連続方程式

連続方程式または輸送方程式は、ある量の輸送を記述する方程式です。保存量に適用すると特に単純かつ強力ですが、一般化して任意の広がりのある量に適用できます。質量、エネルギー、運動量、電荷、およびその他の自然量は、それぞれの適切な条件下で保存されるため、さまざまな物理現象を連続方程式を使用して記述できます。

連続方程式は、より強力で局所的な形の保存則です。たとえば、エネルギー保存の法則の弱いバージョンでは、エネルギーは生成も破壊もされない、つまり宇宙のエネルギーの総量は一定であると述べられています。この記述は、ある量のエネルギーが一点から消えると同時に別の点に現れる可能性を排除するものではありません。より強力な記述は、エネルギーは局所的に保存されるというものです。エネルギーは生成も破壊もされず、ある場所から別の場所へ「テレポート」することもできません。エネルギーは連続的な流れによってのみ移動できます。連続方程式は、この種の記述を表現する数学的な方法です。たとえば、電荷の連続方程式では、任意の空間体積内の電荷の量は、その境界を通ってその体積に出入りする電流の量によってのみ変化できると述べられています。

より一般的には、連続方程式には「ソース」項と「シンク」項を含めることができます。これにより、化学反応によって生成または破壊される分子種の密度など、保存されることは多いが常に保存されるとは限らない量を記述できます。日常的な例では、生存者の数を表す連続方程式があります。この方程式には、生まれる人を表す「ソース項」と、死ぬ人を表す「シンク項」があります。

任意の連続方程式は、任意の有限領域に適用される「積分形式」（フラックス積分の観点から）で表現することも、点に適用される「微分形式」（発散演算子の観点から）で表現することもできます。

連続方程式は、対流拡散方程式、ボルツマン輸送方程式、ナビエ・ストークス方程式などのより具体的な輸送方程式の基礎となります。

連続方程式によって支配される流れは、サンキー図を使用して視覚化できます。

一般的な方程式

フラックスの定義

連続方程式は、フラックスを定義できるときに役立ちます。フラックスを定義するには、まず、質量、エネルギー、電荷、運動量、分子数など、流れたり移動したりできる量 $qが必要です。ρ$ $を$ この量の体積密度、つまり単位体積あたりの $qの量とします。$

$この量q$ の流れ方は、そのフラックスによって記述されます。 $q$ のフラックスはベクトル場であり、 jで表されます。フラックスの例と特性をいくつか示します。

フラックスの次元は、「単位時間あたり、単位面積を流れる量 $q$ ^{」です。たとえば、流水の質量連続方程式では、断面積が 1 cm 2}のパイプを 1 秒あたり 1 グラムの水が流れる場合、パイプ内の平均質量フラックス $j は$ (1 g/s) / cm ²となり、その方向は水が流れる方向のパイプに沿っています。パイプの外側、つまり水がない場所では、フラックスはゼロです。
関連する流れを記述する速度場 $u$ がある場合、言い換えれば、点 $xにおけるすべての量$ $q が$ 速度 $u$ $($ $x$ $)$ で移動している場合、フラックスは定義により密度と速度場の積に等しくなります。

\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}

たとえば、流水の質量連続方程式で、

u が

各点における水の速度、

ρ が

各点における水の密度である場合、

j は

質量流束、つまり物質排出量になります。

よく知られている例では、電荷の流れは電流密度です。

$仮想面S$ がある場合、 $S$ 上の磁束の表面積分は、単位時間あたりに面 $S を$ 通過する $q$ の量に等しくなります。

$({\text{Rate that }}q{\text{ is flowing through the imaginary surface }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

ここでは面積分です。

{\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }

(ここで「フラックス」と呼ばれている概念は、一部の文献ではフラックス密度とも呼ばれており、その文脈では「フラックス」はフラックス密度の面積分を表します。詳細については、フラックスに関するメイン記事を参照してください。)

積分形式

連続方程式の積分形式は次のようになります。

領域内の $q$ の量は、追加の $q が$ 領域の表面を通って内側に流れると増加し、外側に流れると減少します。
領域内の $q$ の量は、領域内に新しい $q$ が作成されると増加し、 $q$ が破壊されると減少します。
これら 2 つのプロセス以外に、領域内の $q$ の量を変更する方法はありません。

