一般化座標

Open curved surface F(x, y, z) = 0

Closed curved surface S(x, y, z) = 0

Two generalized coordinates, two degrees of freedom, on curved surfaces in 3D. Only two numbers (u, v) are needed to specify the points on the curve, one possibility is shown for each case. The full three Cartesian coordinates(x, y, z) are not necessary because any two determines the third according to the equations of the curves.

For a system of N particles in 3D real coordinate space, the position vector of each particle can be written as a 3-tuple in Cartesian coordinates:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\end{整列}}}$

Any of the position vectors can be denoted r_k where k = 1, 2, …, N labels the particles. A holonomic constraint is a constraint equation of the form for particle k^[4][a]

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0}$

これは、その粒子の 3 つの空間座標すべてを結び付けているため、それらは独立ではありません。制約は時間とともに変化する可能性があるため、時間t は制約方程式に明示的に現れます。任意の時点で、任意の 1 つの座標は他の座標から決定されます。たとえば、x _kとz _kが与えられている場合、y _kも与えられます。1 つの制約方程式は1 つの制約としてカウントされます。制約がC個ある場合、それぞれに方程式があるため、制約方程式はC個になります。各粒子に対して必ずしも 1 つの制約方程式があるとは限らず、システムに制約がない場合は制約方程式もありません。

これまでのところ、システムの構成は3N個の量で定義されていますが、各制約方程式から 1 つの座標を削除することでC 個の座標を削除できます。独立座標の数はn = 3N − Cです。（D次元では、元の構成にはND 個の座標が必要であり、制約による削減によりn = ND − Cとなります。）システム全体の構成を定義するために必要な最小限の座標を使用し、システムの制約を活用することが理想的です。これらの量は、この文脈では一般化座標と呼ばれ、 qj(t) と表記されます。これらをnタプルにまとめるのが便利です_。

${\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))}$

これは、システムの構成空間内の点です。これらはすべて互いに独立しており、それぞれが時間の関数です。幾何学的には、直線に沿った長さ、曲線に沿った弧の長さ、または角度であり、必ずしもデカルト座標やその他の標準的な直交座標ではありません。自由度ごとに1つあるため、一般化座標の数は自由度の数nに等しくなります。自由度は、システムの構成を変化させる1つの量に対応します。たとえば、振り子の角度、またはビーズがワイヤーに沿って移動する弧の長さなどです。

制約から自由度と同じ数の独立変数を見つけることができれば、これらを一般化座標として使用できます。^{[ 5 ]}粒子kの位置ベクトルr _kは、すべてのn 個の一般化座標 (およびそれらを介して時間)の関数です。 ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 5 ] [ nb 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,,}$

そして、一般化座標は、制約条件に関連付けられたパラメータと考えることができる。

qの対応する時間微分は一般化速度であり、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}}_{2}(t),\ \ldots ,\ {\dot {q}}_{n}(t))}$

（各数値の上のドットは、1つの時間微分を表します。）速度ベクトルv _kは、 r _kの時間に関する全微分です。

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,.}$

したがって、一般的には一般化速度と座標に依存します。一般化座標と速度の初期値を個別に指定できるため、一般化座標q _jと速度dq _j / dtは独立変数として扱うことができます。

機械システムには、一般化座標とその導関数の両方に対する制約が含まれる場合があります。この種の制約は非ホロノミック制約として知られています。1次非ホロノミック制約は次の形式をとります。

${\displaystyle g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,}$

このような制約の例としては、速度ベクトルの方向を制約する回転する車輪やナイフエッジなどが挙げられる。非ホロノミック制約には、一般化加速度などの次階微分が含まれる場合もある。

システムの全運動エネルギーは、システムの運動エネルギーであり、 ^{[ 9 ]で定義される。}

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,}$

ここで、· はドット積です。運動エネルギーは速度v _kのみの関数であり、座標r _k自体の関数ではありません。対照的に、重要な観察は^{[ 10 ]です。}

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},}$

これは、運動エネルギーが一般に一般化された速度、座標、および時間の関数であることを示しており、制約も時間とともに変化する場合は、T = T ( q , d q / dt , t )となります。

粒子に対する制約が時間に依存しない場合、時間に関するすべての偏微分はゼロとなり、運動エネルギーは一般化速度に関して2次の同次関数となる。

それでも時間非依存の場合、この式は粒子kの軌跡の線要素の二乗を取ることと同等である。

${\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

そして、時間の二乗微分dt ²で割って、粒子kの速度の二乗を得る。したがって、時間に依存しない制約の場合、線要素を知っていれば、粒子の運動エネルギー、ひいてはラグランジアンを素早く得ることができる。^{[ 11 ]}

極座標は頻繁に現れるため、2D および 3D のさまざまなケースを見てみるのは有益です。2D極座標( r , θ )では、

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,}$

3D円筒座標( r、θ、z )において、

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,}$

3D球面座標( r , θ , φ )において、

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}$

座標q _iに「正準的に共役」な一般化運動量は次のように定義される。

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

ラグランジアンL が何らかの座標q _iに依存しない場合、オイラー・ラグランジュ方程式から、対応する一般化運動量は保存量となることがわかります。これは、時間微分がゼロであることから、運動量が運動の定数であることを意味します。

