハミルトニアン、{{⋅, ⋅}} はモヤル括弧です。古典的な極限、ħ → 0では、モヤル括弧はポアソン括弧に簡約され、この発展方程式は古典統計力学の リウヴィル方程式に簡約されます。

形式的には、古典的なリウヴィル方程式は、古典的なハミルトン方程式の解である位相空間粒子軌道によって解くことができる。偏微分方程式を解くこの手法は、特性法として知られている。この方法は量子系にも応用され、特性の「軌道」がウィグナー関数の発展を決定する。ウィグナー関数のモヤル発展方程式の解は、形式的には次のように表される。

${\displaystyle W(x,p,t)=W{\big (}\star {\big (}x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p){\big )},0{\big )},}$

ここで、およびは、初期条件がおよびである量子ハミルトン方程式に従う特性軌道であり、すべての引数関数に対して-積の合成が理解されます。 ${\displaystyle x_{t}(x,p)}$${\displaystyle p_{t}(x,p)}$${\displaystyle x_{t=0}(x,p)=x}$${\displaystyle p_{t=0}(x,p)=p}$${\displaystyle \star }$

関数の - 合成は完全に非局所的であるため(「量子確率流体」は、モヤルが観察したように拡散する)、量子システムにおける局所的軌道の痕跡は、ウィグナー分布関数の発展においてほとんど識別できない。^[b] - 積の積分表現では、それらによる連続的な操作は、ウィグナー関数の発展方程式を解くために、位相空間経路積分に適応されている^[9] ( ^{[10] [11] [12]も参照)。モヤルの時間発展[13]}のこの非局所的特徴は、調和振動子よりも複雑なハミルトニアンについて、下のギャラリーに図示されている。古典的極限では、ウィグナー関数の時間発展の軌道の性質はますます明確になる。ħ = 0 では、特性の軌道は、位相空間における 粒子の古典的な軌道に縮小される。 ${\displaystyle \star }$${\displaystyle \star }$

しかし、量子調和振動子の特殊なケースでは、進化は単純で、古典的な運動と同一であるように見えます。つまり、振動子周波数によって与えられる周波数での位相空間における剛体回転です。これは、下のギャラリーに示されています。これと同じ時間進化は、調和振動子である光モードの量子状態でも発生します。

ウィグナー関数は古典的極限を研究することを可能にし、位相空間における古典的ダイナミクスと量子的ダイナミクスの比較を提供する。^{[14] [15]}

ウィグナー関数アプローチは、1932年にバーナード・クープマンとジョン・フォン・ノイマンによって導入された古典力学の作用素定式化の量子的なアナロジーとして見ることができると示唆されている。つまり、 ħ → 0の極限において、ウィグナー関数の時間発展は、古典粒子のクープマン・フォン・ノイマン波動関数 の時間発展に近づく。 ^[16]

ウィグナー関数のモーメントは対称化された演算子平均を生成するが、これはグラウバー・スダルシャンのP表現とフシミのQ表現によってそれぞれ生成される正規秩序と反正規秩序とは対照的である。したがって、ウィグナー表現は量子光学^[17]や高モード占有が半古典的限界に近づくボーズ・アインシュタイン凝縮体の場の理論における半古典的近似を行うのに非常に適している。^[18]

すでに述べたように、量子状態のウィグナー関数は典型的には負の値を取る。実際、1変数の純粋状態の場合、すべてのおよびに対して であれば、波動関数は次の形になる必要がある。 ${\displaystyle W(x,p)\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \psi (x)=e^{-ax^{2}+bx+c}}$

となる複素数がある（ハドソンの定理^[19]）。 は複素数でもよいことに注意。言い換えれば、これは 1 次元のガウス波束である。したがって、非負のウィグナー関数を持つ純粋状態は、必ずしもハイゼンベルクの不確定性公式の意味で最小不確定性状態であるわけではない。むしろ、それらは、交換子項に加えて反交換子項を含むシュレーディンガーの不確定性公式において等式を与える。（それぞれの分散を注意深く定義すれば、すべての純粋状態のウィグナー関数は、やはりハイゼンベルクの不等式につながる。） ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0}$${\displaystyle a}$

高次元では、非負のウィグナー関数を持つ純粋状態の特徴付けは同様であり、波動関数は次の形を持たなければならない。

${\displaystyle \psi (x)=e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},}$

ここで、は実部が正定値の対称複素行列、は複素ベクトル、cは複素数である。^[20]このような状態のウィグナー関数は位相空間上のガウス分布である。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$

Soto と Claverie ^[20]は、 Segal-Bargmann 変換を用いて、この特徴付けのエレガントな証明を与えている。その理由は次の通りである。のHusimi Q 関数は、 の Segal-Bargmann 変換の絶対値の 2 乗にガウス関数を掛けたものとして計算できる。一方、Husimi Q 関数は、ウィグナー関数とガウス関数の畳み込みである。 のウィグナー関数が位相空間上のどこでも非負であれば、Husimi Q 関数は位相空間上のどこでも厳密に正になる。したがって、 の Segal-Bargmann 変換はどこにもゼロにならない。したがって、複素解析の標準的な結果により、 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F(x+ip)}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle F(x+ip)=e^{g(x+ip)}}$