数学的には、体積 $V内の$ $q$ の増加率を表す連続方程式の積分形式は次のようになります。

${\frac {dq}{dt}}+\oint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

連続方程式の積分形式では、 $S は$ 左側のサーフェスのいずれかのように、体積 $V を$ 完全に囲む任意の閉じたサーフェスです。 $S は、$ 右側のサーフェスのように境界を持つサーフェスにすることはでき*ません*。(サーフェスは青、境界は赤です。)

どこ

$S は$ 体積 $V を$ 囲む任意の仮想閉曲面であり、
$\oint _{S}d\mathbf {S}$ は、その閉曲面上の面積分を表す。
$q は体積$ $V$ 内の量の合計であり、
$j は$ $q$ のフラックスであり、
$それは$ 時間です、
$Σ は、$ 単位時間あたりに体積 $V内で$ $q$ が生成される正味の速度です。 $q$ が生成されるとき、それは $q$ のソースと呼ばれ、 $Σ を$ より正にします。 $qが破壊されるとき、それは$ $q$ のシンクと呼ばれ、 $Σ を$ より負にします。この項は、または制御体積内での生成または破壊からの q の総変化と記述されることもあります。 $dq/dt|_{\text{gen}}$

簡単な例として、 $V は$ 建物、 $q は$ 建物内の人数です。表面 $S は$ 、建物の壁、ドア、屋根、および基礎で構成されます。連続方程式は、建物内に人が入ると建物内の人数が増加し (表面を通る内向きのフラックス)、建物から出ると減少し (表面を通る外向きのフラックス)、建物内で誰かが出産すると増加し (ソース、 $Σ > 0$ )、建物内で誰かが死亡すると減少します (シンク、 $Σ < 0$ ) と示しています。

微分形式

発散定理により、一般的な連続方程式は「微分形式」でも表すことができます。

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

どこ

$\nabla\cdotは$ 発散であり、
$ρは$ 量 $q$ の密度（つまり単位体積あたりの量 $q$ ）である。
$j は$ $q$ の磁束密度（つまりj = ρ v、ここでv は量 $q$ の動きを表すベクトル場）である。
$それは$ 時間です、
$σ は単位時間あたり単位体積あたりの$ $q$ の生成です $。qを$ 生成する項(つまり、 $σ > 0$ ) または $q$ を除去する項(つまり、 $σ < 0 ) は、それぞれ$ ソースとシンクと呼ばれます。

この一般的な方程式は、体積連続方程式のような単純なものからナビエ・ストークス方程式のような複雑なものまで、あらゆる連続方程式を導くために使用できます。この方程式は、移流方程式も一般化します。ガウスの電場の法則やガウスの重力の法則など、物理学の他の方程式は、連続方程式と数学的に類似した形式を持ちますが、これらの場合の $j は$ 実際の物理量の流れを表していないため、通常は「連続方程式」という用語では参照されません。

$q が$ 生成も破壊もできない保存量（エネルギーなど）である場合、 $σ = 0$ となり、方程式は次のようになります。 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

電磁気

電磁気理論において、連続方程式は（局所的な）電荷保存を表す経験法則である。数学的にはマクスウェル方程式の自動的な帰結であるが、電荷保存はマクスウェル方程式よりも基本的である。電流密度 $J$ （アンペア/平方メートル）の発散は、電荷密度 $ρ$ （クーロン/立方メートル）の負の変化率に等しいと述べている。 $\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

マクスウェル方程式との整合性

マクスウェル方程式の一つ、アンペールの法則（マクスウェル補正あり）は、 $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

両辺の発散（時間交換における発散と偏微分）をとると、次の式が得られる。しかし回転の発散はゼロなので、 $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},$ $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.$

しかし、ガウスの法則（別のマクスウェル方程式）は、前の式に代入して連続方程式を得ることができると述べています。 $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,$ $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

電流は電荷の動きです。連続方程式によれば、電荷が差分体積から移動する場合 (つまり、電流密度の発散が正の場合)、その体積内の電荷量は減少するため、電荷密度の変化率は負になります。したがって、連続方程式は電荷の保存則に相当します。

