クリスタルの勢い

固体物理学において、結晶運動量または準運動量は、結晶格子内の電子に関連する運動量のようなベクトルである。^[2]それは、この格子に 関連する波数ベクトルによって定義され、 ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\mathbf {p} }_{\text{結晶}}\equiv \hbar {\mathbf {k} }}$

（ここでは、簡約され^たプランク定数である^）。^{[3] ：139} 多くの場合^、結晶の運動量は機械的運動量と同様に保存されるため、物理学者や材料科学者にとっては分析ツールとして有用である。 ${\displaystyle \hbar}$

結晶構造と挙動をモデル化する一般的な方法は、電子を固定された無限周期ポテンシャルを通過する量子力学的粒子と見なすことである。 ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle V({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=V({\mathbf {x} }),}$

ここで、は任意の格子ベクトルである。このようなモデルは、格子構造を形成する結晶イオンが通常電子の何万倍もの質量を持つため^[4] 、固定されたポテンシャル構造に置き換えても安全であり、結晶のマクロな寸法が通常単一の格子間隔よりもはるかに大きいためエッジ効果は無視できるため、理にかなっている。このポテンシャルエネルギー関数の結果、問題のいかなる側面も変更せずに、電子の初期位置を任意の格子ベクトルだけシフトすることが可能であり、それによって離散対称性が定義される。技術的には、無限周期ポテンシャルは、格子変換演算子がハミルトニアンと交換可能であることを意味し、単純な運動論的プラスポテンシャル形式を仮定する。^{[3] : 134}${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle T(a)}$

これらの条件は、ブロッホの定理を意味し、

${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} } }({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$、

あるいは、格子内の電子は単一粒子の波動関数としてモデル化することができ、その定常解は平面波に周期関数を乗じた形で得られる。この定理は、格子対称性変換演算子がシステムのハミルトニアンと交換するという前述の事実の直接的な結果として生じる。^{[3] : 261–266  [5]}${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$

ブロッホの定理の注目すべき点の 1 つは、定常解が波数ベクトルと同一視できることを直接示していることです。つまり、この量子数は運動の定数のままです。結晶の運動量は、通常、この波数ベクトルにプランク定数を掛けて定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\mathbf {p} }_{\text{結晶}}=\hbar {\mathbf {k} }.}$

これは、実際には通常の運動量に与えられる定義と同一であるが（例えば、自由空間内の粒子の効果による並進演算子の効果を扱うことによって^[6]）、重要な理論的違いがある。例えば、通常の運動量は完全に保存されるが、結晶運動量は格子ベクトル内でのみ保存される。例えば、電子は波動ベクトルだけでなく、他の波動ベクトルでも記述することができ、 ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {k} '}$

${\displaystyle \mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K} ,}$

ここで、は任意の逆格子ベクトルである。^{[3] ：218}これは、格子対称性が連続的ではなく離散的であるという事実の結果であり、したがって、それに関連する保存則はノイマンの定理を使用して導くことができない。 ${\displaystyle \mathbf {K} }$

ブロッホ状態 の位相変調は、運動量を持つ自由粒子の変調と同じであり、つまり、格子の周期性とは異なる状態の周期性を与えます。この変調は粒子の運動エネルギーに寄与します（一方、変調は自由粒子の運動エネルギーに完全に関与します）。 ${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} } }({\mathbf {x} })}$${\displaystyle \hbar k}$${\displaystyle k}$

バンドがほぼ放物線状の領域では、放物線の曲率に関連する 有効質量を粒子に割り当てると、結晶の運動量は運動量を持つ自由粒子の運動量に等しくなります。${\displaystyle \hbar k}$

^{結晶運動量は[3]}によれば物理的に測定可能な速度の概念に対応する^：141

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}( {\mathbf {k} }).}$

これは波の群速度と同じ式です。より具体的には、ハイゼンベルクの不確定性原理により、結晶内の電子は、正確に定義されたkと結晶内の正確な位置の両方を持つことはできません。ただし、運動量k (わずかな不確定性あり)を中心とし、特定の位置 (わずかな不確定性あり) を中心とする波束を形成することはできます。この波束の中心位置は、波が伝播し、上記の式で与えられる速度vで結晶内を移動するにつれて変化します。実際の結晶では、電子はこのように、つまり特定の方向に特定の速度で移動する間、結晶内の欠陥に衝突して別のランダムな方向に移動するまで、ほんの短い時間しか動きません。これらの衝突は電子散乱と呼ばれ、結晶学的欠陥、結晶表面、および結晶内の原子のランダムな熱振動 (フォノン)によって最も一般的に発生します。 ^{[3] : 216}

結晶運動量は電子動力学の半古典的モデルにおいても重要な役割を果たしており、加速定理^{[7] [8]}から結晶運動量は運動方程式（CGS単位）に従うことがわかる。^{[3] : 218}

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}( {\mathbf {k} }),}$

${\displaystyle {\mathbf {\dot {p}} }_{\text{結晶}}=-e\left({\mathbf {E} }-{\frac {1}{c}}{\mathbf {v} }\times {\mathbf {H} }\right)}$

ここで、結晶運動量と真運動量の類似性が最も強力であると考えられます。なぜなら、これらは結晶構造がない場合に自由空間の電子が従う方程式とまったく同じだからです。結晶運動量は、これらのタイプの計算でも活躍します。なぜなら、上記の方程式を使用して電子の運動軌道を計算するには、外部場を考慮するだけでよいのに対し、真運動量に基づく一連の運動方程式から計算を試みるには、外部場に加えて、格子イオンごとのクーロン力とローレンツ力を個別に考慮する必要があるからです。

角度分解光電子分光法（ARPES）では、結晶サンプルに光を照射すると、結晶から電子が放出されます。相互作用の過程を通じて、結晶と真の運動量の2つの概念を融合することができ、結晶のバンド構造に関する直接的な知識を得ることができます。つまり、結晶内の電子の結晶運動量は、結晶を離れた後に真の運動量になり、真の運動量はその後、次の式から推測できます。

${\displaystyle {\mathbf {p_{\Parallel }} }={\sqrt {2mE_{\text{kin}}}}\sin \theta }$

電子が結晶から出る角度と運動エネルギーを測定することによって、ここで は単一電子の質量である。結晶表面に垂直な方向の結晶対称性は結晶境界で失われるため、この方向の結晶運動量は保存されない。その結果、有用な ARPES データを収集できる方向は、結晶表面に平行な方向のみである。^[9]${\displaystyle m}$