量子数

量子物理学と量子化学において、量子数はシステムの可能な状態を特徴付ける量です。水素原子の電子の状態を完全に指定するには、4 つの量子数が必要です。従来の量子数のセットには、主量子数、方位量子数、磁気量子数、およびスピン量子数が含まれます。他のシステムを記述するには、異なる量子数が必要です。原子核より小さい粒子の場合、古典的な対応関係を持たないクォークのフレーバーなどの新しい量子数を導入する必要があります。

量子数は観測量の固有値と密接な関係があります。対応する観測量がシステムのハミルトニアンと交換する場合、量子数は「良好」であるとされ、量子力学における運動定数として機能します。

歴史

電子量子数

旧量子論の時代、マックス・プランクが黒体放射のモデルで量子を提案し（1900年）、アルベルト・アインシュタインがその概念を光電効果の説明に応用して（1905年）、エルヴィン・シュレーディンガーが1926年に固有関数方程式を発表するまで、^[1]量子数の概念は原子分光法と古典力学の理論に基づいて発展し、追加の特別な制約が課された。^{[2]原子分光}^法から得られた多くの結果は、整数ステップで関連付けられた2つのエネルギー系列の差を含むリュードベリの公式にまとめられていた。1913年にニールス・ボーアが初めて提唱した原子のモデルは、単一の量子数に依存していた。放射線吸収は古典的ではないというボーアの制約と合わせて、リュードベリの原子スペクトル式のバルマー系列の部分を説明することができた。 ^[3]

ボーアがその後のノーベル講演で述べているように、次のステップは1915年にアルノルド・ゾンマーフェルトによって踏み出された。 ^[4]ゾンマーフェルトの原子モデルは、それを正当化するために2番目の量子数と量子化位相積分の概念を追加した。^[5]^{: 207}ゾンマーフェルトのモデルは本質的にはまだ2次元であり、電子が平面内を周回するモデルであった。1919年に彼は、量子化位相積分の代わりに「空間量子化」を使用して、自分の研究を3次元に拡張した。^[6]^{: 152} カール・シュヴァルツシルトとゾンマーフェルトの学生であるポール・エプスタインは独立して、3番目の量子数を追加することでシュタルク効果の結果を完全に説明できることを示した。

空間量子化の結果、電子の軌道と外部磁場との相互作用が量子化されることになる。これは、シュテルン＝ゲルラッハ実験の結果が不均一磁場中の銀原子の量子化結果を報告したときに確認されたように思われた。しかし、この確認は時期尚早であることが判明し、より多くの量子数が必要になるだろう。^[7]

原子時代の第 4 および第 5 の量子数は、ゼーマン効果を理解しようとする試みから生まれました。シュテルン・ゲルラッハの実験と同様に、ゼーマン効果は原子と磁場の相互作用を反映しています。弱い磁場では、実験結果は「異常」と呼ばれ、当時のどの理論からも逸脱していました。この問題に対するヴォルフガング・パウリの解決策は、2 つの値のみを取る別の量子数を導入することでした。^[8]これは最終的に、電子の固有の角運動量量子であるスピンの投影の量子化された値になりました。1927 年、ロナルド・フレイザーは、シュテルン・ゲルラッハの実験における量子化は、軌道角運動量ではなく、電子スピンに関連する磁気モーメントによるものであることを実証しました。^[7]パウリが古典的なモデルに頼らずにスピン量子数の議論を展開することに成功したことで、20 世紀の残りの期間における素粒子の量子数の発展の土台ができました。^[8] $\pm \hbar /2$

ボーアはアウフバウ原理、つまり「構築」原理を、パウリは排他原理によって、原子の電子量子数を原子の特性を予測するための枠組みに結び付けました。^{[9]シュレーディンガーが}波動方程式を発表し、水素のエネルギーレベルを計算したとき、これら2つの原理は原子物理学の基礎として引き継がれました。

