適切な射影

代数幾何学において、スキーム間の適切な射は、複素解析空間間の適切な写像に類似している。

体上の適切な多様体を完全多様体と呼ぶ著者もいます。たとえば、体上のすべての射影多様体は上で適切です。複素数上の有限型のスキーム(たとえば、多様体) がC上で適切であるための必要十分条件は、古典的な (ユークリッド) 位相を持つ複素点の空間( C ) がコンパクトでハウスドルフ である場合です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

閉じた浸漬は適切です。射が有限であるためには、それが適切かつ準有限である必要があります。

スキームの射が普遍的に閉じているとは 、射を持つ任意のスキームに対して、ファイバー積${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z\to Y}$

${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$

は、基礎となる位相空間の閉じた写像である。スキームの射は、分離であり、有限型であり、普遍的に閉じている場合に、適切であると言われる([EGA] II, 5.4.1 [1])。 は上で適切であるとも言われる。特に、体上の多様体は、射が適切である場合に上適切であると言われる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (k)}$

任意の自然数nに対して、可換環R上の射影空間 P ^{n は}R上真である。射影射は真であるが、すべての真射が射影的であるとは限らない。例えば、C上射影的でない次元 3 の滑らかな真複素多様体が存在する。^[1]体k上の正の次元のアフィン多様体はk上真ではない。より一般的には、スキームの真アフィン射は有限でなければならない。 ^[2]例えば、体k上のアフィン直線A ^1がk上真でないことは、射A ¹ → Spec( k ) が普遍的に閉じていないことから容易にわかる。実際、引き戻された射

${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}}$

( ( x , y ) ↦ yで与えられる)は閉じていない。なぜなら、閉部分集合xy = 1 のA ¹ × A ¹ = A ²の像はA ¹ − 0であり、これはA ¹では閉じていないからである。

以下では、f : X → Yをスキームの射とする。

• 2 つの適切な射の合成は適切です。
• 適切な射f : X → Y の任意の基底変換は適切です。つまり、g : Z → Yがスキームの任意の射である場合、結果として得られる射X × _Y Z → Zは適切です。
• 適切性は基底上の局所的性質です（ザリスキ位相において）。つまり、Y がいくつかの開部分スキームY _iで覆われていて、 fをすべてのf ⁻¹ (Y _i )に制限することが適切であれば、f も適切です。
• より強い言い方をすれば、 fpqc位相における適切性は基底上で局所的である。例えば、Xが体k上のスキームであり、Eがkの体拡大である場合、Xがk上で適切であるためには、基底変換X _EがE上で適切である必要がある。^[3]
• 密閉浸漬が適切です。
• より一般的には、有限射は適切です。これは上昇定理の結果です。
• ドリーニュによれば、スキームの射が有限であるためには、それが真かつ準有限でなければならない。^[4]これはグロタンディークによって、射f : X → Yが局所的に有限表示である場合に示されており、これはYがネーターである場合の他の仮定から導かれる。^[5]
• スキームS上のX が適切であり、Y がS上で分離している場合、 S上の任意の射X → Yの像はYの閉部分集合である。^[6]これは、コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像の像は閉部分集合であるという位相幾何学の定理に類似している。
• スタイン因数分解定理は、局所ノイザンスキームへの任意の適切な射はX → Z → Yとして因数分解できることを述べています。ここで、X → Zは適切、射影的、幾何学的に連結されたファイバーを持ち、Z → Yは有限です。^[7]
• チョウの補題によれば、固有射影写像は射影写像と密接に関係している。1つのバージョンは、Xが準コンパクトスキームY上で固有であり、Xが有限個の既約成分のみを持つ場合（Yがネーター写像である場合は自動的にそうなる）、射影的全射写像g : W → Xが存在し、 WはY上に射影的である。さらに、 gはXの稠密な開集合U上の同型であり、g ⁻¹ ( U )はW上で稠密であるとすることができる。また、Xが整列している場合、 Wは整列であるとすることもできる。^[8]
• デリーニュによって一般化された永田のコンパクト化定理は、準コンパクトスキームと準分離スキーム間の有限型の分離射が、適切な射に続く開浸として因数分解されることを述べている。^[9]
• 局所ノイザンスキーム間の適切な射は、連接層を保存する。これは、連接層Fの高次の直接像 R ⁱ f _∗ ( F ) (特に、直接像 f _∗ ( F ))が連接しているという意味である (EGA III、3.2.1)。 (同様に、複素解析空間間の適切な写像に対して、GrauertとRemmert は、高次の直接像が連接解析層を保存することを示した。) 非常に特殊なケースとして、体k上の適切なスキームX上の正則関数の環は、 kベクトル空間として有限次元を持つ。対照的に、k上のアフィン直線上の正則関数の環は、 kベクトル空間として有限次元を持たない多項式環k [ x ] である。
• これについては、もう少し強い表現もあります。(EGA III, 3.2.4) を有限型、S を局所的にネーター、-加群の射とします。 FのサポートがS上で適切であれば、それぞれに対して高次の直接像はコヒーレントです。${\displaystyle f\colon X\to S}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$
• 複素数上の有限型のスキームXに対して、複素点の集合X ( C ) は、古典的 (ユークリッド) 位相を用いた複素解析空間である。分離されC上の有限型のXとYに対して、 C上の射f : X → Yが適切であるためには、連続写像f : X ( C ) → Y ( C ) が、あらゆるコンパクト集合の逆像がコンパクトであるという意味で適切である必要がある。^[10]
• f : X → Yおよびg : Y → Zがgfが適切でgが分離されている場合、fは適切です。これは、たとえば次の基準を使用して簡単に証明できます。

