ド・ブロイ・ボーム理論

ド・ブロイ・ボーム理論[ ^a]は量子力学の解釈であり、波動関数に加えて、観測されない場合でも粒子の実際の構成が存在すると仮定する。すべての粒子の構成の時間的変化は、誘導方程式によって定義される。波動関数の時間的変化は、シュレーディンガー方程式によって与えられる。この理論は、ルイ・ド・ブロイ（1892年 - 1987年）とデイヴィッド・ボーム（1917年 - 1992年）にちなんで名付けられた。

この理論は決定論的^[1]かつ明示的に非局所的である。つまり、任意の1つの粒子の速度は、考慮中のすべての粒子の構成に依存する誘導方程式の値に依存する。

測定は、理論によって記述される量子過程の特殊なケースであり、量子力学の他の解釈と同じ量子予測をもたらします。粒子は常に一定の配置になっているため、理論には「測定問題」はありません。ド・ブロイ・ボーム理論のボルンの規則は公理ではありません。むしろ、この理論では、確率密度と波動関数の関係は定理の地位にあり、これは波動関数を支配する基本原理に追加された「量子平衡仮説」という別の公理の結果です。この理論には、同等の数学的定式化がいくつかあります。

ド・ブロイ・ボーム理論は以下の仮定に基づいています。

• 宇宙には、座標 で記述される配置があり、これは配置空間 の要素です。配置空間は、パイロット波理論のバージョンによって異なります。たとえば、これは粒子の位置の空間であったり、場の理論の場合は場の配置の空間 であったりします。配置は (スピン = 0 の場合) 誘導方程式 に従って発展します。ここで、は確率電流または確率フラックス、 は運動量演算子です。ここで、は量子論からの標準的な複素数値波動関数であり、シュレーディンガー方程式に従って発展します。これで、 型のハミルトン演算子を持つ任意の量子理論の理論の仕様が完成します。${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{k}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi (x)}$$${\displaystyle m_{k}{\frac {dq^{k}}{dt}}(t)=\hbar \nabla _{k}\operatorname {Im} \ln \psi (q,t)=\hbar \operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(q,t)={\frac {m_{k}\mathbf {j} _{k}}{\psi ^{*}\psi }}=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathbf {\hat {P}} _{k}\Psi }{\Psi }}\right),}$$${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} }$${\displaystyle \psi (q,t)}$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}\psi (q,t)+V(q)\psi (q,t).}$$${\textstyle H=\sum {\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {p}}_{i}^{2}+V({\hat {q}})}$
• ある瞬間に構成は に従って分布し、これは結果的にすべての時間に当てはまります。このような状態は量子平衡と呼ばれます。量子平衡により、この理論は標準的な量子力学の結果と一致します。${\displaystyle |\psi (q,t)|^{2}}$${\displaystyle t}$

この後者の関係は理論の公理として頻繁に提示されているが、ボームは1952年の原著論文ではこれを統計力学的な議論から導き出せるものとして提示した。この議論は1953年のボームの研究によってさらに支持され、1954年のヴィジエとボームの論文によって実証された。この論文では、量子非平衡から量子平衡への漸近緩和のプロセス（ρ → |ψ| ^{2 ）を駆動する確率論的}流体変動が導入された。^[2]

二重スリット実験は、波動と粒子の二重性を示す例です。この実験では、粒子ビーム（電子など）が 2 つのスリットがある障壁を通過します。検出器スクリーンが障壁の向こう側にある場合、検出された粒子のパターンには、2 つの発生源（2 つのスリット）からスクリーンに到達した波の特性を示す干渉縞が表示されます。ただし、干渉パターンは、スクリーンに到達した粒子に対応する個々のドットで構成されます。このシステムは、波（干渉パターン）と粒子（スクリーン上のドット）の両方の挙動を示しているように見えます。

この実験を修正してスリットの 1 つを閉じると、干渉縞は観察されません。したがって、両方のスリットの状態が最終結果に影響します。また、スリットの 1 つに最小限の侵襲性の検出器を配置して、粒子がどのスリットを通過したかを検出することもできます。これを実行すると、干渉縞は消えます。^[4]

ド・ブロイ・ボーム理論では、波動関数は両方のスリットで定義されますが、各粒子は正確に 1 つのスリットを通過する明確な軌道を持ちます。検出器スクリーン上の粒子の最終的な位置と粒子が通過するスリットは、粒子の初期位置によって決まります。このような初期位置は実験者には知ることも制御することもできないため、検出パターンにはランダム性の外観があります。ボームは 1952 年の論文で、波動関数を使用して量子ポテンシャルを構築し、これをニュートン方程式に含めると、2 つのスリットを通過する粒子の軌道が与えられました。実際には、波動関数は自身と干渉し、量子ポテンシャルによって粒子を誘導します。その結果、粒子は干渉が破壊的な領域を避け、干渉が建設的な領域に引き寄せられ、検出器スクリーン上に干渉パターンが生じます。

粒子が 1 つのスリットを通過したことが検出されたときの動作を説明するには、条件付き波動関数の役割と、それがどのようにして波動関数の崩壊につながるかを理解する必要があります。これについては以下で説明します。基本的な考え方は、検出を記録する環境が配置空間で 2 つの波束を効果的に分離するというものです。

ド・ブロイ・ボーム理論は、配置空間におけるパイロット波と、古典力学における粒子の軌道を非ニュートン力学によって定義して記述する。^[5]時間のあらゆる瞬間に、波動関数だけでなく、宇宙全体の明確に定義された配置（すなわち、シュレーディンガー方程式を解く際に使用される境界条件によって定義されるシステム）も存在する。 ${\displaystyle \psi (q,t)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle q(t)\in Q}$

ド・ブロイ＝ボーム理論は、古典力学と同様に粒子の位置と軌道を扱うが、その力学は異なる。古典力学では、粒子の加速度は物理的な3次元空間に存在する力によって直接与えられる。ド・ブロイ＝ボーム理論では、量子「場は新しい種類の「量子力学的」力を及ぼす」。^{[6] : 76}ボームは、各粒子が「複雑で微妙な内部構造」を持ち、量子ポテンシャルによって波動関数から提供される情報に反応する能力を備えていると仮定した。^[7]また、古典力学とは異なり、物理的特性（質量、電荷など）はド・ブロイ＝ボーム理論では波動関数全体に広がっており、粒子の位置に局在していない。^{[8] [9]}

システムの動的発展を決定するのは粒子ではなく波動関数自体であり、粒子は波動関数に反作用しない。ボームとハイリーは「量子場のシュレーディンガー方程式には発生源がなく、また場が粒子の状態によって直接影響を受ける他の方法もない。[...] 量子場には発生源も粒子への他の依存形態もないという仮定のもとで量子理論は完全に理解できる」と表現している。^[10] P. ホランドは、粒子と波動関数のこの相互作用の欠如を「この理論が示す多くの非古典的な特性の 1 つ」とみなしている。^[11]ホランドは後に、説明が不完全であるため、これは単に見かけ上の反作用の欠如であると述べた。 ^[12]

以下では、1 つの粒子が移動する場合の設定を示し、その後にN 個の粒子が 3 次元で移動する場合の設定を示します。最初の例では、配置空間と実空間は同じですが、2 番目の例では、実空間は のままですが、配置空間は になります。粒子の位置自体は実空間にありますが、速度場と波動関数は配置空間上にあり、これがこの理論で粒子が互いに絡み合う方法です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}$

この理論の拡張には、スピンとより複雑な配置空間が含まれます。

粒子の位置については の変化を使用し、 は配置空間上の複素数値の波動関数を表します。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \psi }$

スピンのない単一粒子が運動する場合、その粒子の速度は ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t).}$

-番目の粒子とラベル付けされた多くの粒子の速度は ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t).}$