磁気単極子が存在する場合、単極子電流にも連続方程式が存在するはずです。背景と電流と磁気電流の二重性については、単極子の記事を参照してください。

流体力学

流体力学では、連続方程式は、質量がシステムに入る速度は、質量がシステムから出る速度とシステム内の質量の蓄積の合計に等しいと述べている。^[1]^[2] 連続方程式の微分形式は次の通りである。^[1] ここで ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

$ρは$ 流体の密度であり、
$それは$ 時間です、
$uは$ 流速ベクトル場です。

時間微分はシステム内の質量の蓄積（または損失）として理解でき、発散項は流入と流出の差を表します。この文脈では、この方程式はオイラー方程式（流体力学）の 1 つでもあります。ナビエ-ストークス方程式は、線形運動量の保存を記述するベクトル連続方程式を形成します。

流体が非圧縮性（体積ひずみ率がゼロ）の場合、質量連続方程式は体積連続方程式に簡略化されます：^{[3]これは、速度場の} 発散がどこでもゼロであることを意味します。物理的には、これは局所的な体積膨張率がゼロであると言うことと同等であり、したがって、水は大部分が非圧縮性であるため、収束パイプを通る水の流れは速度の増加によってのみ調整されます。 $\nabla \cdot \mathbf {u} =0,$

コンピュータービジョン

コンピュータビジョンにおいて、オプティカルフローとは、視覚シーンにおける物体の見かけの動きのパターンである。移動する物体の明るさが2つの画像フレーム間で変化していないという仮定の下で、オプティカルフロー方程式を次のように導くことができる。^[要出典] ここで ${\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0$

$それは$ 時間です、
画像内の $x$ $、$ $y座標、$
$I は$ $画像座標(x, y)$ と時刻 $t$ における画像強度であり、
$Vは$ 画像座標 $（$ $x$ $、$ $y$ $）$ と時刻 $t$ における光学フロー速度ベクトルである $(V_{x},V_{y})$

エネルギーと熱

エネルギー保存則によれば、エネルギーは生成も破壊もされない。（一般相対性理論に関するニュアンスについては下記を参照。）したがって、エネルギーの流れには連続方程式がある。ここで ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$

$u$ 、局所エネルギー密度（単位体積あたりのエネルギー）、
$q$ 、エネルギーフラックス（単位断面積当たりの単位時間当たりのエネルギー伝達）をベクトルとして、

重要な実用的な例としては、熱の流れがあります。固体内部に熱が流れる場合、連続の方程式をフーリエの法則（熱流束は温度勾配に比例する）と組み合わせると、熱方程式が得られます。熱流の方程式には、ソース項が含まれる場合もあります。エネルギーは生成も破壊もできませんが、摩擦やジュール熱など、他の種類のエネルギーから熱を生成することができます。

確率分布

ブラウン運動による単一の溶解分子の位置のように、確率的（ランダム）プロセスに従って連続的に移動する量がある場合、その確率分布の連続方程式が存在します。この場合のフラックスは、粒子が表面を通過する単位面積あたり単位時間あたりの確率です。連続方程式によると、このフラックスの負の発散は、確率密度の変化率に等しくなります。連続方程式は、分子が常にどこかにあり（その確率分布の積分は常に 1 に等しい）、連続的な動き（テレポートなし）によって移動しているという事実を反映しています。

量子力学

量子力学は、確率の保存に関連する連続方程式が存在する別の分野です。この方程式の用語には次の定義が必要であり、上記の他の例よりも少しわかりにくいため、ここで概要を説明します。

位置空間（運動量空間ではなく）における単一粒子の波動関数 Ψ $、$ つまり位置 $r$ と時間 $t$ の関数、 $Ψ = Ψ($ $r$ $,$ $t$ $)$ 。
確率密度関数は $\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$
$t$ において $V$ 内で粒子が見つかる確率は次のように表され定義される。 $P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$
確率流（確率フラックス）は $\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$

これらの定義により、連続性方程式は次のようになります。 $\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.$

どちらの形式でも引用できます。直感的に、上記の量はこれが確率の流れを表していることを示しています。ある位置 $r$ と時間 $t$ で粒子が見つかる確率は流体のように流れます。そのため、確率流、つまりベクトル場と呼ばれます。粒子自体はこのベクトル場内を決定論的に流れるわけではありません。