適切性に関する非常に直感的な基準があり、それはChevalleyに遡ります。これは一般に、適切性の評価基準と呼ばれています。f : X → Y を有限型のNoetherian スキームの射とします。このとき、分数体Kを持つすべての離散値環Rに対して、およびR上で定義された点f ( x ) にマッピングされる任意のK値点x ∈ X ( K )に対して、xから への一意の持ち上げが存在する場合、かつその場合に限り、 fは適切です。(EGA II、7.3.8)。より一般的には、任意のスキームX、Yの有限型（注：有限型には準コンパクトも含まれる）の準分離射f : X → Yが適切であるための必要十分条件は、分数体Kを持つすべての付値環Rに対して、およびR上で定義されている点f ( x )にマップされる任意のK値点x ∈ X ( K ) に対して、 xから への唯一の持ち上げが存在することです。（スタックプロジェクトタグ 01KF および 01KY）。Spec KはSpec Rのジェネリック点であり、離散付値環はまさに正則な局所1 次元環であることに注意すると、基準を次のように言い換えることができます。Y上の正則曲線（射s : Spec R → Yに対応）が与えられ、この曲線のジェネリック点からXへの持ち上げが与えられた場合、曲線を完成させる方法が 1 つだけある場合のみ、 fが適切です。 ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

同様に、すべてのそのような図において、リフトが最大で 1 つ存在する場合のみ、f は分離されます。 ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

たとえば、価数基準が与えられれば、射影空間P ^{n が}体上（またはZ上）に適切であることの確認が容易になります。分数体Kを持つ離散価数環Rについて、射影空間のすべてのK点 [ x ₀ ,..., x _n ] は、すべてがR内にあり、少なくとも 1 つがR内の単位となるように座標をスケーリングすることによって、R点から来ることを観察するだけです。

妥当性の評価基準の動機となる例の1つは、 を無限小円板として、または複素解析的に円板 として解釈することです。これは、すべての冪級数${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])}$${\displaystyle \Delta =\{x\in \mathbb {C} :|x|<1\}}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}}$

は、原点の周りの半径の円板に収束します。次に、座標変換を使用して、これは単位円板上の冪級数として表すことができます。次に、を反転すると、これは、原点に極を持つ可能性のある冪級数の環です。これは、原点を取り除いた開円板として位相的に表されます。 上のスキームの射については、これは可換図によって与えられます。${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))}$${\displaystyle \Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}}$