核量子数

原子のモデルが成功したことで、物理学の関心は原子核のモデルに移った。1932年にハイゼンベルクが陽子と中性子の結合に関する最初のモデルを発表し、ユージン・ウィグナーは1937年にアイソスピンを導入した。これは、実空間と時間の対称性とは無関係な最初の「内部」量子数である。^[10]^{: 45}

対称性とのつながり

量子力学が発展するにつれて、抽象化が進み、対称性と不変性に基づくモデルがますます重要な役割を果たすようになった。量子波動方程式に関する研究の2年前に、シュレーディンガーは、エミー・ネーターとヘルマン・ワイルによって提唱された対称性の考え方を電磁場に適用した。^[11]^{: 198} 1930年代と1940年代に量子電気力学が発展するにつれて、群論が重要なツールとなった。1953年までに、楊陳寧は、群論を適用して、原子核衝突の保存された量子数を核子の場の理論の対称性と結び付けることができるという考えに夢中になっていた。^[11]^{: 202}楊は、ロバート・ミルズとともに、原子核アイソスピン量子数の保存に基づく非アーベルゲージ理論を開発した。

一般的なプロパティ

良い量子数は、ハミルトニアンと交換する演算子の固有値に対応し、システムのエネルギーと同時に正確に知ることができる量です。具体的には、ハミルトニアンと交換する観測量は同時に対角化可能であるため、固有値とエネルギー (ハミルトニアンの固有値) は非可換性から生じる不確定性関係によって制限されません。量子システムのすべての量子数の仕様を合わせると、システムの基底状態が完全に特徴付けられ、原理的には一緒に測定できます。多くの観測量は量子力学において離散スペクトル (固有値の集合)を持つため、量は離散値でしか測定できません。特に、これは整数または半整数の離散集合の値を取る量子数につながりますが、場合によっては無限大に近づくこともあります。 $a$

量子数の合計はシステムごとに異なり、普遍的な答えはありません。したがって、これらのパラメータは分析する各システムについて見つけなければなりません。量子化されたシステムには、少なくとも 1 つの量子数が必要です。任意の量子システムのダイナミクス (つまり、時間発展) は、ハミルトニアン $H$ の形式の量子演算子によって記述されます。システムのエネルギーに対応するシステムの 1 つの量子数、つまりハミルトニアンの固有値の 1 つがあります。また、ハミルトニアンと交換可能な線形独立演算子 $O$ ごとに 1 つの量子数があります。ハミルトニアンと交換可能な完全な可換観測量セット(CSCO) は、すべての量子数を持つシステムを特徴付けます。量子数と CSCO の演算子の間には 1 対 1 の関係があり、各量子数は対応する演算子の固有値の 1 つを取ります。交換演算子の完全なセットを形成するために任意に選択される可能性のあるさまざまな基底の結果として、異なる状況での同じシステムの記述に異なる量子数のセットが使用される可能性があります。

水素のような原子の電子

4 つの量子数で、水素のような原子内の電子のエネルギーレベルを完全に記述できます。

主量子数( $n$ )
方位量子数( $ℓ$ )
磁気量子数( $m ℓ$ )
スピン量子数( $m s$ )

これらの量子数は、原子核粒子の状態（陽子や中性子など）の古典的な記述にも使用されます。^[要出典]分子軌道の量子記述には、分子系の対称性が異なるため、他の量子数が必要です。

主量子数

主量子数は電子の電子殻を表す $。n$ の値は1からその原子の最外殻電子を含む殻までの範囲である^[12]

1, 2, ... です 。

たとえば、セシウム(Cs) では、最外殻の価電子はエネルギーレベル 6 の殻にあるため、セシウムの電子の $n値は 1 から 6 までになります。電子と原子核の平均距離は$ $n$ とともに増加します。

