長方形のポテンシャル障壁

量子力学では、 長方形（または、時には正方形）のポテンシャル障壁は、波動力学的トンネル効果（「量子トンネル効果」とも呼ばれる）および波動力学的反射の現象を示す標準的な 1 次元の問題です。この問題は、長方形のポテンシャルエネルギー障壁に遭遇する粒子について、時間に依存しない 1 次元のシュレーディンガー方程式を解くことから成ります。通常、ここでのように、自由粒子は障壁の左側から衝突すると 想定されます。

古典的には質点として振舞う粒子はエネルギーが 未満であれば反射されますが、実際に物質波として振舞う粒子は障壁を透過して反対側で波として移動を続ける確率がゼロではありません。古典波動物理学では、この効果はエバネッセント波結合として知られています。粒子が障壁を通過する可能性は透過係数によって与えられ、反射される可能性は反射係数によって与えられます。 シュレーディンガーの波動方程式を使用すると、これらの係数を計算できます。 ${\displaystyle V_{0}}$

波動関数に対する時間に依存しないシュレーディンガー方程式は次のように表される。 ここで、はハミルトニアン、は（縮小） プランク定数、は 粒子の 質量、はエネルギー、 は高さと幅 の障壁ポテンシャルである。 はヘビサイドのステップ関数、すなわち、 ${\displaystyle \psi (x)}$$${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (xa)]}$$${\displaystyle V_{0}>0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}}$$

障壁はと の間にあります。 障壁は、結果を変えずに任意の位置に移動できます。 ハミルトニアンの最初の項は運動エネルギーです。 ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x}$${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

障壁は空間を3つの部分に分割します（）。これらの部分のいずれにおいても、ポテンシャルは一定であり、粒子は準自由であることを意味し、シュレーディンガー方程式の解は左向きと右向きに動く波の重ね合わせとして表すことができます（自由粒子を参照）。 ここで、波数はエネルギーと次のように関係しています。 ${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$${\displaystyle E>V_{0}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

係数のインデックスと は速度ベクトルの方向を示します。粒子のエネルギーが障壁の高さより低い場合、は虚数になり、波動関数は障壁内で指数関数的に減少することに注意してください。ただし、この場合、波はもはや伝播しませんが、表記法はそのままにします。ここでは と仮定しました。このケースについては以下で説明します。 ${\displaystyle r/l}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle r/l}$${\displaystyle E\neq V_{0}}$${\displaystyle E=V_{0}}$

係数は、およびにおける波動関数の境界条件から見つけなければならない。波動関数とその導関数はどこでも連続でなければならないので、 ${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

波動関数を挿入すると、境界条件は係数に次のような制限を与える。

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$ $${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$ $${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$ $${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}$$

この時点で、状況を古典的なケースと比較することは有益です。どちらの場合も、粒子は障壁領域の外側では自由粒子として動作します。障壁の高さよりも大きいエネルギーを持つ古典的な粒子は常に障壁を通過し、障壁に入射する古典的な粒子は常に反射されます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle E<V_{0}}$

量子の場合を研究するために、次の状況を考えてみましょう：障壁の左側（）から粒子が入射します。${\displaystyle A_{r}}$この粒子は反射されるか（） 、透過される${\displaystyle A_{l}}$（）可能性があります。${\displaystyle C_{r}}$

左から入射した場合の反射と透過の振幅を求めるには、上記の式に(入射粒子)、(反射)、(右から入射粒子なし)、 (透過) を代入します。次に、式から係数を消去し、およびを解きます。${\displaystyle A_{r}=1}$${\displaystyle A_{l}=r}$${\displaystyle C_{l}=0}$${\displaystyle C_{r}=t}$${\displaystyle B_{l},B_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$

結果は次のとおりです。

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$ $${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

モデルの鏡映対称性により、右からの入射の振幅は左からの入射の振幅と同じになります。これらの式は任意のエネルギー、に対して成り立つことに注意してください。の場合、となるため、これらの式の両方に特異点があります。 ${\displaystyle E>0}$ ${\displaystyle E\neq V_{0}}$${\displaystyle E=V_{0}}$${\displaystyle k_{1}=0}$

驚くべき結果は、障壁の高さより低いエネルギーでは、ゼロではない確率があるという ことだ。${\displaystyle E<V_{0}}$$${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}$$