そうすると、適切性の評価基準は、 のイメージ内の点を埋めることになるでしょう。 ${\displaystyle 0\in \Delta }$${\displaystyle \Delta ^{*}}$

閉じたコンパクト多様体と類似した空間でなぜ妥当性の評価基準が成り立つのかを知るには、反例を見るのが有益である。 と を取ると、のアフィンチャートを介して射影が因数分解され、図は次のように簡約される。${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}}$${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))\to X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}$

の周りを中心とするグラフです。これにより、可換代数の可換図が得られます。${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}}$

すると、スキームの図 を持ち上げるということは、代数の可換図からを送る射が存在することを意味します。もちろん、これは起こり得ません。したがって、は 上で適切ではありません。 ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]}$${\displaystyle t\mapsto t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

適切性の評価基準に関する類似の例がもう1つあり、この定理が成り立つ理由についての直感の一部を捉えています。曲線と点の補曲線を考えてみましょう。適切性の評価基準は図のようになります。${\displaystyle C}$${\displaystyle C-\{p\}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

を持ち上げることによって得られる。幾何学的には、これはスキーム内のすべての曲線がコンパクト曲線に完成できることを意味する。この直感は、コンパクトファイバーを持つ位相空間の射のスキーム理論的解釈、つまりファイバーの1つにおける列は必ず収束するという解釈と一致している。この幾何学的状況は局所的な問題であるため、図はDVRである局所環とその分数体を見ることで置き換えられる。すると、持ち上げ問題は可換図を与える。${\displaystyle C\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}}$${\displaystyle {\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

ここで、このスキームは、閉じた点が除去された周囲の局所ディスクを表します。 ${\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

を局所ノイザン形式スキーム間の射とします。( i) fが進射（つまり、定義のイデアルを定義のイデアルに写す）であり、(ii) 誘導写像が適切であり、 Kがの定義のイデアルである場合、f が適切である、または上で適切であるということになります。(EGA III、3.4.1) 定義はKの選択に依存しません。 ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$${\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}}$${\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I),S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K),I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

たとえば、g : Y → Zが局所ノイザンスキームの適切な射であり、Z _0がZの閉部分集合であり、Y _0がg ( Y ₀ ) ⊂ Z ₀となるようなYの閉部分集合である場合、形式完備化上の射は形式スキームの適切な射です。 ${\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}}$

グロタンディークは、この設定でコヒーレンス定理を証明した。つまり、を局所ノイザン形式スキームの適切な射とする。Fが上のコヒーレント層であれば、高次の直接像はコヒーレントである。^[11]${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$

• 適切な基底変換定理
• シュタイン因数分解

• SGA1 Revêtements étales et groupe Fondamental、1960 ～ 1961 年(Étale のカバーと基礎グループ)、数学講義ノート 224、1971
• コンラッド、ブライアン(2007)、「ドリーニュのナガタコンパクト化に関するノート」(PDF)、ラマヌジャン数学協会誌、22 : 205–257、MR  2356346
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的計算手法: II. 射影クラスの世界的手法の練習」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。8 : 5–222。土井：10.1007/bf02699291。MR  0217084。、セクション 5.3. (適切性の定義)、セクション 7.3. (適切性の評価基準)
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的要素の要素: III. 顔合わせのコホモロジーの練習、初演パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。11 : 5–167。土井：10.1007/bf02684274。MR  0217085。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1966)。 「幾何学的手法の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、トロワジエム パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。28：5-255。土井：10.1007/bf02684343。MR  0217086。、第15.7節。（評価基準の一般化は必ずしもノイザンスキームには限らない）
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。32 : 5–361。土井：10.1007/bf02732123。MR  0238860。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• 劉, 青 (2002)、代数幾何学と算術曲線、オックスフォード:オックスフォード大学出版局、ISBN 9780191547805、MR  1917232

• VI Danilov (2001) [1994]、「固有写像」、数学百科事典、EMS Press
• スタックス プロジェクト 著者、スタックス プロジェクト