三角形の解

三角形の解（ラテン語：solutio triangulorum）は、三角形の特性（角度と辺の長さ）の一部がわかっている場合に、それらを求める主要な三角法の問題です。三角形は、平面または球面上に配置できます。三角形の解を必要とするアプリケーションには、測地学、天文学、建設、航海などがあります。

一般的な三角形には、6 つの主な特徴があります (図を参照)。3 つの線状 (辺の長さa、b、c ) と 3 つの角度 ( α、β、γ ) です。古典的な平面三角法の問題は、6 つの特徴のうち 3 つを指定して、残りの 3 つを決定することです。次のいずれかが与えられた場合、三角形はこの意味で一意に決定できます。^{[1] [2]}

• 三面（SSS）
• 2 辺と内角 ( SAS、辺-角-辺)
• 2 つの辺と、その間に含まれない角度 ( SSA ) において、角度に隣接する辺の長さが他の辺の長さよりも短い場合。
• 辺とそれに隣接する 2 つの角 ( ASA )
• 辺、その辺に対向する角、およびその辺に隣接する角 ( AAS )。

平面上のすべてのケースにおいて、少なくとも 1 つの辺の長さを指定する必要があります。角度のみが与えられた場合、相似三角形はすべて解となるため、辺の長さを決定することはできません。

この問題を解決する標準的な方法は、基本的な関係を使用することです。

余弦定理$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}$$

正弦の法則$${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$$

角度の合計

$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$$

接線の法則$${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$$

他にも（時には実用的に役立つ）普遍的な関係として、余接の法則やモルワイデの公式などがあります。

1. 未知の角度を求めるには、正弦定理よりも余弦定理の方が安全です。その理由は、三角形の角度の正弦の値では、この角度が一意に決まらないからです。たとえば、 sin β = 0.5の場合、角度β は30° または 150° のいずれかになります。余弦定理を使用すると、この問題を回避できます。0° から 180° の範囲内では、余弦値によって角度が明確に決まります。一方、角度が小さい (または 180° に近い) 場合は、逆余弦関数の導関数が 1 (または -1) で発散するため、角度を余弦よりも正弦から決定する方が数値的に確実です。
2. 指定された特性の相対的な位置がわかっていると仮定します。そうでない場合は、三角形の鏡映も解になります。たとえば、3 辺の長さによって三角形またはその鏡映が一意に定義されます。

3辺の長さa、b、cを指定すると、角度α、βを求めるために余弦定理を使用することができる：^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}$$

すると、角度γ = 180° − α − βとなります。

いくつかの情報源では、角度β を正弦定理から求めることを推奨していますが、（上記の注 1 に記載されているように）鋭角の値と鈍角の値を混同するリスクがあります。

既知の辺から角度を計算する別の方法は、余接の法則を適用することです。

ヘロンの公式を用いた面積： ここで${\displaystyle A={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

半周長を使用しないヘロンの公式: ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb)(a+bc)}}{4}}}$

ここで、辺a、bの長さと、これらの辺の間の角度γは分かっています。3番目の辺は余弦定理から決定できます: ^[4] 次に、余弦定理を使用して2番目の角度を見つけます: 最終的に、β = 180° − α − γとなります。 $${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$$$${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$$

このケースは、すべてのケースで解けるわけではありません。角に隣接する辺の長さが他の辺の長さよりも短い場合にのみ、解が一意であることが保証されます。2つの辺b、c、および角βが既知であると仮定します。角γの式は、正弦定理から次のように推測できます。^[5] さらに、D = ⁠$${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$$ｃ/b⁠ sin β (式の右側)。次の 4 つのケースが考えられます。

1. D > 1の場合、辺b が線分BCに達しないため、そのような三角形は存在しません。同じ理由で、角度β ≥ 90°かつb ≤ cの場合、解は存在しません。
2. D = 1の場合、唯一の解が存在します: γ = 90°、つまり三角形は直角です。
3. D < 1の場合、2 つの選択肢が考えられます。
   1. b ≥ cの場合、β ≥ γです (大きい辺は大きい角度に対応します)。2 つの鈍角を持つ三角形は存在しないため、γ は鋭角であり、解γ = arcsin Dは一意です。
   2. b < cの場合、角度γ は鋭角 ( γ = arcsin D )または鈍角 ( γ ′ = 180° − γ )になります。右の図は、点C、辺b、角度γを最初の解として示し、点C ′、辺b ′、角度γ ′を2 番目の解として示しています。

