対角射（代数幾何学）

代数幾何学では、スキームの射 が与えられたとき、対角射${\displaystyle p:X\to S}$

${\displaystyle \delta :X\to X\times _{S}X}$

は、恒等写像と恒等写像に適用されたpとpのファイバー 積の普遍性によって決定される写像です。 ${\displaystyle X\times _{S}X}$${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$${\displaystyle 1_{X}}$

これはグラフ射の特殊なケースです。S上の射が与えられると、そのグラフ射はと恒等写像によって誘導されます。対角埋め込みは のグラフ射です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1_{X}}$${\displaystyle 1_{X}}$

定義により、対角射が閉じた浸漬である場合、 X はS上の分離スキーム(は分離射)です。また、有限表示の局所的射は、対角埋め込みが開いた浸漬である場合に限り、 非分岐射です。${\displaystyle p:X\to S}$${\displaystyle p:X\to S}$

例として、代数的に閉じた体k上の代数多様体と構造写像を考えます。すると、X をそのk -有理点の集合と同一視すると、が与えられます。ここから対角射という名前が付けられます。 ${\displaystyle p:X\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}}$${\displaystyle \delta :X\to X\times _{k}X}$${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$

分離射とは、と自身とのファイバー積が、その対角線を閉じた部分スキームとして持つ射です。言い換えると、対角射は閉じた浸漬です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

その結果、スキーム内のの対角線との積が閉じた浸漬である場合、スキームは分離されます。相対的な観点を強調すると、一意の射が分離されている場合、スキームは分離されていると定義するのと同等になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$

位相空間 Yがハウスドルフ空間であるためには、対角埋め込み

${\displaystyle Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y,\,y\mapsto (y,y)}$

は閉じている。代数幾何学では、ハウスドルフ空間であるスキームは必然的に空またはゼロ次元であるため、上記の定式化が使用されます。位相的コンテキストと代数幾何学的コンテキストの違いは、ファイバー積（スキームのカテゴリ内）の位相構造から生じ、これは位相空間の積とは異なります。 ${\displaystyle X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X}$

任意のアフィンスキームSpec A は分離されています。対角線が環の射影写像に対応するためです (したがって、スキームの閉じた浸漬です)。

${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'}$。

を、原点を除いて恒等写像を通して2つのアフィン直線を同一視することによって得られるスキームとします（接着スキーム#例を参照）。これは分離されていません。^[1]実際、対角射像の像には2つの原点があり、その閉包には4つの原点が含まれます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S\to S\times S}$

滑らかな多様体X上の代数的サイクルの交差積を定義する古典的な方法は、それらの直積を対角線と交差（制限）することです。正確には、 ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)}$

対角埋め込みに沿ったプルバックはどこにあるか。 ${\displaystyle \delta^{*}}$${\displaystyle \delta :X\to X\times X}$

• 通常の埋め込み
• 対角射影

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157