注目すべき主な事実は、この速度場は宇宙のすべての粒子の実際の位置に依存するということです。以下で説明するように、ほとんどの実験状況では、これらすべての粒子の影響は、宇宙のサブシステムの有効な波動関数にカプセル化できます。 ${\displaystyle N}$

1粒子シュレーディンガー方程式は、 上の複素数値波動関数の時間発展を支配します。この方程式は、上の実数値ポテンシャル関数の下で発展する古典システムの全エネルギーの量子化されたバージョンを表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi .}$

多くの粒子の場合、方程式は、と が配置空間上にあることを除いて同じです。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi .}$

これは従来の量子力学における波動関数と同じものです。

ボームの原著論文^[13]では、ド・ブロイ・ボーム理論がどのようにして量子力学の通常の測定結果をもたらすかについて議論している。主な考え方は、粒子の位置が で与えられる統計分布を満たす場合にこれが真であるということであり、粒子の初期分布が を満たす場合、その分布は誘導方程式によって常に真であることが保証される。 ${\displaystyle |\psi |^{2}}$${\displaystyle |\psi |^{2}}$

与えられた実験では、これが真実であると仮定し、実験的に検証することができます。しかし、Dürr ら^[14]が主張しているように、サブシステムのこの分布は典型的であると主張する必要があります。著者らは、システムの動的進化の下での同値性により、 は粒子の位置の初期条件の典型性の適切な尺度であると主張しています。次に著者らは、可能な初期構成の大部分が、測定結果に対してボルンの規則 (つまり、 ) に従う統計を生じることを証明しています。要約すると、ド・ブロイ・ボーム力学によって支配される宇宙では、ボルンの規則の振る舞いは典型的です。 ${\displaystyle |\psi |^{2}}$${\displaystyle |\psi |^{2}}$

したがって、この状況は古典統計物理学の状況に類似している。低エントロピーの初期条件は、圧倒的に高い確率で、高エントロピー状態に進化する。つまり、熱力学の第二法則と一致する動作が典型的である。第二法則に違反する異常な初期条件が存在するが、それらの条件のいずれかの実現を裏付ける非常に詳細な証拠がなければ、実際に観察されるエントロピーの均一な増加以外のものを期待するのはまったく不合理である。同様に、ド・ブロイ-ボーム理論では、ボルンの規則に違反する（標準的な量子理論の予測と矛盾する）測定統計を生成する異常な初期条件が存在するが、典型性定理は、それらの特別な初期条件のいずれかが実際に実現されたと信じる特定の理由がなければ、ボルンの規則の動作が期待されるはずであることを示す。

この限定された意味で、ボルンの規則は、ド・ブロイ-ボーム理論にとって、（通常の量子論のように）追加の公理ではなく、定理です。

また、ボルンの規則に従って分布していない（つまり「量子平衡から外れた」分布）粒子の分布がド・ブロイ・ボーム力学の下で進化すると、次のように分布する状態に動的に進化する可能性が圧倒的に高いことも示されている。^[15]${\displaystyle |\psi |^{2}}$

ド・ブロイ・ボーム理論の定式化では、宇宙全体に対する波動関数（常にシュレーディンガー方程式によって発展する）のみが存在する。ここで、「宇宙」とは、シュレーディンガー方程式を解くために使用されるのと同じ境界条件によって制限されるシステムである。しかし、理論が定式化されると、宇宙のサブシステムに対しても波動関数の概念を導入すると便利である。宇宙の波動関数を と書き、ここで は宇宙のサブシステム（I）に関連付けられた構成変数を表し、 は残りの構成変数を表す。サブシステム（I）の実際の構成と宇宙の残りの部分の実際の構成をそれぞれ と表す。簡単にするために、ここではスピンがない場合のみを考える。サブシステム（I）の条件付き波動関数は で定義される。 ${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})}$${\displaystyle q^{\text{I}}}$${\displaystyle q^{\text{II}}}$${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$${\displaystyle Q^{\text{II}}(t)}$

${\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})=\psi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t)).}$

が誘導方程式を満たすという事実から、構成も理論の定式化で提示されたものと同一の誘導方程式を満たすことが直ちに導かれる。ただし、普遍波動関数は条件付き波動関数 に置き換えられる。また、 がランダムであり、確率密度がの二乗係数で与えられるという事実は、与えられたの条件付き確率密度が (正規化された) 条件付き波動関数の二乗係数で与えられることを意味する(Dürr らの用語では^{[16]、この事実は}基本的な条件付き確率式と呼ばれる)。 ${\displaystyle Q(t)=(Q^{\text{I}}(t),Q^{\text{II}}(t))}$${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$${\displaystyle Q(t)}$${\displaystyle \psi (t,\cdot )}$${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$${\displaystyle Q^{\text{II}}(t)}$${\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,\cdot )}$

普遍波動関数とは異なり、サブシステムの条件付き波動関数は必ずしもシュレーディンガー方程式に従って発展するわけではないが、多くの場合はそうである。例えば、普遍波動関数が次のように因数分解される場合、

${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}}),}$

すると、サブシステム (I) の条件付き波動関数は (無関係なスカラー因子を除いて) に等しい(これは標準的な量子論ではサブシステム (I) の波動関数とみなされる)。さらに、ハミルトニアンがサブシステム (I) と (II) の間の相互作用項を含まない場合、はシュレーディンガー方程式を満たす。より一般的には、普遍的な波動関数が次のように書けると 仮定する。${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}})+\phi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}}),}$

ここで、 はシュレーディンガー方程式を解き、 をすべてのおよびに対して解きます。また、サブシステム (I) の条件付き波動関数は (無関係なスカラー因子を除いて) に等しく、ハミルトニアンにサブシステム (I) と (II) 間の相互作用項が含まれていない場合、 はシュレーディンガー方程式を満たします。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t))=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle q^{\text{I}}}$${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$

サブシステムの条件付き波動関数が必ずしもシュレーディンガー方程式によって発展するわけではないという事実は、サブシステムの条件付き波動関数を考慮すると、標準量子理論の通常の崩壊規則がボーム形式から現れるという事実に関連しています。

パイロット波理論は明らかに非局所的であり、特殊相対論と表面上は矛盾している。この問題を解決しようとする「ボームのような」力学のさまざまな拡張が存在する。ボーム自身は1953年に、単一粒子に対するディラック方程式を満たす理論の拡張を提示した。しかし、これは絶対時間を使用していたため、多数の粒子の場合に拡張できなかった。^[17]

1990年代には、ボーム理論のローレンツ不変な拡張を構築するという新たな関心が生まれました。Bohm and Hiley: The Undivided Universe ^{[18] [19]}およびそこに引用されている文献を参照してください。別のアプローチは、ボーム-ディラックモデルとローレンツ不変な時空の葉理構造を使用する Dürr et al. ^{[20]によって提示されています。}

このように、デュルら（1999）は、ボーム・ディラック理論に追加構造を導入することで、ローレンツ不変性を形式的に回復できることを示した。このアプローチでは、依然として時空の葉理が必要である。これは相対性理論の標準的な解釈と矛盾するが、好ましい葉理は、観測不可能な場合、相対性理論との経験的な矛盾をもたらさない。2013年にデュルらは、必要な葉理は波動関数によって共変的に決定できると示唆した。^[21]

非局所性と優先葉理の関係は、次のように理解するとよりよく理解できます。ド・ブロイ・ボーム理論では、非局所性は、1 つの粒子の速度と加速度が他のすべての粒子の瞬間的な位置に依存するという事実として現れます。一方、相対性理論では、瞬間性の概念は不変の意味を持ちません。したがって、粒子の軌道を定義するには、どの時空点を瞬間と見なすべきかを定義する追加の規則が必要です。これを実現する最も簡単な方法は、葉理の各超曲面が等しい時間の超曲面を定義するように、手動で時空の優先葉理を導入することです。