何らかの正則関数 に対して成り立ちます。しかし、 がSegal-Bargmann 空間に属するためには、つまり がガウス測度に関して二乗積分可能であるためには、 は無限大でせいぜい 2 次増加でなければなりません。このことから、初等複素解析を使用して が実際には 2 次多項式でなければならないことを示すことができます。したがって、ウィグナー関数が非負である任意の純粋状態の Segal-Bargmann 変換の明示的な形式が得られます。次に、 Segal-Bargmann 変換を反転して、位置波動関数の要求された形式を取得できます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

非負のウィグナー関数を持つ 混合状態を単純に特徴付けることはできないようです。

ウィグナーの準確率分布関数は、ド・ブロイ・ボーム因果軌道の集合を記述する別の位相空間分布関数のħ変形とみなすことができることが示されている。 ^[21]バジル・ハイリーは、準確率分布は位相空間における「細胞」の平均位置と運動量で再表現された密度行列として理解でき、ド・ブロイ・ボーム解釈によってそのような「細胞」の中心のダイナミクスを記述できることを示した。^{[22] [23]}

ウィグナー関数による量子状態の記述と相互に偏りのない基底による量子状態再構成法との間には密接な関係がある。^[24]

• 望遠鏡や光ファイバー通信装置などの光学システムのモデリングでは、単純な光線追跡とシステムの全波解析との間のギャップを埋めるためにウィグナー関数が使用されます。ここで、小角（近軸）近似では、 p / ħ がk = | k | sin  θ ≈ | k | θに置き換えられます。この文脈では、ウィグナー関数は、干渉の影響を含めながら、位置xと角度θの光線でシステムを記述するのに最も近いものです。^[25]これがいずれかの点で負になると、単純な光線追跡ではシステムをモデル化するのに十分ではありません。つまり、この関数の負の値は、古典的な光信号のガボール限界の症状であり、 ħに関連する光の量子的特徴の症状ではありません。
• 信号解析では、時間とともに変化する電気信号、機械振動、または音波はウィグナー関数で表されます。ここで、x は時間に置き換えられ、p / ħ は角周波数ω = 2π fに置き換えられます。ここで、f は通常の周波数です。
• 超高速光学では、短いレーザーパルスは、上記と同じfとt の置換を使用してウィグナー関数で特徴付けられます。チャープ(時間による周波数の変化)などのパルス欠陥は、ウィグナー関数で視覚化できます。隣の図を参照してください。
• 量子光学では、xとp / ħ は、電場の実数部と虚数部であるX積分とP積分に置き換えられます(コヒーレント状態を参照)。

• 量子トモグラフィー
• 周波数分解光ゲーティング

ウィグナー分布は最初に定式化された準確率分布ですが、その後、形式的には同等で、ウィグナー分布との間で変換可能な多くの準確率分布が生まれました (時間周波数解析における分布間の変換を参照)。座標系の場合と同様に、さまざまな特性があるため、特定のアプリケーションでさまざまな利点を持つ準確率分布がいくつかあります。

• グラウバーP表現
• フシミQの表現

それでも、ある意味では、ウィグナー分布はこれらすべての分布の中で特権的な位置を占めています。なぜなら、上に示したように、期待値の評価で必要なスター積がなくなる（部分的に積分して実効的な 1 になる）唯一の分布であり、したがって古典的な分布に類似した準確率の尺度として視覚化できる からです。

前述のように、ウィグナー関数の式は、異なる文脈で何度か独立に導出された。実際、ウィグナーは、量子論の文脈においてさえ、この式が以前にハイゼンベルクとディラックによって純粋に形式的に導入されていたことに気付いていなかったようだ。この2人^は、この式を原子などのシステムの完全な量子記述の近似値としか考えていなかったため、この式の重要性とその負の値を理解していなかった。（ちなみに、ディラックは後にウィグナーの義理の兄弟となり、ウィグナーの妹マンシーと結婚した。）対称的に、1940年代半ばのモヤルとの伝説的な18か月間の書簡のほとんどで、ディラックはモヤルの量子モーメント生成関数が実質的にウィグナー関数であることを知らず、最終的にモヤルが彼にこのことに気付かせたのだった。^[28]

• M. Levanda と V. Fleurov、「古典電磁場における荷電粒子のウィグナー準分布関数」、Annals of Physics、292、199–231 (2001)。arXiv :cond-mat/0105137。

• wigner QuTiP における Wigner 関数の実装。
• 量子光学ギャラリー。
• Sonogram Visible Speech は、信号ファイルの Wigner 準確率分布用の GPL ライセンスのフリーウェアです。