質量が減少

換算質量は常に各物体の質量以下である。 $${\displaystyle \mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}}$$ そして、相互加法性を持つ。 $${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}$$ これは、並べ替えると調和平均の半分に等しくなります。

特別な場合${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$: $${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}}$$

もし${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$、 それから$\displaystyle \mu \approx m_{2}}$。

ニュートンの第二法則を用いると、ある物体（粒子2）が別の物体（粒子1）に及ぼす力は次のようになる。 $$\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}}$$

粒子1が粒子2に及ぼす力は次のとおりです。 $$\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}}$$

ニュートンの第三法則によれば、粒子2が粒子1に及ぼす力は、粒子1が粒子2に及ぼす力と等しく、逆向きである。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$$

したがって： $${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}}$$

2つの物体間の 相対加速度a _{relは次のように表されます。}$${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{2}}}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}={\frac {m_{1}\mathbf {a} _{1}}{\mu }}}$$

（導関数は線形演算子であるため）相対加速度は$\displaystyle \mathbf {a} _{\text{rel}}$分離の加速度に等しい$\displaystyle \mathbf {x} _{\text{rel}}$2つの粒子の間。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right)={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\text{rel}}}{dt^{2}}}}$$

これにより、システムの記述は1つの力に簡略化されます（${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}}$) 1 つの座標$\displaystyle \mathbf {x} _{\text{rel}}$、そして一つの塊${\displaystyle \mu }$。このようにして、問題を1つの自由度にまで縮小することができ、粒子1は粒子2の位置に対して、換算質量に等しい質量を持つ単一の粒子として運動すると結論付けることができます。${\displaystyle \mu }$。

あるいは、二体問題のラグランジュ記述では、次の ラグランジアンが得られる。$${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)}$$ どこ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}$は質量の位置ベクトルです${\displaystyle m_{i}}$（粒子の）${\displaystyle i}$)ポテンシャルエネルギーVは、粒子間の絶対距離のみに依存する関数です。 $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$$ そして、この基準系において、質量の中心が原点と一致するようにする。 $${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0,}$$ それから $${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$$

そして、上記の式を代入すると、新しいラグランジアンが得られる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$$ どこ $${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$ は換算質量である。したがって、二体問題を一体問題に還元したことになる。

2つの点質量を持つシステムでは${\displaystyle m_{1}}$そして${\displaystyle m_{2}}$それらが共線となるように、2つの距離は${\displaystyle r_{1}}$そして${\displaystyle r_{2}}$回転軸は、 $${\displaystyle r_{1}=R{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$$$${\displaystyle r_{2}=R{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$$ どこ${\displaystyle R}$両方の距離の合計です${\displaystyle R=r_{1}+r_{2}}$。

これは重心を中心とした回転の場合に当てはまります。この軸を中心とした慣性モーメントは次のように簡略化できます。 $${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}=R^{2}{\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}+R^{2}{\frac {m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}=\mu R^{2}.}$$

反発係数eの衝突では、運動エネルギーの変化は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \Delta K={\frac {1}{2}}\mu v_{\text{rel}}^{2}\left(e^{2}-1\right),}$$ ここで、v _relは衝突前の物体の相対速度です。

原子核物理学における典型的な応用例では、一方の粒子の質量が他方の粒子の質量よりもはるかに大きい場合、換算質量は系の小さい方の質量で近似することができます。換算質量の公式において、一方の質量が無限大に近づくときの極限は小さい方の質量となるため、この近似は計算を容易にするために用いられます。特に、大きい方の粒子の正確な質量が不明な場合に有効です。

重力ポテンシャルエネルギーの場合 $${\displaystyle V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,}$$ 我々は、第１の物体の２番目の物体に対する位置が、質量（M）がこれら２つの質量の合計に等しい物体の周りを公転する、縮小質量を持つ物体の位置と同じ微分方程式によって支配されることがわかる。 $${\displaystyle m_{1}m_{2}=\left(m_{1}+m_{2}\right)\mu$$ ;} しかし、合計が M になる他のすべてのペアは、質量の積が間違っています。

水素原子中の電子（質量m _e）と陽子（質量m _p）を考えてみましょう。^{[ 3 ]}これらは共通の重心の周りを互いに軌道運動しており、これは二体問題です。電子の運動（一体問題）を解析するために、電子の質量を換算質量に置き換えます。 $${\displaystyle m_{\text{e}}\rightarrow {\frac {m_{\text{e}}m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}}$$

この考え方は、水素原子のシュレーディンガー方程式を構築するために用いられる。