シュレーディンガー方程式との整合性

時間依存シュレーディンガー方程式とその複素共役（全体を通して $i \to - i$ ）はそれぞれ次の通りである：^[4] ここで $U$ はポテンシャル関数である。ρの $t$ に関する偏微分は次 $の$ ように表される： ${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}$ ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.$

シュレーディンガー方程式に $Ψ*を掛けて$ $Ψ*$ を解く $⁠$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}∂Ψ/∂t ...⁠$ 、同様に複素共役シュレーディンガー方程式に $Ψを掛けて$ $Ψ$ ⁠について解く $。$ $\partialΨ* / \partialt ... ⁠$ ; ${\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}$

$ρ$ の時間微分に代入すると： ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}$

上記の結果のラプラシアン演算子( $\nabla$ $2$ ) は、右辺が $j$ の発散であることを示唆しており、項の順序が逆になっていることから、全体としてj の負であることが示唆されています。したがって、連続方程式は次のようになります $。$ ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}$

積分形式は一般方程式と同様です。

半導体

半導体内の全電流の流れは、伝導帯の電子と価電子帯の正孔の両方のドリフト電流と拡散電流で構成されます。

1次元電子の一般的な形式: ここで: ${\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

nは電子の局所濃度である
$\mu _{n}$ 電子移動度は
Eは空乏領域を横切る電界である
D _{n は}電子の拡散係数である。
G _{n は}電子の生成率である
R _{n は}電子の再結合速度である

同様に、穴の場合 : ${\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})$

pは正孔の局所濃度である
$\mu _{p}$ 正孔移動度は
Eは空乏領域を横切る電界である
D _pは正孔の拡散係数である
G _pはホール生成率である
R _pは正孔の再結合率である

導出

このセクションでは、電子に関する上記の式の導出を示します。正孔に関する式についても同様の導出が行われます。

断面積がAで、x軸に沿った長さがdxである半導体材料の体積全体にわたって電子の数が保存されるという事実を考えてみましょう。より正確には、次のように言えます。 ${\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}$

数学的には、この等式は次のように表すことができます。ここで、J は半導体の考慮された体積内の電子の流れによる電流密度 (慣例により、その方向は電子の流れと反対) を表します。これは電子電流密度とも呼ばれます。 ${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=\left[J(x+dx)-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\&=\left[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[1.2ex]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}$

総電子電流密度はドリフト電流密度と拡散電流密度の合計です。 $J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}$

したがって、我々は ${\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})$

積の法則を適用すると、最終的な式は次のようになります。 ${\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

解決

実際のデバイスでこれらの方程式を解くための鍵は、可能な限り、ほとんどのメカニズムが無視できる領域を選択して、方程式をはるかに単純な形に縮小することです。

相対論的バージョン

特殊相対性理論

特殊相対性理論の表記法とツール、特に4 次元ベクトルと4 次元勾配は、任意の連続方程式を記述する便利な方法を提供します。

量 $ρ$ の密度とその電流 $j は$ 、4 次元電流と呼ばれる4 次元ベクトルに組み合わせることができます。ここで、 $c は$ 光速です。この電流の 4 次元発散は、次のようになります。ここで、 $\partial$ $μ$ は4 次元勾配、 $μ は$ 時空次元を表すインデックスです。すると、連続方程式は次のようになります。通常の場合、ソースやシンクはなく、つまりエネルギーや電荷のように完全に保存される量の場合です。この連続方程式は、明らかに (「明らかに」)ローレンツ不変です。 $J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$ $\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$ $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$

この形式でよく書かれる連続方程式の例には、電荷保存（ $J$ は電流）やエネルギー運動量保存（ $T$ は応力エネルギーテンソル）などがあります。 $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0$

一般相対性理論

一般相対性理論では、時空が曲がっているため、エネルギー、電荷、その他の保存量に関する連続方程式（微分形式）には、通常の発散ではなく共変発散が含まれます。

たとえば、応力エネルギーテンソルは、質量エネルギー分布のエネルギー運動量密度、エネルギー運動量フラックス、せん断応力を含む2 次テンソル場です。一般相対性理論におけるエネルギー運動量保存の微分形式は、応力エネルギーテンソルの共変発散がゼロであることを示しています。 ${T^{\mu }}_{\nu ;\mu }=0.$

これは一般相対論におけるアインシュタイン場の方程式の形に対する重要な制約である。^[5]