当初、ボソンを相対論的に記述することの難しさから、ド・ブロイ・ボーム理論で光子の軌道の記述を設定することは不可能であると考えられていた。^[22] 1996年、Partha Ghoseは、ダフィン・ケマー・ペティオ方程式から出発して、スピン0およびスピン1ボソンの相対論的量子力学的記述を提示し、質量のあるボソンと質量のないボソン（したがって光子）のボーミアン軌道を示した。^[22] 2001年、Jean-Pierre Vigierは、ボーミアン力学またはネルソン確率力学のいずれかの枠組みで、粒子の軌道の観点から光の明確な記述を導出することの重要性を強調した。^[23]同年、Ghoseは特定のケースについてボーミアン光子の軌道を解明した。^[24]その後の弱測定実験では、予測された軌道と一致する軌道が得られました。^{[25] [26]}これらの実験結果の重要性は議論の余地があります。^[27]

クリス・デュードニーとG・ホートンは、ボームの量子場理論の相対論的に共変な波動関数定式化を提案し^{[28] [29]}、それを重力を考慮できる形に拡張した^{[30] 。}

ニコリッチは、多粒子波動関数のボーミアン解釈のローレンツ共変定式化を提案した。^[31]彼は量子論の一般化された相対論的不変確率的解釈を開発した。^{[32] [33] [34]}そこではもはや空間の確率密度ではなく、時空の確率密度が使われている。彼はこの一般化された確率的解釈を使って、時空の優先葉理を導入せずにド・ブロイ・ボーム理論の相対論的共変バージョンを定式化した。彼の研究は、ボーミアン解釈を場と弦の量子化に拡張することも扱っている。^[35]${\displaystyle |\psi |^{2}}$

シドニー大学のロデリック・I・サザーランドは、パイロット波とそのビーブルに対するラグランジアン形式論を持っています。これは、ヤキル・アハロノフのレトロカジュアル弱測定を利用して、配置空間を必要とせずに特殊相対論的に多粒子エンタングルメントを説明します。基本的なアイデアは、1950年代にオリヴィエ・コスタ・ド・ボーリガードによってすでに発表されており、フォン・ノイマンの強い射影演算子測定間に存在するビーブルを除いて、ジョン・クレイマーのトランザクション解釈でも使用されています。サザーランドのラグランジアンには、パイロット波とビーブル間の双方向の作用反作用が含まれています。したがって、これは量子論の無信号定理に違反する最終境界条件を持つポスト量子非統計理論です。特殊相対性理論が時空の曲率がゼロになる一般相対性理論の極限ケースであるのと同様に、ボルンの規則を伴う統計的非エンタングルメントシグナリング量子論も、反応がゼロに設定され、最終境界条件が積分されるときの量子後作用反応ラグランジアンの極限ケースである。^[36]

スピンを組み込むために、波動関数は複素ベクトル値になります。値空間はスピン空間と呼ばれます。スピン 1/2粒子の場合、スピン空間は と見なすことができます。誘導方程式は、スピン空間で内積をとって複素ベクトルを複素数に減らすことによって修正されます。シュレーディンガー方程式は、パウリのスピン項を追加することによって修正されます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)&={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {(\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}\right)(\mathbf {Q} _{1},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t),\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi &=\left(-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V-\sum _{k=1}^{N}\mu _{k}{\frac {\mathbf {S} _{k}}{\hbar s_{k}}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})\right)\psi ,\end{aligned}}}$$

どこ

• ${\displaystyle m_{k},e_{k},\mu _{k}}$— –番目の粒子の質量、電荷、磁気モーメント${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$— –番目の粒子のスピン空間で作用する適切なスピン演算子${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle s_{k}}$— –番目の粒子のスピン量子数（電子の場合）${\displaystyle k}$${\displaystyle s_{k}=1/2}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$ベクトルポテンシャルは${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$磁場は​${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ${\textstyle D_{k}=\nabla _{k}-{\frac {ie_{k}}{\hbar }}\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})}$は、ベクトルポテンシャルを含む共変微分であり、–番目の粒子の座標に帰属する（SI単位系）。${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \psi }$— 多次元配置空間上で定義された波動関数。例えば、2つのスピン1/2粒子と1つのスピン1粒子からなるシステムは、テンソル積である形の波動関数を持つので、このスピン空間は12次元である。$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3},}$$${\displaystyle \otimes }$
• ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$スピン空間における内積です:${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$$${\displaystyle (\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.}$$

確率電気力学（SED）は量子力学のド・ブロイ・ボーム解釈の拡張であり、電磁ゼロ点場（ZPF）が誘導パイロット波として中心的な役割を果たしている。SEDに対する現代のアプローチは、とりわけ故ゲルハルト・グローシングを中心としたグループによって提案されたもののように、波動および粒子のような量子効果を、よく調整された創発システムと見なしている。これらの創発システムは、ゼロ点場との推測され計算されたサブ量子相互作用の結果である。^{[37] [38] [39]}

Dürr ら^{[40] [41]}では、著者らは生成演算子と消滅演算子を扱うためのド・ブロイ・ボーム理論の拡張について説明しており、これを「ベル型量子場理論」と呼んでいる。基本的な考え方は、配置空間が、任意の数の粒子のすべての可能な配置の (互いに素な) 空間になるというものである。一部の時間では、システムは、固定数の粒子を持つ誘導方程式の下で決定論的に進化する。しかし、確率過程の下では、粒子は生成され消滅する可能性がある。生成イベントの分布は波動関数によって決定される。波動関数自体は、完全な多粒子配置空間にわたって常に進化している。

Hrvoje Nikolić ^[32]は、粒子の生成と破壊に関する純粋に決定論的なド・ブロイ・ボーム理論を提唱している。この理論によれば、粒子の軌道は連続的であるが、粒子検出器は、実際には粒子の生成や破壊が起こっていない場合でも、粒子が生成または破壊されたかのように動作する。

ド・ブロイ・ボーム理論を曲がった空間（数学用語ではリーマン多様体）に拡張するには、勾配やラプラシアンなど、これらの方程式のすべての要素が意味をなすということに留意するだけです。したがって、上記と同じ形式の方程式を使用します。位相条件と境界条件は、シュレーディンガー方程式の発展を補足する際に適用される場合があります。

スピンを持つ曲がった空間上のド・ブロイ＝ボーム理論では、スピン空間は配置空間上のベクトル束となり、シュレーディンガー方程式のポテンシャルはその空間に作用する局所自己随伴演算子となる。^[42] スピンを持つ相対論的ケースのド・ブロイ＝ボーム理論の場の方程式は、ねじれを持つ曲がった時空に対しても与えられる。^{[43] [44]}

曲率とねじれのある一般的な時空では、基本的なフェルミオン粒子の4 元速度 の誘導方程式は、波動関数がスピノル、対応する随伴関数、ディラック行列、四元行列である。[ ^{45]波動関数が}曲がったディラック方程式に従って伝播する場合、粒子は測地線方程式の拡張であるマティソン-パパペトルーの運動方程式に従って移動する。この相対論的な波動粒子二重性は、スピンテンソルとエネルギー運動量テンソルの保存則から、^[45]また共変ハイゼンベルク運動方程式からも導かれる。^[46]${\displaystyle u^{i}}$$${\displaystyle u^{i}={\frac {e_{\mu }^{i}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }{{\bar {\psi }}\psi }},}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\bar {\psi }}}$${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle e_{\mu }^{i}}$

ド・ブロイとボームの量子力学の因果的解釈は、後にボーム、ヴィジェ、ハイリー、ヴァレンティーニらによって確率論的性質を含むように拡張された。ボームやヴァレンティーニを含む他の物理学者は、確率密度関数に結びつくボルンの規則は基本法則ではなく、シュレーディンガー方程式の下での時間発展の過程でシステムが量子平衡に達した結果を表すものであると見ている。一旦平衡に達すると、システムはその後の発展の過程でそのような平衡を維持することが示され、これはのシュレーディンガー発展に関連する連続方程式から導かれる。^[48]そもそもそのような平衡に達するかどうか、またどのようにして達するかを示すのはそれほど簡単ではない。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho =R^{2}}$${\displaystyle \psi }$