γが得られると、3番目の角度α = 180° − β − γ となります。

3 番目の辺は正弦定理から次のように求められます。 $${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$$

または余弦定理から： $${\displaystyle a=c\cos\beta\pm {\sqrt{b^{2}-c^{2}\sin^{2}\beta}}}$$

既知の特性は、辺 cと角度α、βです。3 番目の角度γ = 180° − α − βです。

2つの未知の辺は正弦定理から計算できる。^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}\\[4pt]b&=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}$$

AAS 三角形を解く手順は、ASA 三角形の場合と同じです。まず、三角形の角度の合計特性を使用して 3 番目の角度を見つけ、次に正弦定理を使用して他の 2 辺を見つけます。

多くの場合、三角形は、三角形の中線の長さ、高さ、または角の二等分線など、3つの情報があれば解くことができます。PosamentierとLehmann ^[7]は、95の異なるケースそれぞれについて、平方根以下（つまり、構成可能性）を使用して解けるかどうかの質問の結果をリストしています。これらのうち63は構成可能です。

一般的な球面三角形は、6 つの特性のうち 3 つ (3 つの辺と 3 つの角度) によって完全に決定されます。球面三角形の辺a、b、cの長さは中心角で、線形単位ではなく角度単位で測定されます。(単位球面上では、角度 (ラジアン単位) と球面の周りの長さは数値的に同じです。他の球面上では、角度 (ラジアン単位) は球面の周りの長さを半径で割った値に等しくなります。)

球面幾何学は平面ユークリッド幾何学とは異なり、球面三角形の解法は異なる規則に基づいて構築されます。たとえば、3 つの角度 α + β + γの合計は三角形の大きさによって異なります。さらに、相似三角形は不等になることはないため、指定された 3 つの角度を持つ三角形を作成する問題には一意の解があります。問題を解くために使用される基本的な関係は、平面の場合と同様です。球面余弦法則と球面正弦法則を参照してください。

他にも役に立つ関係としては、半辺の公式とネイピアの類推がある: ^[8] $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a+\,b)\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \ \!\cos {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \,\sin {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b).\end{aligned}}}$$

既知: 辺a、b、c (角度単位)。三角形の角度は球面余弦法則を使用して計算されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}},\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}},\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}.\end{aligned}}}$$

既知: 辺a、bとそれらの間の角度γ。辺c は球面余弦定理から求められます。 $${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$$

角度α、β は上記のように計算するか、ネイピアの類推を使用して計算できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b+a)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b-a)}},\\[4pt]\beta &=\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a+b)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a-b)}}.\end{aligned}}}$$

この問題は、緯度と経度で指定された地球上の 2 点間の大円を見つける ナビゲーション問題で発生します。このアプリケーションでは、丸め誤差の影響を受けない式を使用することが重要です。この目的のために、次の式 (ベクトル代数を使用して導出できます) を使用できます。 これらの式の分子と分母の符号を使用して、逆正接の象限を決定する必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\[4pt]\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\[4pt]\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$$

この問題は、すべての場合に解けるわけではありません。角度に隣接する辺の長さが他の辺の長さよりも短い場合にのみ、解が一意であることが保証されます。既知: 辺b、c 、およびそれらの間の 角度β 。次の条件が満たされる場合、解が存在します。 角度γ は、球面正弦法則から見つけることができます。 平面の場合、b < cであれば、2 つの解があります: γと180° - γ。 $${\displaystyle b>\arcsin \!{\bigl (}\sin c\,\sin \beta {\bigr )}.}$$$${\displaystyle \gamma =\arcsin {\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}.}$$

ネイピアの類推を使うと他の特徴も見つかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(b-c)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(b-c)}}\right].\end{aligned}}}$$

