接着方式

代数幾何学では、既存のスキーム同士を接着写像によって接着することで、新しいスキーム（例えば代数多様体）を得ることができます。

（無限の可能性がある）スキームの族があり、ペア に対して、開集合と同型 が存在するとします。ここで、同型が次の意味で互換性がある場合：各 に対して、 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle U_{ij}}$${\displaystyle \varphi _{ij}:U_{ij}{\overset {\sim }{\to }}U_{ji}}$${\displaystyle i,j,k}$

1. ${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{ji}^{-1}}$、
2. ${\displaystyle \varphi _{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})=U_{ji}\cap U_{jk}}$、
3. ${\displaystyle \varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}=\varphi _{ik}}$の上、${\displaystyle U_{ij}\cap U_{ik}}$

すると、スキームXが存在し、次のような射が存在する。 ^[1]${\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\to X}$

1. ${\displaystyle \psi_{i}}$はXの開集合への同型であり、
2. ${\displaystyle X=\cup _{i}\psi _{i}(X_{i}),}$
3. ${\displaystyle \psi _{i}(U_{ij})=\psi _{i}(X_{i})\cap \psi _{j}(X_{j}),}$
4. ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}}$の上。${\displaystyle U_{ij}}$

を体k上のアフィン直線の 2 つのコピーとする。を原点の補集合とし、同様に定義される。Zを で与えられる同型に沿って貼り付けることで得られるスキームを表す。Zの開集合と同一視する。^[2]ここで、アフィン環はどちらも 1 変数の多項式環であり、 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (k[t])\simeq \mathbb {A} ^{1},Y=\operatorname {Spec} (k[u])\simeq \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle X_{t}=\{t\neq 0\}=\operatorname {Spec} (k[t,t^{-1}])}$${\displaystyle Y_{u}=\{u\neq 0\}}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}$${\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z}),\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})}$

${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s]}$そして${\displaystyle \Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s^{-1}]}$

ここで、2 つの環は関数体 の部分環として見られます。しかし、これは を意味します。なぜなら、定義により、 は、アフィン環が上記の形式である 2 つの開いたアフィン チャートによって覆われているからです。 ${\displaystyle k(Z)=k(s)}$${\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

を上記の例のようにみなします。ただし今回は、によって与えられた同型性に沿ってを接着することによって得られるスキームを表すものとします。^[3]したがって、幾何学的には、は原点以外の 2 本の平行線を同一視することによって得られます。つまり、これは 2 倍の原点を持つアフィン直線です。( Z は分離されたスキームではないことが示されます。) 対照的に、2 本の線が、一方の線上の原点がもう一方の線上の(錯覚的な)無限遠点に対応するように接着される場合、つまり同型性 を使用すると、結果として得られるスキームは、少なくとも視覚的には、射影直線 になります。 ${\displaystyle X,Y,X_{t},Y_{u}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle X_{t}\simeq Y_{u}}$${\displaystyle t\leftrightarrow u}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle t^{-1}\leftrightarrow u}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

スキームのカテゴリは有限プルバックと、場合によっては有限プッシュアウトを許容します。^[4]これらは両方ともアフィンスキームを接着することによって構築されます。アフィンスキームの場合、ファイバー積とプッシュアウトは、代数のテンソル積とファイバー平方に対応します。

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• Vakil, Ravi (2017 年 11 月 18 日)。「数学 216: 代数幾何学の基礎」。

• スタックプロジェクト、26.14 接着スキーム