アントニー・ヴァレンティーニ^[49]は、ド・ブロイ・ボーム理論を拡張して信号の非局所性を取り入れ、エンタングルメントにエンコードされたメッセージを「ロック解除」するための二次的な古典的な「鍵」信号なしで、エンタングルメントをスタンドアロンの通信チャネルとして使用できるようにしました。これは正統的な量子理論に違反していますが、カオス的インフレーション理論の並行宇宙を原理的に観測可能にするという利点があります。

ド・ブロイ・ボーム理論とは異なり、ヴァレンティーニの理論では、波動関数の発展はオントロジー変数にも依存する。これにより不安定性、つまり隠れた変数を「サブ量子熱死」から押し出すフィードバックループが生じる。結果として得られる理論は非線形かつ非ユニタリーになる。ヴァレンティーニは、量子力学の法則は創発的であり、古典力学における熱平衡に類似した「量子平衡」を形成するため、他の「量子非平衡」分布が原理的に観察され、利用される可能性があるが、量子理論の統計的予測は破られると主張している。量子理論は、非局所的（超光速）シグナリングが可能で、不確定性原理に違反する可能性のある、はるかに広範な非線形物理学の特殊なケースにすぎないという議論がある。^{[50] [51]}

以下は、ド・ブロイ・ボーム理論の分析から生じる結果のハイライトです。実験結果は、量子力学の標準的な予測のすべてと一致しています。しかし、標準的な量子力学は「測定」の結果の議論に限定されているのに対し、ド・ブロイ・ボーム理論は、外部の観察者の介入なしにシステムのダイナミクスを支配します (Bell ^[52]の 117 ページ)。

標準的な量子力学との一致の根拠は、粒子がに従って分布しているということである。これは観察者の無知の表明である。初期位置は統計分布によって表されるため、決定論的な軌道は統計分布をもたらすことになる。^[14]${\displaystyle |\psi |^{2}}$

通常の量子論によれば、粒子のスピンや分極を直接測定することはできない。代わりに、一方向の成分が測定される。単一粒子からの出力は、粒子が測定装置と一直線になっていることを意味する 1 か、反対方向に一直線になっていることを意味する -1 になる。偏光子によって状態 1 になるように準備された粒子の集団は、後続の装置ではすべて状態 1 で偏光していると測定される。最初のパスに対して角度をつけて設定された偏光子を通過した偏光集団は、相対的な一直線になっている確率で、一部は 1、一部は -1 になる。この詳しい説明については、シュテルン・ゲルラッハの実験を参照。

ド・ブロイ・ボーム理論では、スピン実験の結果を分析するには、実験装置に関する知識が必要です。粒子の軌道は影響を受けず、一方の装置では粒子がスピンアップとして記録され、もう一方の装置ではスピンダウンとして記録されるように、装置を変更することは可能です^[53 ]。したがって、ド・ブロイ・ボーム理論では、粒子のスピンは粒子の固有の特性ではありません。代わりに、スピンは、いわば、スピンを測定するために使用されている特定のデバイスに関連する粒子の波動関数にあります。これは、文脈性と呼ばれることがあり、演算子に関する素朴実在論に関連している例証です^[54] 。解釈的には、測定結果はシステムとその環境の決定論的な特性であり、これには、共測定された観測量のコンテキストを含む実験装置に関する情報が含まれます。古典物理学の場合のように、システム自体が測定される特性を持っているということはありません。

ド・ブロイ・ボーム理論は、（非相対論的）量子力学とほぼ同様の結果を与える。波動関数は粒子の動き方を記述するため、波動関数を理論の基本的対象として扱う。つまり、実験によってこの2つの理論を区別することはできない。このセクションでは、標準的な量子形式論が量子力学からどのように生じるかについての考え方を概説する。^{[13] [14]}

ド・ブロイ・ボーム理論は、主に宇宙全体に適用される理論です。つまり、宇宙のすべての粒子の運動は、誘導方程式に従って支配する単一の波動関数が存在します。理論的には、1 つの粒子の運動は、宇宙の他のすべての粒子の位置に依存します。実験システムなどの状況では、システムの波動関数がシステムの環境を条件付けすることによって得られるド・ブロイ・ボーム理論でシステム自体を表すことができます。したがって、システムは、システム内の粒子の初期分布を使用して、シュレーディンガー方程式と誘導方程式で分析できます (詳細については、サブシステムの条件付き波動関数のセクションを参照してください)。 ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

システムの条件付き波動関数が量子進化に従うには、特別な設定が必要です。システムが測定などを通じて環境と相互作用する場合、システムの条件付き波動関数は異なる方法で進化します。普遍的な波動関数の進化により、システムの波動関数が異なる状態の重ね合わせのように見えることがあります。しかし、環境が実験の結果を記録している場合、環境の実際のボーミアン構成を使用して条件付けすると、条件付き波動関数は、測定結果に対応する 1 つの選択肢に縮小されます。

普遍的な波動関数の崩壊は、ド・ブロイ・ボーム理論では決して起こりません。その進化全体はシュレーディンガー方程式によって支配され、粒子の進化は誘導方程式によって支配されます。崩壊は、独自のシュレーディンガー方程式に従うように見えるシステムに対してのみ、現象論的に発生します。これはシステムの効果的な説明であるため、実験システムに何を含めるかを定義することは選択の問題であり、これは「崩壊」がいつ発生するかに影響します。

標準的な量子形式論では、観測可能なものを測定することは、一般にヒルベルト空間上の測定演算子であると考えられている。例えば、位置を測定することは、位置演算子の測定であると考えられる。物理的測定とヒルベルト空間演算子との関係は、標準的な量子力学にとって、理論の追加の公理である。対照的に、ド・ブロイ-ボーム理論は、そのような測定公理を必要としない（そして、測定自体は、理論における物理的過程の動的に異なる、または特別なサブカテゴリではない）。特に、通常の演算子を観測可能なものとして扱う形式論は、ド・ブロイ-ボーム理論にとって定理である。^[55]分析の主なポイントは、観測可能なものの測定の多くは粒子の特性に対応していないということである。それらは（上で議論したスピンの場合のように）波動関数の測定である。

ド・ブロイ＝ボーム理論の歴史において、支持者はこの理論は不可能だという主張にしばしば対処しなければならなかった。そのような議論は一般に、演算子を観測可能なものとして不適切に分析することに基づいている。スピン測定が、測定前に存在していた粒子のスピンを実際に測定していると考えると、矛盾に陥る。ド・ブロイ＝ボーム理論は、スピンは粒子の特性ではなく、波動関数の特性であると指摘することでこれに対処している。したがって、実験装置が選択されて初めて、明確な結果が得られる。それを考慮に入れると、不可能定理は無関係になる。また、演算子の固有状態が通常含まれる特定の状況についてこの理論が述べていることに基づいて、この理論に異論もある。たとえば、水素の基底状態は実波動関数である。誘導方程式によれば、これは電子がこの状態にあるときに静止していることを意味する。それにもかかわらず、それは に従って分布しており、実験結果との矛盾を検出することはできない。 ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

演算子を観測可能値とみなすと、多くの演算子は同等であると多くの人が信じるようになる。この観点から、ド・ブロイ・ボーム理論は、例えば運動量観測可能値ではなく、位置観測可能値を優先観測可能値として選択する。ここでも、位置観測可能値へのリンクはダイナミクスの結果である。ド・ブロイ・ボーム理論の目的は、粒子のシステムを記述することである。これは、理論の目標がそれらの粒子の位置を常に記述することであることを意味する。他の観測可能値は、この説得力のある存在論的地位を持たない。明確な位置を持つことは、検出器スクリーン上のフラッシュなどの明確な結果を持つことを説明する。他の観測可能値はその結論には至らないが、他の観測可能値の数学的理論を定義することに必ずしも問題があるわけではない。確率密度と確率電流が任意の交換演算子のセットに対して定義できるという事実の探求については、 Hyman ら^{[56] を参照。}