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\dot {p}}_{i}=0\,.}$

摩擦のないワイヤー上を滑るビーズが2次元空間で重力のみの影響を受ける場合、ビーズに対する拘束条件はf ( r ) = 0の形で表すことができ、ビーズの位置はr = ( x ( s ), y ( s ))と表すことができ、ここでsはパラメータであり、ワイヤー上の点から曲線に沿って弧長s を表します。これは、このシステムに適した一般化座標の選択です。ビーズの位置は 1 つの数値sでパラメータ化でき、拘束方程式が 2 つの座標xとyを結び付けているため、2 つの座標ではなく1 つの座標のみが必要です。どちらか一方から他方が決定されます。拘束力は、ビーズをワイヤー上に保持するためにワイヤーがビーズに及ぼす反力であり、拘束されない外力は、ビーズに作用する重力です。

ワイヤーが時間とともに曲がることで形状が変化すると仮定します。このとき、拘束方程式と粒子の位置はそれぞれ次のようになります。

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0\,,\quad \mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t))}$

ワイヤーの形状変化に伴う座標の変化により、これらは両方とも時間tに依存するようになります。座標を通して暗黙的に、また拘束方程式の中では明示的に、時間が存在することに注意してください。

機械システムの動きを特徴付けるための一般化座標とデカルト座標の使用の関係は、単純振り子の拘束されたダイナミクスを考慮することで説明できます。^{[ 12 ] [ 13 ]}

単純振り子は、支点から吊り下げられた質量Mで構成され、半径Lの円周上を運動するように拘束されています。質量の位置は、円の平面上で測定された座標ベクトルr = ( x , y )で定義され、 yは垂直方向です。座標xとyは、円の方程式によって関係付けられます。

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

これはMの動きを制限する。この方程式は速度成分にも制約を与える。

${\displaystyle {\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.}$

ここで、垂直方向からのMの角度位置を定義するパラメータθを導入します。これは、座標xとyを定義するために使用できます。

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).}$

このシステムの構成を定義するためにθを使用することで、円の方程式によって課される制約を回避できる。

質量mに作用する重力は、通常のデカルト座標で定式化されていることに注意してください。

${\displaystyle \mathbf {F} =(0,-mg),}$

ここでgは重力加速度である。

質量mが軌道rに沿って移動する際の重力の仮想仕事は、次式で与えられる。

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$

変動δ r は、座標xとyまたはパラメータθを用いて計算できます。

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .}$

したがって、仮想仕事は次のように与えられる。

${\displaystyle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin(\theta )\delta \theta .}$

δ yの係数は、加えられた力のy成分であることに注意してください。同様に、δ θの係数は、一般化座標θに沿った一般化力として知られており、次のように与えられます。

${\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta .}$

解析を完了するには、速度を使用して質量の運動エネルギーTを考慮します。

${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},}$

それで、

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

ダランベールの振り子の仮想仕事の原理の形式は、座標xとyに関して次のように表される。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

これにより、以下の3つの方程式が得られる。

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

3 つの未知数x、y、λにおいて。

パラメータθを用いると、これらの式は次の形になる。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },}$

これは、

${\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,}$

または

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.}$

この定式化では、パラメータが1つしかなく、制約方程式がないため、方程式は1つになります。

これは、パラメータθが、振り子を解析するためにデカルト座標xとyと同じように使用できる一般化座標であることを示している。

一般化座標の利点は、二重振り子の解析で明らかになります。2つの質量m _i ( i = 1, 2)に対して、r _i = ( x _i , y _i ) i = 1, 2がそれらの2つの軌道を定義します。これらのベクトルは、次の2つの制約方程式を満たします。

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0}$

そして

${\displaystyle f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.}$

このシステムに対するラグランジュ方程式の定式化により、2 つの制約方程式から生じる 4 つのデカルト座標x _i、y _i ( i = 1, 2 )と 2 つのラグランジュ乗数λ _i ( i = 1, 2 )に関する6 つの方程式が得られます。

ここで、二重振り子の各質量の垂直方向からの角度位置を定義する一般化座標θ _i ( i = 1, 2 )を導入します。この場合、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).}$

質量に作用する重力は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)}$

ここで、 gは重力加速度である。したがって、2つの質量が軌道r _i ( i = 1, 2)をたどる際の重力による仮想仕事は、次式で与えられる。

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.}$

変動δ r _i ( i = 1, 2)は次のように計算できます。

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

したがって、仮想仕事は次のように与えられる。

${\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},}$

そして一般化された力は

${\displaystyle F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

このシステムの運動エネルギーを計算すると、

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.}$

オイラー・ラグランジュ方程式は、未知の一般化座標θ _i ( i = 1, 2)に関する2つの方程式を導出する^{[ 14 ]}

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

そして

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

一般化座標θ _i ( i = 1, 2 )の使用は、二重振り子の動力学のデカルト座標系による定式化に代わる方法を提供する。

3Dの例として、重力の影響を受ける任意の角度方向に自由に揺れることができる長さl一定の球状振り子の場合、振り子のおもりに対する制約は次の形式で表すことができます。

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\,,}$

振り子のおもりの位置は次のように記述できます。

${\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ),y(\theta ,\phi ),z(\theta ,\phi ))\,,}$

ここで、( θ、φ )は球面極角です。これは、おもりが球面上を移動するためです。位置rは、懸架点からおもりまでの距離で測定され、ここではおもりは点粒子として扱われます。運動を記述するための一般化座標として論理的に選択できるのは、角度( θ、φ )です。おもりの位置は 2 つの数値でパラメータ化でき、拘束方程式が 3 つの座標( x、y、z )を結び付けているため、いずれか 1 つが他の 2 つから決定されるため、3 つの座標ではなく 2 つの座標のみが必要です。