フェルマー曲線

数学において、フェルマー曲線とは、複素射影平面上の代数曲線であり、同次座標（X：Y：Z）においてフェルマー方程式によって定義される。

${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\ }$

したがって、アフィン平面の観点から見ると、その方程式は次のようになる。

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1.\ }$

フェルマー方程式の整数解は、アフィン方程式の非ゼロ有理数解に対応し、その逆もまた然りです。しかし、フェルマーの最終定理によれば、（ n  > 2の場合）フェルマー方程式には非自明な整数解は存在しないことが分かっています 。したがって、フェルマー曲線には非自明な有理点が存在しません。

フェルマー曲線は非特異であり、種数は次のとおりです。

${\displaystyle (n-1)(n-2)/2.\ }$

これは、 n = 2 (円錐曲線)の場合は種数 0 、 n = 3 (楕円曲線)の場合は種数 1 であることを意味します。フェルマー曲線のヤコビ多様体は詳細に研究されています。これは、複素乗法を持つ単純アーベル多様体の積と同種です。

フェルマー曲線にもゴナリティがある。

${\displaystyle n-1.\ }$

多変数のフェルマー型方程式は、射影多様体としてフェルマー多様体を定義します。

• Baker, Matthew; Gonzalez-Jimenez, Enrique; Gonzalez, Josep; Poonen, Bjorn (2005)、「種数が2以上のモジュラー曲線の有限性に関する結果」、American Journal of Mathematics、127 (6): 1325–1387、arXiv : math/0211394、doi : 10.1353/ajm.2005.0037、JSTOR 40068023、S2CID 8578601  
• Gross, Benedict H.; Rohrlich, David E. (1978)、「フェルマー曲線のヤコビアンに関するモルデル・ヴェイユ群に関するいくつかの結果」(PDF)、Inventiones Mathematicae、44 (3): 201–224、doi : 10.1007/BF01403161、S2CID 121819622 、 2011年7月13日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み 
• クラッセン、マシュー・J. Debarre、Olivier (1994)、「滑らかな平面曲線上の低次数の点」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1994 (446): 81–88、arXiv : alg-geom/9210004、doi : 10.1515/crll.1994.446.81、S2CID 7967465 
• Tzermias, Pavlos (2004)、「Hurwitz-Klein曲線上の低次点」、Transactions of the American Mathematical Society、356 (3): 939–951、doi : 10.1090/S0002-9947-03-03454-8、JSTOR 1195002