横断性

数学において、横断性とは空間がどのように交差するかを記述する概念です。横断性は接線の「反対」と見なすことができ、一般位置において重要な役割を果たします。これは微分位相における一般的な交差の概念を形式化したものです。交差点における交差する空間の線形化を考慮することで定義されます。

与えられた有限次元の滑らかな多様体の2 つの部分多様体は、交点の任意の点で、その点におけるそれぞれの接空間を合わせて、その点における周囲の多様体の接空間を生成する場合に、横断的に交差すると言われます。 ^{[ 1 ]} 交差しない多様体は、空虚に横断的です。多様体の次元が相補的である場合 (つまり、それらの次元の合計が周囲の空間の次元になる場合)、この条件は、周囲の多様体への接空間が、2 つのより小さい接空間の直和であることを意味します。交差が横断的である場合、その交差は、余次元が 2 つの多様体の余次元の合計に等しい部分多様体になります。横断性の条件がない場合、交差は部分多様体にならない可能性があり、何らかの特異点を持つ可能性があります。

特に、これは相補的な次元を持つ横断的部分多様体が孤立点（すなわち、0次元多様体）で交差することを意味します。部分多様体と周囲の多様体の両方が向き付けられている場合、それらの交差も向き付けられます。交差が0次元の場合、向きは各点に対して単純にプラスまたはマイナスになります。

2つの部分多様体の横断的交差を表す表記法の1つ${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$与えられた多様体の${\displaystyle M}$は${\displaystyle L_{1}\ピッチフォーク L_{2}}$この表記は、次の2つの方法で読むことができます。${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$横断的に交差する」または集合論的交差の代替表記法${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$の${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$その交点が横断的である場合。この表記法では、横断性の定義は次のようになります。

${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}\iff \forall p\in L_{1}\cap L_{2},T_{p}M=T_{p}L_{1}\oplus T_{p}L_{2}.}$

部分多様体の横断性の概念は、像の交点の逆像に沿った接空間のプッシュフォワードが、周囲多様体の接空間全体を生成するかどうかを問うことで、部分多様体と周囲多様体への写像の横断性、または周囲多様体への写像のペアの横断性に容易に拡張できます。^{[ 2 ]} 写像が埋め込みである場合、これは部分多様体の横断性と同等です。

横断写像があると仮定します${\displaystyle f_{1}:L_{1}\to M}$そして${\displaystyle f_{2}:L_{2}\to M}$どこ${\displaystyle L_{1},L_{2}}$そして${\displaystyle M}$次元を持つ多様体である${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$そして${\displaystyle m}$それぞれ。

横断性の意味は、相対的な次元によって大きく異なります。${\displaystyle M,L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$横断性と接線性の関係が最も明確になるのは、${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$。

3つの異なるケースを検討してみましょう。

1. いつ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}<m}$イメージは不可能です${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$の接空間を張る${\displaystyle M}$の任意の点における接空間。したがって、 と の任意の交点${\displaystyle f_{1}}$そして${\displaystyle f_{2}}$横断的であってはならない。しかし、交差しない多様体は自明にこの条件を満たすため、横断的に交差すると言える。
2. いつ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$、イメージ${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$の接空間は直接合計されなければならない${\displaystyle M}$の交点における接空間。したがって、それらの交点は孤立点から構成され、つまりゼロ次元多様体である。${\displaystyle L_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$それらが方向付けられている場合、そのような各点に符号を割り当てることができます。
3. いつ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}>m}$この合計は直接的である必要はありません。実際、直接的であることはできません。${\displaystyle f_{1}}$そして${\displaystyle f_{2}}$埋め込み部分多様体の場合と同様に、それらの交点では埋め込みとなる。マップが埋め込みである場合、それらのイメージの交点は次元の多様体となる。${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}-m.}$

任意の 2 つの滑らかな部分多様体が与えられたとき、どちらか一方を任意の小さな量だけ摂動させて、結果として得られる部分多様体が固定された部分多様体と横断的に交差するようにすることが可能です。このような摂動は、多様体またはその交差のホモロジー類には影響を与えません。たとえば、相補的な次元の多様体が横断的に交差する場合、多様体を別の横断的交差に同位化しても、それらの交点の数の符号付き和は変わりません。（交点は、符号を無視して 2 を法として数えることで、より粗い不変量を得ることができます。）これは、任意の次元のホモロジー類上の双線形交差積に帰着し、これはコホモロジー上のカップ積のポアンカレ双対です。カップ積と同様に、交差積は次数付き可換です。

横断性の最も単純な非自明な例は、曲面上の弧である。2つの弧の交点は、それが接線でない場合、つまり曲面の接平面内の接線が互いに異なる場合に限り、横断的である。

3次元空間において、2つの曲線が交差するのは、それらの交点が空集合である場合に限られます。なぜなら、それらの接空間はせいぜい2次元空間しか生成できないからです。曲面に対して交差する曲線は点で交わり、曲面同士が交差する場合は曲線で交わります。ある点で曲面に接する曲線（例えば、曲面上にある曲線）は、曲面に対して横断的に交わることはありません。

より具体的な例を挙げると、${\displaystyle G}$は単純なリー群であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$はリー代数である。ヤコブソン・モロゾフの定理により、すべての冪零元は${\displaystyle e\in {\mathfrak {g}}}$含めることができる${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$-トリプル${\displaystyle (e,h,f)}$表現理論${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$私たちに教えてくれる${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},e]\oplus {\mathfrak {g}}_{f}}$空間${\displaystyle [{\mathfrak {g}},e]}$ 接空間は${\displaystyle e}$随伴軌道へ${\displaystyle {\rm {{Ad}(G)e}}}$そしてアフィン空間${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$の軌道と交差する${\displaystyle e}$横方向に。空間${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$ピーター・スロドウィにちなんで「スロドウィ・スライス」として知られている。

「Transversal」は名詞で、形容詞は「transverse」です。

JHC ホワイトヘッド、1959 年からの引用^{[ 3 ]}

Unicodeブロック「数学演算子」に含まれています。

• U+22D4 ⋔ピッチフォーク^{[ 4 ] [ 5 ]}

Unicodeブロック「補助数学演算子」に含まれています：^{[ 6 ]}

• U+2ADB ⫛横断交差^{[ 7 ] : iii, 74} ( LaTeX : stixパッケージ内^{[ 8 ]} )\mlcp
• U+2ADA ⫚ティートップ付き熊手^{[ 9 ] : xv, 28}

• 横断性定理

• トム、ルネ（1954年）。 「微分可能性の世界的な独自性」。コメント。数学。ヘルブ。 28 (1): 17–86 .土井: 10.1007/BF02566923。S2CID 120243638。 
• ギルマン、ヴィクター；ポラック、アラン（1974）。微分トポロジー。プレンティス・ホール。ISBN 0-13-212605-2。
• ハーシュ、モリス（1976）。微分トポロジー。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-90148-5。