粒子が障壁を通過するには、 が必要です。この効果は、古典的な場合とは異なり、量子トンネル効果と呼ばれます。透過は障壁の幅とともに指数関数的に抑制されますが、これは波動関数の関数形式から理解できます。障壁の外側では波動ベクトル で振動しますが、障壁の内側では距離 にわたって指数関数的に減衰します。障壁がこの減衰長よりもはるかに広い場合は、左側と右側の部分が事実上独立しており、結果としてトンネル効果が抑制されます。 ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle 1/k_{1}}$

この場合 、.$${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}},}$$${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

同様に驚くべきことは、障壁の高さよりも大きいエネルギーの場合、粒子は障壁からゼロではない確率で反射される可能性があることである。 ${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle R=|r|^{2}=1-T.}$$

透過確率と反射確率は、実際には とともに振動しています。反射のない完全な透過 ( 、) の古典的な結果は、高エネルギーの極限だけでなく、エネルギーと障壁幅が を満たす場合にも再現されます(上図の および 1.8 付近のピークを参照)。記載されている確率と振幅は、障壁高さを超える/下回る任意のエネルギーに対するものであることに注意してください。 ${\displaystyle k_{1}a}$${\displaystyle T=1}$${\displaystyle R=0}$${\displaystyle E\gg V_{0}}$${\displaystyle k_{1}a=n\pi }$${\displaystyle n=1,2,\dots }$${\displaystyle E/V_{0}=1.2}$

における伝播確率は^[1]である。${\displaystyle E=V_{0}}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.}$$

この式は、他の場合と同様に上記の定数から透過係数を計算するか、またはに近づくにつれて の限界を取ることによって得ることができる。この目的のために、比率 ${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle x={\frac {E}{V_{0}}}}$$

が定義されており、関数内で使用されます: ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{\sqrt {1-x}}}}$$

最後の式は次のように定義されます。 ${\displaystyle v_{0}}$

$${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$$

これらの定義は、 の場合に得られた の式に挿入できます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle E<V_{0}}$

$${\displaystyle T(x)={\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}}$$

さて、xが1に近づくときの極限を計算すると（ロピタルの定理を使用）、 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{(1-x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{{\frac {d}{dx}}{\sqrt {1-x}}}}=v_{0}\cosh(0)=v_{0}}$

が 1 に近づくときの極限も得られます。 ${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}T(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{0}^{2}}{4}}}}}$

上記の式を限界の評価値に代入すると、上記の T の式が正常に再現されます。 ${\displaystyle v_{0}}$

上記の計算は、一見非現実的でほとんど役に立たないように思えるかもしれません。しかし、これはさまざまな現実のシステムに適したモデルであることが証明されています。その一例は、2 つの導電性材料間のインターフェースです。材料の大部分では、電子の運動は準自由であり、有効質量 を持つ上記のハミルトニアンの運動項で説明できます。多くの場合、このような材料の表面は酸化物層で覆われていたり、他の理由で理想的ではありません。この薄い非導電性層は、上記のようにバリア電位でモデル化できます。すると、電子が 1 つの材料から別の材料にトンネルして、電流が発生します。 ${\displaystyle m}$

走査トンネル顕微鏡(STM)の動作は、このトンネル効果に依存しています。この場合、障壁は STM の先端と下にある物体の間の隙間によって生じます。トンネル電流は障壁の幅に指数関数的に依存するため、このデバイスは検査対象のサンプルの高さの変化に非常に敏感です。

上記のモデルは 1 次元ですが、空間は 3 次元です。シュレーディンガー方程式は 3 次元で解く必要があります。一方、多くのシステムは 1 つの座標方向に沿ってのみ変化し、他の方向に沿っては並進不変です。つまり、それらは分離可能です。シュレーディンガー方程式は、ここで検討しているタイプの波動関数の仮定によって簡約できます。 ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$

関連する別の障壁モデルについては、有限ポテンシャル障壁の特殊なケースと見なすことができるデルタポテンシャル障壁 (QM)を参照してください。この記事のすべての結果は、定数を維持しながら限界を取ることでデルタポテンシャル障壁にすぐに適用されます。 ${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$

• モールス信号/長距離通信の可能性
• ステップポテンシャル
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• グリフィス、デイビッド・J. (2004)。量子力学入門（第2版）。プレンティス・ホール。ISBN 0-13-111892-7。
• コーエン・タンヌージ、クロード。ディウ、バーナード。ラロエ、フランク。他。 （1996年）。量子力学。翻訳。スーザン・リード・ヘムリーによるフランス語より。ワイリー・インターサイエンス: ワイリー。 231–233ページ。ISBN 978-0-471-56952-7。