ド・ブロイ・ボーム理論はしばしば「隠れた変数」理論と呼ばれる。ボームはこの主題に関する最初の論文でこの説明を使用し、「通常の解釈の観点から、これらの追加要素またはパラメータ（すべてのプロセスの詳細な因果関係と連続的な説明を可能にする）は、「隠れた」変数と呼ぶことができる」と書いている。ボームとハイリーは後に、ボームが「隠れた変数」という用語を選んだのはあまりにも限定的であると述べた。特に、彼らは粒子が実際には隠れているのではなく、「その特性を任意の精度で観察することはできないが（不確定性原理によって設定された制限内で）観察すると最も直接的に現れるものである」と主張した。^[57]しかし、それでも「隠れた変数」という用語を適切な説明として扱う人もいる。^[58]

一般化された粒子の軌道は、同様に準備されたシステムのアンサンブルに対する多数の弱い測定から推定することができ、そのような軌道はド・ブロイ・ボーム軌道と一致する。特に、2つのエンタングルメントされた光子を用いた実験では、一方の光子のボーミアン軌道のセットが弱い測定と事後選択を使用して決定され、その光子の軌道ともう一方の光子の偏光との間の非局所的な接続の観点から理解することができる。 ^{[59] [60]}しかし、ド・ブロイ・ボーム解釈だけでなく、そのような軌道を含まない量子力学の他の多くの解釈も、そのような実験的証拠と一致している。

軌道予測の特性をテストするために、二重スリット実験の特殊版が考案されました。^[61] この概念の実験的実現はボームの予測と一致しませんでした。^[62]標準的な量子力学とは異なる点がありました。これらの結論は議論の対象となってきました。^{[63] [64]}

ハイゼンベルクの不確定性原理は、2つの相補的な測定を行った場合、それらの精度の積には限界があるというものです。例えば、位置を の精度で測定し、運動量を の精度で測定すると、${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta p}$${\displaystyle \Delta x\Delta p\gtrsim h.}$

ド・ブロイ・ボーム理論では、粒子の位置と運動量については常に事実が存在します。各粒子には、明確に定義された軌道と波動関数があります。観測者は、この軌道 (したがって、位置と運動量) が何であるかについての知識が限られています。粒子の軌道に関する知識が不足していることが不確定性関係の原因です。粒子について特定の時点で知ることができることは、波動関数によって記述されます。量子力学の他の解釈では、不確定性関係は波動関数から導出できるため、ド・ブロイ・ボーム理論でも同様に (上記の認識論的な意味で) 導出できます。

言い換えると、粒子の位置は統計的にしか知られていないということです。古典力学と同様に、粒子の位置を連続的に観察することで、実験者の粒子の初期条件に関する知識が洗練されます。したがって、連続的な観察により、初期条件はますます制限されることになります。この形式主義は、シュレーディンガー方程式の通常の使用と一致しています。

不確定性関係の導出については、ハイゼンベルクの不確定性原理を参照してください。ただし、この記事では、コペンハーゲン解釈の観点から原理を説明していることに注意してください。

ド・ブロイ・ボーム理論は非局所性の問題を浮き彫りにし、ジョン・スチュワート・ベルにインスピレーションを与えて彼の今では有名な定理^[65]を証明させ、それがベルテスト実験につながった。

アインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスでは、相互作用した2つの粒子に対して実行できる思考実験について説明しており、その結果は量子力学が不完全な理論であることを示していると解釈した。^[66]

数十年後、ジョン・ベルはベルの定理を証明した（ベル^[52]の14ページを参照）。その中で、量子力学の経験的予測と一致するためには、量子力学のそのような「隠れた変数」の完成はすべて非局所的であるか（ボーム解釈のように）、実験が唯一の結果を生み出すという仮定を放棄しなければならないことを示した（反事実的明確性と多世界解釈を参照）。特に、ベルは、唯一の結果をもたらす局所理論はどれも「ベルの不等式」と呼ばれる統計的制約を満たす経験的予測を行う必要があることを証明した。

アラン・アスペクトは、 EPR タイプのセットアップを使用してベルの不等式をテストする一連のベル テスト実験を実行しました。アスペクトの結果は、ベルの不等式が実際に破られていることを実験的に示しており、関連する量子力学の予測が正しいことを意味します。これらのベル テスト実験では、もつれた粒子のペアが作成され、粒子は分離されて遠隔測定装置に移動します。粒子が飛行している間に測定装置の方向を変更できるため、効果の明らかな非局所性が実証されます。

ド・ブロイ＝ボーム理論は、ベルテスト実験に対して、通常の量子力学と同じ（経験的に正しい）予測を行う。これが可能なのは、それが明らかに非局所的だからである。このため、しばしば批判されたり拒絶されたりするが、ベルの態度は「この（非局所性）を非常に明確に示し、無視できないのは、ド・ブロイ＝ボーム版の長所である」というものであった。^[67]

ド・ブロイ・ボーム理論は、ベルテスト実験における物理を次のように説明しています。粒子の進化を理解するには、両方の粒子の波動方程式を設定する必要があります。装置の向きは波動関数に影響します。実験中の粒子は波動関数の誘導に従います。波動関数は、装置の向きを変えることで光より速く効果をもたらします。 モードリンは、どのような非局所性が存在するのか、そしてそれが相対性理論とどのように両立するのかについて、正確に分析しています。^{[68]ベルは、非局所性によって}超光速通信が不可能であることを示しました。モードリンはこれをより詳細に示しました。

ボームの古典的なバージョンのド・ブロイ・ボーム理論の定式化には、ボームが1952年に指摘したように、量子ポテンシャルが無視できる状況では古典的な振る舞いの出現が直ちに起こるように見えるという利点がある。この限界の解析には、現代のデコヒーレンス法が関連している。厳密な解析に向けた手順については、 Allori et al. ^{[69]を参照。}

2000 年代初頭のRobert E. Wyattによる研究では、ボーム「粒子」を、時間と空間における量子状態の実際の軌跡をたどる適応メッシュとして使用しようとしました。「量子軌跡」法では、量子波動関数を四分点のメッシュでサンプリングします。次に、ボームの運動方程式に従って四分点を時間的に展開します。各時間ステップで、点から波動関数を再合成し、量子力を再計算して、計算を続けます。(H + H ₂反応散乱のこの QuickTime ムービーは、UT Austin の Wyatt グループの Web サイトにあります。) このアプローチは、化学物理学コミュニティの多くの研究者によって、半古典的および準古典的な分子動力学を計算する方法として採用、拡張され、使用されてきました。 2007年のJournal of Physical Chemistry A号はワイアット教授と彼の「計算ボーミアン動力学」に関する研究に捧げられた。^[70]

ヒューストン大学のエリック・R・ビットナーのグループ^{[71]は、ベイジアンサンプリング技術を使用して量子密度をサンプリングし、構造のない点のメッシュ上の量子ポテンシャルを計算するこのアプローチの統計的変種を開発しました。この技術は最近、} n≈100の小さなクラスター_Nenの熱容量における量子効果を推定するために使用されました。

ボーミアンアプローチの使用には依然として困難が残っており、そのほとんどは量子波動関数のノードによる量子ポテンシャルの特異点の形成に関連しています。一般に、干渉効果によって形成されるノードは、次のようなケースにつながります。これにより、サンプル粒子に無限の力が加わり、ノードから離れるように強制され、他のサンプルポイントのパスと交差することがよくあります (これは単一値性に違反します)。これを克服するためにさまざまなスキームが開発されていますが、一般的な解決策はまだ現れていません。 ${\displaystyle R^{-1}\nabla ^{2}R\to \infty .}$

