算術面

数学において、分数体を持つデデキント域R上の算術曲面は、1 つの通常の次元と、素数の無限性によって提供されるもう 1 つの次元を持つ幾何学的オブジェクトです。Rが整数Zの環である場合、この直感は素イデアル スペクトルSpec( Z ) が直線に類似していると見なされることに依存します。 算術曲面は、ディオファントス幾何学で自然に生じ、K上で定義された代数曲線が、ほとんどすべてのPに対して、体R / P上の簡約を持つと考えられる場合、PはRの素イデアルです。 また、最も単純な方法が意味をなさない場合に、 R / Pへの簡約のプロセスで何が起こるべきかを指定するのに役立ちます。 ${\displaystyle K}$

このようなオブジェクトは、より正式には、一般的なファイバーに対する非特異な連結射影曲線と、特殊ファイバーに対する適切な留数体上の曲線（おそらく既約、特異、非既約）の和集合を持つR スキームとして定義できます。 ${\displaystyle C/K}$

より詳しくは、算術曲面 （デデキント領域上）は、以下の性質を持つ射を伴うスキームである：は整式、正規、優れた、平坦、および上で有限型であり、ジェネリックファイバーは 上の非特異連結射影曲線であり、内の他の に対してである。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p:S\rightarrow \mathrm {Spec} (R)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathrm {Frac} (R)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$

${\displaystyle S{\underset {\mathrm {Spec} (R)}{\times }}\mathrm {Spec} (k_{t})}$

は 上の曲線の和集合である。^[1]${\displaystyle R/t}$

さらに一般化すると、算術曲面はデデキントスキーム上で定義することができ、その典型的な例は数体の整数環のスペクトル（上記の場合）である。算術曲面は、次元 1 のデデキントスキーム上の正則ファイバー面である。^[2]この一般化は有用であり、たとえば、正の特性において重要な、有限体上で滑らかで射影的な基本曲線を許容する。

デデキント域上の算術曲面は、代数曲線上のファイバー曲面の算術的類似物である。^[1]算術曲面は主に数論の文脈で生じる。^[3]実際、 数体上の 曲線が与えられたとき、そのジェネリックファイバーが と同型である 整数環上の算術曲面が存在する 。高次元では算術スキームも考慮されることがある。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle O_{K}}$${\displaystyle X}$

算術曲面は次元2を持ち、その基底に対して相対次元が1である。^[1]

次元 1 のすべての局所環は正則なので、算術曲面上のヴェイユ因子の理論を展開することができます。これは簡単に言うと、「算術曲面は余次元 1 で正則である」と表現されます。^[1]この理論は、たとえばハーツホーンの代数幾何学で展開されています。^[4]

デデキント領域上の射影直線は、上の滑らかな真算術曲面である。任意の極大イデアル上のファイバーは、体上の射影直線である^[5]${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}.}$

楕円曲線のネロンモデルは、もともと大域体上で定義されており、この構成の例であり、算術曲面の例としてよく研究されている。^[6]楕円ファイバーとの強い類似性がある。

2 つの異なる既約因子と算術曲面の特殊ファイバー上の閉じた点が与えられた場合、任意の代数曲面の場合と同様に、その点における因子の局所交差インデックスを定義できます。つまり、ある点における局所環の特定の商の次元です。^[7]次に、これらの局所インデックスを加算して、グローバル交差インデックスを取得します。線形同値因子が同じ交差インデックスを与えることを保証しようとすると、理論は代数曲面の理論から逸脱し始めます。これは、たとえば因子の交差インデックスをそれ自体で計算する場合に使用されます。算術曲面の基本スキームが「コンパクト」でない場合、これは失敗します。実際、この場合、線形同値性により交差点が無限に移動することもあります。^[8] この問題の部分的な解決法は、交差させたい因子の集合を制限することです。特に、少なくとも 1 つの因子を「フィブラル」(すべての成分が特別なファイバーの成分) にすることで、他の望ましい特性の中でも、この特性を持つ一意の交差ペアリングを定義できます。^[9]完全な解決法は、アラケロフ理論によって与えられます。

アラケロフ理論は、上記の問題に対する解決策を提示している。直感的には、 Kのアルキメデスの絶対値ごとにファイバーを追加することで、ファイバーを無限に追加できる。すると、完全な因子群に拡張される局所交差ペアリングを定義でき、線形同値性の下での望ましい不変性が得られる。^[10]

• 算術とディオファントス幾何学の用語集
• アラケロフ理論
• ネロンモデル

• ハーツホーン、ロビン(1977)。代数幾何学。数学大学院テキスト。第 52 巻。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-90244-9.ZBL0367.14001  。​
• Qing Liu (2002)。代数幾何学と算術曲線。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-850284-2。
• アイゼンバッド、デイビッド、ハリス、ジョー（2000）。スキームの幾何学。数学の大学院テキスト。第197巻。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-98637-5.ZBL0960.14002  。​
• ラング、セルジュ(1988)。アラケロフ理論の紹介。ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 0-387-96793-1. MR  0969124. Zbl  0667.14001.
• シルバーマン、ジョセフ H. (1994)。楕円曲線の算術における高度なトピック。数学の大学院テキスト。第 151 巻。Springer - Verlag。ISBN 0-387-94328-5.ZBL0911.14015  。​
• Soulé, C.; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F.; Kramer, Jürg (1992). Lectures on Arakelov Geometry . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 33. H. Gillet との共著。ケンブリッジ: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47709-3.ZBL0812.14015  。​