方位角量子数

方位角量子数（軌道角運動量量子数とも呼ばれる）は、サブシェルを記述し、関係式を通じて軌道角運動量の大きさを与える。

L 2 = ħ 2 ℓ (ℓ + 1)。

化学と分光学では、 $ℓ = 0 はs 軌道、$ $ℓ = 1$ は p 軌道、 $ℓ = 2$ は d 軌道、 $ℓ = 3$ は f 軌道と呼ばれます。

$ℓ$ の値は0から $n -1$ までの範囲にあるので、最初のp軌道（ $ℓ =1$ ）は2番目の電子殻（ $n =2$ ）に現れ、最初のd軌道（ $ℓ =2$ ）は3番目の電子殻（ $n =3$ ）に現れる、というように続く：^[13]

ℓ = 0, 1, 2,..., n - 1

$n$ = 3、ℓ = 0で始まる量子数は、原子の 3 番目の電子殻の s 軌道にある電子を表します。化学では、この量子数は原子軌道の形状を指定し、化学結合と結合角に強く影響するため、非常に重要です。方位量子数は、軌道内に存在する角度ノードの数を表すこともできます。たとえば、p 軌道の場合、 $ℓ = 1$ なので、p 軌道の角度ノードの数は 1 です。

磁気量子数

磁気量子数はサブシェル内の特定の軌道を記述し、指定された軸に沿った軌道角運動量の投影を生成します。

Lz = mℓħ ​ ​ ​

$m ℓ$ の値は $- ℓ$ $からℓ$ までの範囲で整数間隔で表されます。^[14]^{[ページ必要]}

s サブシェル ( $ℓ = 0$ ) には軌道が 1 つしか含まれていないため、s 軌道にある電子の $m ℓ は常に 0 になります。p サブシェル ($ $ℓ = 1$ ) には 3 つの軌道が含まれているため、 p 軌道にある電子の $m ℓ は$ -1、0、または 1 になります。d サブシェル ( $ℓ = 2$ ) には 5 つの軌道が含まれており、 $m ℓ の$ 値は -2、-1、0、1、および 2 です。

スピン磁気量子数

スピン磁気量子数は、各軌道内の電子の固有のスピン角運動量を記述し、指定された軸に沿ったスピン角運動量 $S$ の投影を与えます。

S z = m s ħ です

。

$一般に、 m s$ の値は $-sから$ $s$ の範囲で、 $s$ はスピン量子数であり、粒子の固有スピン角運動量の大きさに関連付けられている： $[$ ^15]

m s = - s 、- s + 1、- s + 2、...、 s - 2、 s - 1、 s

。

電子状態のスピン数は $s = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠$ 、したがって $m s は$ + ⁠1/2⁠（「スピンアップ」）または - ⁠1/2⁠「スピンダウン」状態。電子はフェルミオンなので、パウリの排他原理に従います。つまり、各電子状態は異なる量子数を持たなければなりません。したがって、各軌道は最大で 2 つの電子 (各スピン状態につき 1 つ) で占有されます。

アウフバウの原則とフントの法則

多電子原子は、より高い核電荷とそれに応じてより多くの電子を持つ水素のような原子として定性的にモデル化できます。このような原子の電子状態の占有は、アウフバウ原理と量子数に関するフントの経験則によって予測できます。アウフバウ原理は、主量子数と方位量子数に基づいて軌道を埋めます（最も低いものから順に、最も低い同点のものから順に。フントの規則は、最も外側の軌道に不対電子を優先します）。これらの規則は経験的ですが、電子物理学と関連付けることができます。^[16]^{: 10}^[17]^{: 260} $n+l$ $n$

スピン軌道結合系

スピン軌道相互作用を考慮すると、 $L$ 演算子と $S演算子は$ ハミルトニアンと交換できなくなり、システムの固有状態は明確に定義された軌道角運動量とスピンを持たなくなる。したがって、別の量子数のセットを使用する必要があります。このセットには^[18]^{[19]が含まれます。}