これらの方法は、ボームのハミルトン・ヤコビ定式化と同様に、スピンの完全なダイナミクスを考慮する必要がある状況には適用されません。

ド・ブロイ・ボーム理論における軌跡の特性は、モイヤールの量子軌跡や開放量子系の解明から得られる 量子軌跡とは大きく異なります。

キム・ヨリス・ボストロムは、ド・ブロイ・ボーム力学とエヴェレットの多世界理論の要素を組み合わせた非相対論的量子力学理論を提唱している。特に、ホーキングとワインバーグの非現実的な多世界解釈は、ボームの非現実的な空の分岐世界の概念に似ている。

ボーミアン力学の 2 番目の問題は、一見すると無害に見えるかもしれませんが、よく見るとかなりの破壊力を発揮します。それは、空の枝の問題です。これらは、実際の構成q をサポートしていないため、どの粒子も誘導しない測定後の状態のコンポーネントです。一見すると、空の枝は問題には見えませんが、逆に非常に役立ちます。なぜなら、理論が測定の独自の結果を説明できるようにするためです。また、通常の量子力学の場合のように、波動関数の効果的な「崩壊」がある理由を説明しているようにも見えます。しかし、よく見ると、これらの空の枝は実際には消えないことを認めなければなりません。波動関数は実際に存在するフィールドを記述するものとみなされるため、そのすべての枝は実際に存在し、進化の過程でそれらの枝がいくつ空になったとしても、シュレーディンガー力学によって永遠に進化します。グローバル波動関数のどの枝も、完全な世界を潜在的に記述している。ボームの存在論によれば、その世界は、粒子で満たされていれば現実世界になる可能性のある世界にすぎず、エヴェレットの理論における対応する世界とあらゆる点で同一である。一度に粒子で占められる枝は 1 つだけであり、それによって現実世界が表現される。一方、他の枝は、実際に存在する波動関数の一部として実際に存在しているが、空であり、したがって、惑星、海、木、都市、車、そして私たちのように話し、私たちのように行動するが実際には存在しない人々を含む、ある種の「ゾンビの世界」を含んでいる。さて、エヴェレットの理論が存在論的過剰であると非難されるならば、ボームの力学は存在論的無駄であると非難される可能性がある。空の枝の存在論に加えて、量子平衡仮説のため、観察者に永遠に知られない粒子の位置の追加の存在論が来る。しかし、実験現実における統計的予測の計算には実際の構成はまったく必要ありません。なぜなら、それらは単なる波動関数代数によって得られるからです。この観点からすると、ボーミアン力学は無駄で冗長な理論のように見えるかもしれません。私は、このような考慮がボーミアン力学の一般的な受容を妨げる最大の障害であると考えています。^[72]

多くの著者は、ド・ブロイ＝ボーム理論をエヴェレットの多世界アプローチと比較して批判的な見解を表明している。ド・ブロイ＝ボーム理論の支持者の多く（ただし全員ではない）（ボームやベルなど）は、普遍的な波動関数を物理的に実在するものと解釈している。エヴェレット理論の支持者の一部によると、（決して崩壊しない）波動関数が物理的に実在するものとみなされるなら、理論はエヴェレット理論と同じ多世界を持つと解釈するのが自然である。エヴェレットの見解では、ボーム粒子の役割は「ポインタ」として機能し、普遍的な波動関数の 1 つの枝だけをタグ付けまたは選択することである（この枝がどの波束が特定の実験の観測結果を決定するかを示すという仮定は「結果仮定」と呼ばれる^[73]）。他の枝は「空」と指定され、意識のある観測者がいないとボームによって暗黙的に想定されている。^[73] H.ディーター・ゼーはこれらの「空の」枝について次のようにコメントしている。^[74]

ボームの理論には、エヴェレットの解釈（現在は「空の」波動成分と見なされている）と同じ「多くの世界」の動的に分離された枝が含まれていることは、通常見落とされています。なぜなら、ボームの理論は、まったく同じ...グローバル波動関数...に基づいているからです。

デイヴィッド・ドイチュは、同じ点をより「辛辣に」表現している。^{[73] [75]}

パイロット波理論は、慢性的に否定されている並行宇宙理論です。

この結論に対して、デトレフ・デュルとジャスティン・ラザロヴィチは異議を唱えている。

もちろん、ボーミアンはこの議論を受け入れることはできない。彼女にとって、世界（あるいはむしろ世界）を構成するのは、明らかに三次元空間の粒子配置であり、抽象的な配置空間上の波動関数ではない。その代わりに、彼女はエヴェレット派の理論には、ベルの意味で局所的なビーブル、つまり三次元空間または四次元時空内の局所的な実体を指す存在論的変数がないと非難するだろう。彼女の理論の多世界は、この省略のグロテスクな結果として現れるにすぎない。^[76]

ヒュー・エヴェレット3世とボームはどちらも波動関数を物理的に実在する 場として扱った。エヴェレットの多世界解釈は、波動関数だけですべての観測を説明するのに十分であることを証明しようとする試みである。粒子検出器が点滅したり、ガイガーカウンターのカチッという音が聞こえたりするとき、エヴェレットの理論はこれを検出器の波動関数の変化に反応する波動関数と解釈し、その波動関数は別の波動関数（私たちは「粒子」だと思っているが、実際には別の波束にすぎない）の通過に反応している。^[73]この理論によれば、（ボームの意味で定義された位置と速度を持つ）粒子は存在しない。このため、エヴェレットは自身の多世界アプローチを「純粋波動理論」と呼ぶこともあった。ボームの1952年のアプローチについて、エヴェレットは次のように述べている。^[77]

この見解に対する私たちの主な批判は、単純さに基づいています。つまり、実在の場であるという見解を保持したい場合、関連する粒子は不要です。なぜなら、私たちが説明しようとしたように、純粋な波動理論自体が満足のいくものであるからです。${\displaystyle \psi }$

エヴェレットの見解では、ボーム粒子は余分な存在であり、例えば特殊相対論で不要であると判明した光伝導エーテルと同様に不必要である。この議論は、余分な粒子がオッカムの剃刀の意味で冗長であるため、「冗長性議論」と呼ばれることもある。^[78]

Brown & Wallaceによれば、 ^[73]ド・ブロイ・ボーム粒子は測定問題の解決に何ら役割を果たさない。この著者らにとって、^[73]「結果の仮定」（上記参照）は、予測可能な結果（つまり、単一の結果）の場合に測定問題は存在しないという見解と矛盾している。また、彼らは^[73]ド・ブロイ・ボーム理論の標準的な暗黙の仮定（観察者は、通常の物体の粒子の配置と観察者の脳内の粒子の配置との相関関係によって、その配置に気づく）は不合理であるとも述べている。この結論はValentiniによって異議を唱えられており、^[79]彼は、そのような異議はすべて、ド・ブロイ・ボーム理論をその理論自体の条件で解釈できないことから生じていると主張している。

ピーター・R・ホランドによれば、より広いハミルトンの枠組みでは、粒子が波動関数に作用するという理論を定式化することができる。 ^[80]

ド・ブロイ・ボーム理論は、何度もさまざまな方法で導出されてきました。以下に 6 つの導出を示します。これらはすべて非常に異なっており、この理論を理解して拡張するさまざまな方法につながります。

• シュレーディンガー方程式は、アインシュタインの光量子仮説とド・ブロイの仮説を使って導くことができます。${\displaystyle E=\hbar \omega }$${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

誘導方程式も同様の方法で導くことができます。平面波を仮定します。 であることに注意してください。粒子の実際の速度を と仮定すると、 となります。したがって、誘導方程式が得られます。${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$${\displaystyle i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi }$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)}$

