スキームによって表される関数

代数幾何学において、スキーム Xによって表される関数は、スキームのカテゴリ上の 集合値反変関数であり、各スキ​​ームSにおける関数の値は（自然単射を除いて）すべての射の集合である。関数Fは、 Xの点の関数と自然に同値であるとされ、スキームX は関数Fを表し、Fによって与えられたS上の幾何学的対象を分類すると言われる。^[1] ${\displaystyle S\to X}$

S上のある幾何学的対象を生成する関数は、スキームXによって表されることがある。たとえば、S をS上のすべての直線束(またはより正確にはn次元線型システム) の集合に送る関数は、射影空間 によって表される。別の例としては、スキームYのヒルベルト スキームXがあり、これはスキームSをS上の平坦族である閉じた部分スキームの集合に送る関数を表す。^[2]${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle Y\times S}$

アプリケーションによっては、特定の関数を表すスキームが見つからない場合があります。このため、スタックという概念が生まれました。これは関数ではありませんが、幾何学的空間であるかのように扱うことができます。(ヒルベルト スキームはスタックではなくスキームです。これは、非常に大まかに言えば、閉じたスキームでは変形理論がより単純になるためです。)

いくつかのモジュライ問題は、形式的な解（多項式代数解ではなく）を与えることによって解決され、その場合、結果として得られる関数は形式的なスキームによって表されます。そのような形式的なスキームは、いくつかの同型まで同じ関数を表現できるスキームがある場合、代数化可能であると言われます。

この概念は代数位相幾何学における分類空間の類似物であり、空間S上の各主Gバンドルは（自然同型を除いて）何らかの写像 に沿った普遍バンドルの引き戻しである。S 上の主Gバンドルを与えることは、Sから分類空間 への写像（分類写像と呼ばれる）を与えることと同じである。 ${\displaystyle EG\to BG}$${\displaystyle S\to BG}$${\displaystyle BG}$

代数幾何学における同様の現象は線型システムによって与えられます。つまり、基底多様体Sから射影空間への射を与えることは、 S上の基底点のない線型システム（または同等の直線束）を与えることと同値です。つまり、射影空間X はS上のすべての直線束を与える関数を表します。 ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

米田の補題によれば、スキームXは点の関数を決定し、また点の関数によって決定される。^[3]

X をスキームと する。その点の関数は関数

Hom(−, X ) : (アフィンスキーム) ^op  ⟶ 集合

アフィンスキームYをスキームマップ の集合に送信する。^[4]${\displaystyle Y\to X}$

スキームは、その点の関数によって同型性を除いて決定されます。これは、X がHom(−, X ) : Schemes ^op → Setsのマップによって決定されるというYoneda の補題のより強いバージョンです 。

逆に、関数F  : (アフィンスキーム) ^op  → 集合が何らかのスキームの点の関数となるのは、Fが(アフィンスキーム)上のザリスキ位相に関して層であり、Fがアフィンスキームによる開被覆を持つ場合のみである。^[5]

X を基本環B上のスキームとする。x がXの集合論的点である場合、剰余体は 局所環の剰余体（すなわち、最大イデアルによる商）である。たとえば、X がアフィンスキーム Spec( A )であり、 x が素イデアルである場合、 xの剰余体は閉じた部分スキームの関数体である。 ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})}$

簡単にするために、 と仮定します。すると、集合論的な点x をXに含めることは、環準同型に対応します。 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$

${\displaystyle A\to k(x)}$

(つまり、の場合です。) ${\displaystyle A\to A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle x={\mathfrak {p}}}$

上記は可換バナッハ代数のスペクトルと比較する必要があります。

ファイバー積の普遍的性質により、スキームXの各R点はRスキーム の射を決定する。

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\to X_{R}{\overset {\mathrm {def} }{=}}X\times _{\operatorname {Spec} (B)}\operatorname {Spec} (R)}$;

すなわち、投影の切断である。SがX ( R )のサブセットである場合、Sの要素によって決定される切断の像の集合に対してはと書くことができる。^[6]${\displaystyle X_{R}\to \operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle |S|\subset X_{R}}$

を体k上の双対数環の Spec とし、X をk上のスキームとします。すると、それぞれは、写像の閉点の像である点におけるXへの接ベクトルになります。 ^[1]言い換えると、はXへの接ベクトルの集合です。 ${\displaystyle D=\operatorname {Spec} (k[t]/(t^{2}))}$${\displaystyle D\to X}$${\displaystyle X(D)}$

をスキーム によって表される関手とします。同型 のもとで、恒等写像 に対応するの唯一の元が存在します。この唯一の元は普遍対象または普遍族 (分類される対象が族である場合)として知られています。普遍対象はテンプレートとして機能し、そこから任意のスキームの他のすべての元がからへの射に沿った引き戻しによって導出されます。^[1]${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)\cong {\text{Hom}}(X,X)}$${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle {\text{id}}_{X}:X\to X}$${\displaystyle F(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• モジュライ空間
• ワイル制限
• 有理点
• 胴体に沿った下降

• デイヴィッド・マンフォード(1999)。『多様体とスキームのレッドブック: 曲線とそのヤコビアンに関するミシガン講義 (1974) を含む』。数学講義ノート。第 1358 巻 (第 2 版)。Springer-Verlag。doi :10.1007/b62130。ISBN 3-540-63293-X。
• Lurie, Jacob. 「講義 14: ボレル還元の存在 (I)」(PDF)。
• Shafarevich, Igor (1994). Basic Algebraic Geometry, Second, 改訂・拡張版, Vol. 2 . Springer-Verlag.
• シャファレヴィッチ、イゴール R. (2013)。基本的な代数幾何学 2．土井：10.1007/978-3-642-38010-5。ISBN 978-3-642-38009-9。

• http://www.math.washington.edu/~zhang/Shanghai2011/Slides/ardakov.pdf