全角運動量量子数:
$j = | ℓ \pm s |$

これは、次の関係式によって全角運動量を与える。

$J 2 = ħ 2 j (j + 1)$
指定された軸に沿った全角運動量の投影:
$m j = - j 、- j + 1、- j + 2、...、 j - 2、 j - 1、 j$

上記に類似しており、

$m j = m ℓ + m s$ かつ $| m ℓ + m s | \leq j$
パリティ
これは反射による固有値です。偶数 $ℓから生じた状態の場合は正 (+1)、奇数$ $ℓ$ から生じた状態の場合は負 (-1)となります。前者は偶数パリティ、後者は奇数パリティとも呼ばれ、次のように表されます。

$P = (-1) ℓ$

たとえば、量子数によって定義される次の 8 つの状態を考えてみましょう。

システム内の量子状態は、これら 8 つの状態の線形結合として記述できます。ただし、スピン軌道相互作用がある場合、同じシステムをハミルトニアンの固有ベクトルである 8 つの状態(つまり、それぞれが時間の経過とともに他の状態と混ざらない状態を表す) で記述するには、次の 8 つの状態を考慮する必要があります。

原子核

原子核では、陽子と中性子（核子）の集合体全体が、各核子の角運動量による合成角運動量を持ち、通常は $I と$ 表記されます。中性子の全角運動量が $j n = ℓ + s$ で、陽子の場合は $j p = ℓ + s$ （ここで、陽子と中性子の $s は$ ⁠1/2⁠再び（注を参照））、核角運動量量子数 $I は$ 次のように与えられます。

I = | j n - j p |、| j n - j p | + 1、| j n - j p | + 2、...、(j n + j p) - 2、(j n + j p) - 1、(j n + j p)

注:核 (および原子) 状態の軌道角運動量はすべて ħ の整数倍ですが、中性子と陽子の固有角運動量は半整数倍です。核子の固有スピンと軌道運動の組み合わせにより、奇数 A 核の全スピン I は常に半整数値になり、偶数 A 核の全スピン $Iは常に整数値になることがすぐにわかるはずです。$

$原子核の角運動量状態を表すのにIという$ 数字が使われ、水素（H）、炭素（C）、ナトリウム（Na）の同位体の例としては次のようなものがある。^[20]

$核子が1個しか違わなくてもI$ に異常な変動が生じる理由は、陽子と中性子の数が奇数か偶数かによるものです。核子の対は全角運動量がゼロなので（軌道内の電子と同様に）、不対核子の数が奇数か偶数になります。核スピンの特性は、核磁気モーメントが外部磁場と相互作用するため、有機化学におけるNMR分光法^[19]や核医学におけるMRI ^[20]の動作にとって重要な要素です。

素粒子

素粒子には、通常、その粒子に固有のものであると言われる多くの量子数が含まれています。しかし、素粒子は粒子物理学の標準モデルの量子状態であり、したがって、これらの粒子の量子数は、ボーア原子の量子数がそのハミルトニアンとの関係にあるのと同じ関係をこのモデルのハミルトニアンに対して持つことを理解する必要があります。言い換えると、各量子数は問題の対称性を示しています。量子場の理論では、時空と内部対称性を区別する方が便利です。

時空対称性に関連する典型的な量子数は、スピン（回転対称性に関連）、パリティ、C-パリティ、およびT-パリティ（時空のポアンカレ対称性に関連）です。典型的な内部対称性^[^{説明が必要}^]は、レプトン数と重粒子数または電荷です。（この種の量子数の完全なリストについては、フレーバーに関する記事を参照してください。）

乗法量子数

保存される量子数のほとんどは加法的であるため、素粒子反応では、反応の前後で量子数の合計は同じになるはずです。ただし、パリティと呼ばれるいくつかの数は乗法的であり、つまり積が保存されます。乗法的量子数はすべて対称性（パリティなど）に属し、対称変換を 2 回適用することは何もしないこと（反転）と同等です。

参照

電子配置

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