この導出ではシュレーディンガー方程式を使用していないことに注意してください。

• 時間発展の下で密度を保存するのも、導出の別の方法です。これは、ベルが引用した方法です。この方法は、多くの可能性のある代替理論に一般化されます。出発点は、密度の連続方程式 ^{[説明が必要]}です。この方程式は、電流に沿った確率の流れを記述します。この電流に関連付けられた速度場を、積分曲線が粒子の運動を生み出す速度場と見なします。${\displaystyle -{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot (\rho v^{\psi })}$ ${\displaystyle \rho =|\psi |^{2}}$
• スピンのない粒子に適用できる方法は、波動関数の極分解を行い、シュレーディンガー方程式を上記の連続方程式とハミルトン・ヤコビ方程式の 2 つの連立方程式に変換することです。これは 1952 年にボームが使用した方法です。分解と方程式は次のとおりです。

分解: は確率密度に対応することに注意してください。${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }.}$${\displaystyle R^{2}(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$

連続方程式: .${\displaystyle -{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right)}$

ハミルトン・ヤコビ方程式:${\displaystyle {\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}+V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right].}$

ハミルトン・ヤコビ方程式は、ポテンシャルと速度場を持つニュートン系から導かれる方程式です。ポテンシャルは、シュレーディンガー方程式に現れる古典的なポテンシャルであり、関係するもう 1 つの項は、ボームによって導入された用語である量子ポテンシャルです。${\displaystyle V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}}$${\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}}.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle R}$

これにより、量子理論は、量子力によって修正された古典的な力の下で運動する粒子として見られるようになる。しかし、標準的なニュートン力学とは異なり、初期速度場は によって既に指定されており、これはこれが二次理論ではなく一次理論であることを示す兆候である。${\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}}}$

• 4番目の導出はデュルら^[14]によって与えられました。彼らの導出では、波動関数が適切に変換されると、シュレーディンガー方程式が満たすさまざまな対称性によって与えられる適切な変換特性を要求することで速度場を導出しています。ガイド方程式はその分析から出現します。
• Dürr ら^[40]が示し​​た 5 番目の導出は、量子場理論とディラック方程式への一般化に適しています。その考え方は、速度場は関数に作用する 1 階微分演算子としても理解できるというものです。したがって、それが関数に作用する方法がわかれば、それが何であるかがわかります。次に、ハミルトニアン演算子 が与えられている場合、すべての関数(関連する乗算演算子 を含む)に対して満たす方程式はです。ここで、 は波動関数の値空間上の局所エルミート内積です。${\displaystyle H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle (v(f))(q)=\operatorname {Re} {\frac {\left(\psi ,{\frac {i}{\hbar }}[H,{\hat {f}}]\psi \right)}{(\psi ,\psi )}}(q)}$${\displaystyle (v,w)}$

この定式化により、粒子の生成と消滅などの確率論的理論が可能になります。

• ピーター・R・ホランドは、量子物理学の教科書『運動の量子理論』の基礎となるさらなる導出を行っている。^[81]これは、3つの基本公理と、波動関数と測定確率を結び付ける追加の第4公理に基づいている。
  1. 物理システムは、時空間的に伝播する波と、それによって誘導される点粒子で構成されます。
  2. 波はシュレーディンガーの波動方程式の解によって数学的に記述されます。${\displaystyle \psi }$
  3. 粒子の運動は、初期条件 に依存し、位相の解によって記述されます。${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=[\nabla S(\mathbf {x} (t),t))]/m}$${\displaystyle \mathbf {x} (t=0)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \psi }$
     4 番目の公理は補助的なものですが、最初の 3 つの公理と一致しています。
  4. 時刻tに微分体積内で粒子が見つかる確率はです。${\displaystyle \rho (\mathbf {x} (t))}$${\displaystyle d^{3}x}$${\displaystyle |\psi (\mathbf {x} (t))|^{2}}$

この理論は歴史的には1920年代にド・ブロイによって発展させられたが、1927年に彼は説得されて当時主流だったコペンハーゲン解釈を支持し、この理論を放棄した。当時の正統派の解釈に満足しなかったデイヴィッド・ボームは、1952年にド・ブロイのパイロット波理論を再発見した。ボームの提案は当時広く受け入れられなかったが、その理由の一部はボームが若かった頃の共産主義者であったことなど、理論の内容とは関係のない理由によるものだった。^[82]ド・ブロイ＝ボーム理論は主流の理論家から広く受け入れられないとみなされたが、その主な理由はその明確な非局所性であった。この理論について、 1964年のベルの定理の著者であるジョン・スチュワート・ベルは1982年に次のように書いている。

ボームは、非相対論的波動力学にパラメータを導入する方法を明示的に示し、それによって非決定論的記述を決定論的記述に変換できることを示しました。さらに重要なのは、私の意見では、正統派バージョンの主観性、つまり「観察者」への必要な参照を排除できることです。...

しかし、ではなぜボルンはこの「パイロット波」について私に教えてくれなかったのか？ 何が間違っているのかを指摘するためだけに？ なぜフォン・ノイマンはそれを考慮しなかったのか？ もっと驚くべきことに、なぜ人々は1952年以降、そしてつい最近の1978年まで「不可能」の証明を出し続けたのか？... なぜパイロット波図は教科書で無視されているのか？ 唯一の方法としてではなく、蔓延している自己満足に対する解毒剤として教えるべきではないのか？ 曖昧さ、主観性、不確定性は実験事実によって強制されるのではなく、意図的な理論的選択によって強制されるのだと示すためなのか？^[83]

1990年代以降、スピンや曲がった空間幾何学などの他の特徴に加えて、特殊相対論や量子場の理論と調和させようとする試みとして、ド・ブロイ・ボーム理論の拡張を定式化することに新たな関心が寄せられている。^[84]

ド・ブロイ・ボーム理論には、さまざまな定式化と名前の歴史があります。このセクションでは、各段階に名前と主な参照が与えられています。

ルイ・ド・ブロイは、1927年のソルヴェイ会議でパイロット波理論を発表した^{[85] 。 [要出典]}は、ド・ブロイの理論に対する波動方程式を開発したシュレーディンガーとの緊密な協力の末のことである。^[要説明]発表の最後に、ヴォルフガング・パウリは、この理論はフェルミが非弾性散乱の場合に以前に採用した半古典的な手法とは互換性がないことを指摘した。一般に信じられている伝説とは反対に、ド・ブロイは、この特定の手法はパウリの目的には一般化できないという正しい反論を実際に行ったが、聴衆は技術的な詳細に混乱していた可能性があり、ド・ブロイの穏やかな態度はパウリの反論が正当であるかのような印象を与えた。それでも彼は、最終的には「[この理論が]引き起こした批判に落胆した」ため、この理論を放棄するよう説得された。^[86]ド・ブロイの理論は既に多重スピン粒子に適用されていたが、当時は量子デコヒーレンスを理解した人がいなかったため、適切な測定理論が欠けていた。ド・ブロイの発表の分析はバッチャガルッピら^{[要説明]に記載されている。 [87] [88]}また、1932年にジョン・フォン・ノイマンは著書「量子力学の数学的基礎」で隠れた変数がない証明を発表し^[89]、これは隠れた変数理論はすべて不可能であることを証明していると広く信じられていた。^[90]これにより、次の20年間のド・ブロイ理論の運命が決定づけられた。

1926年、エルヴィン・マデルングはシュレーディンガー方程式の流体力学版を開発したが、これは誤ってド・ブロイ・ボーム理論の密度流導出の基礎とみなされている^{[要出典] 。 [91]}マデルング方程式は流体力学のオイラー方程式の量子アナログであり、ド・ブロイ・ボーム力学^[92]とは哲学的に異なり、量子力学の 確率論的解釈の基礎となっている。