辺cと角度α、β が分かっています。まず、球面余弦定理を使用して角度γ を決定します。 $${\displaystyle \gamma =\arccos \!{\bigl (}\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta {\bigr )}.\,}$$

球面余弦定理から2つの未知の辺を見つけることができます（計算された角度γを使用）。

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }},\end{aligned}}}$$

あるいはネイピアの類推を使うと: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan {\frac {2\sin \alpha }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta +\alpha )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta -\alpha )}},\\[4pt]b&=\arctan {\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$$

辺aと角度α、β が分かっています。辺b は球面正弦法則から求められます。 $${\displaystyle b=\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

辺aの角度が鋭角でα > βの場合、別の解が存在します。 $${\displaystyle b=\pi -\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

ネイピアの類推を使うと他の特徴も見つかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\frac {1}{2}}(a-b)}}\right].\end{aligned}}}$$

既知の値: 角度α、β、γ。球面余弦定理から次のことが推測されます: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }},\\[4pt]c&=\arccos {\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}$$

上記のアルゴリズムは、三角形の角度の 1 つ (たとえば、角度C ) が直角である場合、はるかに簡単になります。このような球面三角形は 2 つの要素によって完全に定義され、他の 3 つはネイピアの五角形または次の関係 を使用して計算できます。

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$（球面正弦法則より）

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$（球面余弦定理より）

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$（これも球面余弦定理から）

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

三角測量によって海岸から遠く離れた船までの距離d を測定する場合、既知の距離lを持つ 2 つの点を海岸にマークします(基線)。α 、β を基線と船の方向の間の角度とします。

上記の式（ASA の場合、平面幾何学を想定）から、三角形の高さとして距離を計算できます。 $${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$$

球面の場合、まずASA 式を使用して 、点αから船までの辺の長さ (つまり、βの反対側の辺) を計算し 、これを AAS 式に代入して、角αと辺bおよびd を含む直角部分三角形を求めます。 (平面式は、実際には球面解のd をℓの累乗でテイラー展開した最初の項です。) $${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},}$$$${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$$

この方法はカボタージュで使用されます。角度α、β は船から見慣れたランドマークを観察することによって定義されます。

別の例として、山や高い建物の高さh を測りたい場合、地上の 2 点から頂上までの角度α、β を指定します。ℓをこれらの点間の距離とします。同じ ASA の場合の式から次の式が得られます。 $${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}$$

地球上の2点間の距離を計算するには、

点A: 緯度λ _A、経度L _A、および

地点 B: 緯度λ _B、経度L _B

球面三角形ABC を考えます。ここでCは北極です。いくつかの特性は次のとおりです。2 辺と夾角が与えられている場合、公式から次の式が得られます 。 ここでRは地球の半径です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}.}$$

• 合同
• ハンセンの問題
• ヒンジ定理
• レナート球
• スネリウス・ポテノ問題

• ユークリッド（1956）[1925]。サー・トーマス・ヒース（編）。『13の元素』第1巻。序文と解説付き翻訳。ドーバー。ISBN 0-486-60088-2。

• Trigonometric Delights、Eli Maor著、プリンストン大学出版、1998 年。電子書籍版、PDF 形式、全文掲載。
• アルフレッド・モンロー・ケニオンとルイス・インゴールド著『三角法』、マクミラン社、1914年。画像と全文を掲載。Google ブック。
• Math World の球面三角法。
• 球面三角法入門。ネイピア円とネイピアの法則についての解説を含む
• 球面三角法 - 大学や学校での使用を目的とした、I. Todhunter、MA、FRS 著の歴史的数学モノグラフ。コーネル大学図書館に掲載されています。
• Triangulator – 三角形ソルバー。入力データを最小限に抑えて、任意の平面三角形の問題を解きます。解かれた三角形の描画。
• TriSph – 球面三角形を解くための無料ソフトウェア。さまざまな実用的なアプリケーションに合わせて設定可能で、測地用に構成されています。
• 球面三角形計算機– 球面三角形を解きます。
• TrianCal – 三角形ソルバー、Jesus S.