しかし、応力エネルギーテンソルの通常の 発散は必ずしもゼロになるわけではない：^[6] $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },$

右側の辺は、平坦なジオメトリの場合にのみ完全に消えます。

その結果、連続方程式の積分形式は定義が難しく、時空が大きく曲がっている領域（例えばブラックホールの周りや宇宙全体）では必ずしも有効ではない。^[7]

素粒子物理学

クォークとグルーオンは色荷を持ち、これは電荷のように常に保存され、そのような色荷電流に対する連続方程式が存在します（電流の明示的な表現はグルーオン場強度テンソルで与えられます）。

素粒子物理学には、しばしばあるいは常に保存される他の多くの量があります。重粒子数（クォークの数から反クォークの数を引いたものに比例します）、電子数、ミュー数、タウ数、アイソスピンなどです。^[8]これらのそれぞれには対応する連続方程式があり、ソース/シンク項が含まれている可能性があります。

ネーターの定理

物理学において保存方程式が頻繁に現れる理由の 1 つは、ノイマンの定理です。これは、物理法則が連続的な対称性を持つ場合は常に、保存される物理量に対して連続方程式が存在するというものです。最も有名な 3 つの例は次のとおりです。

物理法則は時間変換に関して不変です。たとえば、今日の物理法則は昨日と同じです。この対称性により、エネルギー保存の連続方程式が導かれます。
物理法則は空間移動に関しては不変です。たとえば、宇宙空間のロケットは、任意の方向（たとえば、x、y、z）に移動しても異なる力やポテンシャルの影響を受けないため、運動量の 3 つの要素が保存されます。
物理法則は向きに対して不変です。たとえば、宇宙空間に浮かんでいる場合、「どちらが上か」を判断する測定方法はありません。物理法則は、向きに関係なく同じです。この対称性により、角運動量保存の連続方程式が導かれます。

参照

参考文献

^ ab ペドロスキー、ジョセフ（1987）。地球流体力学。シュプリンガー。pp. 10–13。ISBN 978-0-387-96387-7。
^ Clancy, LJ(1975)、空気力学、セクション3.3、Pitman Publishing Limited、ロンドン
^ フィールディング、スザンヌ。「流体力学の基礎」（PDF）。ダラム大学。 2019年12月22日閲覧。
^ この導出については、例えばMcMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBN を参照。 0-07-145546-9。
^ D. マクマホン (2006). 『相対性理論の謎を解明』マグロウヒル (米国). ISBN 0-07-145545-0。
^ CW ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)。重力。WH フリーマン & Co. ISBN 0-7167-0344-0。
^ Michael Weiss、John Baez。「一般相対性理論ではエネルギーは保存されるか？」2014年4月25日閲覧。
^ CW ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)。重力。WH フリーマン & Co. pp. 558–559。ISBN 0-7167-0344-0。

さらに読む

ラム、H. (2006) [1932].流体力学（第6版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-45868-9。
グリフィス、DJ (1999)。『電気力学入門（第3版）』。ピアソン教育社ISBN 81-7758-293-3。
Grant, IS; Phillips, WR (2008).電磁気学. マンチェスター物理学シリーズ (第 2 版). ISBN 978-0-471-92712-9。
Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). Gravitation . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0。

[Pedlosky-1] ペドロスキー、ジョセフ（1987）。地球流体力学。シュプリンガー。pp. 10–13。ISBN 978-0-387-96387-7。

[2] Clancy, LJ(1975)、空気力学、セクション3.3、Pitman Publishing Limited、ロンドン

[Fielding-3] フィールディング、スザンヌ。「流体力学の基礎」（PDF）。ダラム大学。 2019年12月22日閲覧。

[4] この導出については、例えばMcMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBN を参照。 0-07-145546-9。

[5] D. マクマホン (2006). 『相対性理論の謎を解明』マグロウヒル (米国). ISBN 0-07-145545-0。

[6] CW ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)。重力。WH フリーマン & Co. ISBN 0-7167-0344-0。

[7] Michael Weiss、John Baez。「一般相対性理論ではエネルギーは保存されるか？」2014年4月25日閲覧。

[8] CW ミスナー、KS ソーン、JA ウィーラー (1973)。重力。WH フリーマン & Co. pp. 558–559。ISBN 0-7167-0344-0。