ピーター・R・ホランドは、1927年の初めにアインシュタインが実際に同様の提案のプレプリントを提出したが、納得できず出版前に撤回したと指摘している。^[93]ホランドによると、ド・ブロイ・ボーム理論の重要な点を理解しなかったことが混乱を招いた。重要な点は、「多体系の量子系の軌道が相関するのは、粒子が互いに直接力を及ぼすからではなく（クーロンのように）、すべての粒子が、それらの向こう側にある波動関数またはその関数によって数学的に記述される実体によって作用されるからである」ということである。^[94]この実体が量子ポテンシャルである。

コペンハーゲン正統派に完全に従った人気の教科書『量子論』を出版した後、ボームはアインシュタインに説得されて、フォン・ノイマンの隠れた変数なしの証明を批判的に検討した。その結果が『「隠れた変数」I および II による量子論の提案された解釈』[ボーム 1952] である。これはパイロット波理論とは独立して生まれたものであり、一貫した測定理論を組み込むためにそれを拡張し、ド・ブロイが適切に対応しなかったパウリの批判に対処した。これは決定論的であるとみなされている (ただし、ボームは元の論文で、ブラウン運動がニュートン力学を乱すのと同じように、これに乱れがあるはずだと示唆している)。この段階はベルの研究[Bell 1987]ではド・ブロイ・ボーム理論として知られており、「運動の量子理論」[Holland 1993]の基礎となっている。

このステージは複数のパーティクルに適用され、決定論的です。

ド・ブロイ・ボーム理論は隠れた変数理論の一例である。ボームは当初、隠れた変数が、シュレーディンガーの猫、測定問題、波動関数の崩壊など、量子力学の多くのパラドックスを解決または排除する局所的、因果的、客観的な記述を提供できると期待していた。しかし、ベルの定理により、量子力学の予測と互換性のある局所的な隠れた変数理論は存在しないことが示され、この期待は複雑になっている。ボーム解釈は因果的だが局所的ではない。

ボームの論文は、他の物理学者からほとんど無視されるか酷評された。当時主流だったコペンハーゲン理論に代わる現実的なアプローチを探すようボームに提案したアルバート・アインシュタインは、ボームの解釈が量子非局所性の問題に対する満足のいく答えであるとは考えず、「安易すぎる」と呼んだ。 ^[95]一方、ヴェルナー・ハイゼンベルクは、それを「余計な「イデオロギー的上部構造」」と考えた。^{[96] 1927年にド・ブロイに納得できなかった}ヴォルフガング・パウリは、次のようにボームに譲歩した。

私はちょうど11月20日付けのあなたの長い手紙を受け取りました。また、あなたの論文の詳細を徹底的に研究しました。あなたの結果が通常の波動力学の結果と完全に一致し、測定装置と観測システムの両方であなたの隠れたパラメータの値を測定する手段が与えられていない限り、論理的な矛盾の可能性はもはや見当たりません。現状では、あなたの「波動力学の予測外」は依然として小切手であり、換金できません。^[97]

彼はその後ボームの理論を「人工的な形而上学」と表現した。^[98]

物理学者マックス・ドレスデンによれば、ボームの理論がプリンストン高等研究所で発表された際、反対意見の多くは人身攻撃的なもので、下院非米活動委員会での証言を拒否したことに象徴されるボームの共産主義者への共感に焦点を当てたものであった。^[99]

1979年、クリス・フィリピディス、クリス・デュードニー、バジル・ハイリーは、量子ポテンシャルに基づいて数値計算を行い、粒子の軌道の集合を推測した最初の人物でした。^{[100] [101]}彼らの研究は、量子物理学のボーム解釈に対する物理学者の関心を新たにしました。^[102]

最終的にジョン・ベルがこの理論を擁護し始めた。「量子力学における語れることと語れないこと」[ベル 1987]では、いくつかの論文で隠れた変数の理論(ボームの理論を含む)に言及している。

特定の実験配置で得られるボームモデルの軌跡は、一部の人々から「超現実的」と呼ばれた。^{[103] [104]} 2016年、数理物理学者シェルドン・ゴールドスタインはボームの理論について次のように述べた。「異端であったため、それについて話すことさえできなかった時代がありました。おそらく今でもボームの理論に取り組むことは物理学者としてのキャリアにとって致命傷となるでしょうが、それは変わりつつあるのかもしれません。」^[60]

ボーミアン力学は同じ理論だが、電流の流れの概念に重点が置かれており、これは確率がボルンの規則に従うという量子平衡仮説に基づいて決定される。 ^{[出典が必要]}「ボーミアン力学」という用語は、スピンのないボームのバージョンを超えるさらなる拡張のほとんどを含めるためにもよく使用される。^{[出典が必要]}ド・ブロイ-ボーム理論では、量子ポテンシャルのアイコンとともに、ラグランジアンおよびハミルトン-ヤコビ方程式が主要な焦点および背景であるのに対し、ボーミアン力学では連続方程式が主要なものとみなされ、ガイド方程式がそのアイコンとなっている。ハミルトン-ヤコビ定式化、すなわちスピンのない粒子が適用される限り、これらは数学的に同等である。

この理論では、非相対論的量子力学のすべてが十分に説明できる。最近の研究では、この形式論を使用して多体量子システムの進化を計算しており、他の量子ベースの方法と比較して速度が大幅に向上している。^[105]

ボームは独自のアイデアを展開し、それを因果的解釈と呼んだ。後に彼は因果的という表現が決定論的すぎると感じ、自分の理論を存在論的解釈と呼ぶことを好んだ。主な参考文献は「分割されていない宇宙」(ボーム、ハイリー、1993) である。

この段階では、ボームとジャン＝ピエール・ヴィジエ、バジル・ハイリーとの共同研究が取り上げられます。ボームは、この理論が非決定論的であることを明確にしています (ハイリーとの共同研究には確率論が含まれています)。したがって、この理論は厳密に言えばド・ブロイ・ボーム理論の定式化ではありませんが、「ボーム解釈」という用語がこの理論とド・ブロイ・ボーム理論の間で曖昧であるため、ここで言及する価値があります。

1996年に科学哲学者 アーサー・ファイン氏は、1952年のボームのモデルの解釈の可能性について詳細な分析を行った。^[106]

ウィリアム・シンプソンは、ボーム力学の形態学的解釈を提唱しており、宇宙は物質粒子と実質的な形態からなるアリストテレス的な実体であるとしている。波動関数は粒子の軌道を振り付ける上での配置的役割を担っている。^[107]

^{クーダーとフォート（2006） [108] [109]}の研究に始まる量子力学の流体力学的類似物に関する実験は、マクロな古典的なパイロット波が、これまで量子領域に限定されていると考えられていた特性を示す可能性があることを示したとされている。流体力学的パイロット波類似物は、二重スリット実験、トンネル効果、量子化軌道、およびパイロット波理論への関心の復活につながった他の多くの量子現象を再現すると主張されている。^{[110] [111] [112]類似物は}ファラデー波 と比較されてきた。^[113] これらの結果には異論があり、実験では二重スリット実験の側面を再現できなかった。^{[114] [115]}トンネル効果の場合の高精度測定は、予測不可能な交差の別の原因を示している。初期位置の不確実性や環境ノイズではなく、障壁での相互作用が関係していると思われる。^[116]

もう一つの古典的な類似例としては、表面重力波が報告されている。^[117]

1992年、エングラート、スカリー、サスマン、ワルサーは、ボームの軌道とは異なる軌道をとる粒子を示す実験を提案した。^[103]彼らはボームの軌道を「超現実的」と表現し、彼らの提案は後に著者の姓にちなんでESSWと呼ばれるようになった。^[123] 2016年、マーラーらはESSWの予測を検証した。しかし彼らは、超現実的効果はボームの理論に内在する非局所性の結果であると提案している。^{[123] [124]}

• マデルング方程式
• 局所隠れ変数理論
• 超流動真空理論
• 量子力学における流体類似体
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