ピタゴラス数列を生成するための公式

ユークリッドの公式以外にも、ピタゴラスの三つ組を生成するための 多くの公式が開発されてきました。

ユークリッド、ピタゴラス、プラトンの三つ組を計算する公式は、ここで説明されています。

以下の方法はさまざまな情報源に登場しますが、多くの場合、その出所は明記されていません。

レオナルド・ダ・ヴィンチ（ 1170年頃～  1250 年頃）は、連続する奇数の整数列と、この列の最初のn項の和が であるという事実を利用して、原始的な三つ組を生成するこの手法^[ 1 ] [ 2 ^{] を説明した。k}がこの列のn番目の要素である場合、 となる。 ${\displaystyle 1,3,5,7,9,11,\ldots }$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n=(k+1)/2}$

この数列 ( ) から任意の奇数の平方数k を選択し、この平方数を数列のn番目の項とします。また、を前の項の合計とし、 をすべてのn項の合計とします。すると、 が確立され、原始的な 3 つ組[ a, b, c ]が生成されます。この方法では、無限の数の原始的な 3 つ組が生成されますが、そのすべてが生成されるわけではありません。 ${\displaystyle k=a^{2}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle c^{2}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

例: を選択します。この奇数の平方数は、 であるため、数列の 5 番目の項です。前の 4 つの項の合計は であり、すべての項の合計は であり、原始的な 3 つの項[ a, b, c ] = [3, 4, 5]となります。 ${\displaystyle k=9=3^{2}=a^{2}}$${\displaystyle 5=n=(a^{2}+1)/2}$${\displaystyle b^{2}=4^{2}}$${\displaystyle n=5}$${\displaystyle c^{2}=5^{2}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

マイケル・スティフェルは1544年に次の方法を発表しました。^{[3] [4]}を持つ帯分 数列を考えてみましょう。ピタゴラス数を計算するには、この数列の任意の項を取り、それを仮分数に変換します（帯分数 の場合、対応する仮分数は です）。すると、その分子と分母は直角三角形の辺bとaになり、斜辺はb + 1になります。例えば、 ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}},\,2{\tfrac {2}{5}},\,3{\tfrac {3}{7}},\,4{\tfrac { 4}{9}},\,\ldots }$${\displaystyle a_{n}=n+{\tfrac {n}{2n+1}}}$${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$

${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}}\rightarrow [3,4,5],\;2{\tfrac {2}{5}}\rightarrow [5,12,13],\;3{\tfrac {3}{7}}\rightarrow [7,24,25],\;4{\tfrac {4}{9}}\rightarrow [9,40,41],\;\ldots }$

ジャック・オザナム^[5]は1694年にスティフェルの数列を再出版し、を含む同様の数列を追加しました。 以前と同様に、この数列から3つ組を作成するには、任意の項を取り、それを仮分数に変換します。すると、その分子と分母は直角三角形の辺bとaになり、斜辺はb + 2になります。 たとえば、 ${\displaystyle 1{\tfrac {7}{8}},\,2{\tfrac {11}{12}},\,3{\tfrac {15}{16}},\,4{\tfrac { 19}{20}},\,\ldots }$${\displaystyle a_{n}=n+{\tfrac {4n+3}{4n+4}}}$

${\displaystyle 1{\tfrac {7}{8}}\rightarrow [8,15,17],\;2{\tfrac {11}{12}}\rightarrow [12,35,37],\;3{\tfrac {15}{16}}\rightarrow [16,63,65],\;4{\tfrac {19}{20}}\rightarrow [20,99,101],\;\ldots }$

三角形の短辺を a 、長辺を b 、斜辺をcとすると、ピタゴラス族の三つ組はc − b = 1、プラトン族はc − b = 2、フェルマー族は| a − b | = 1で定義されます。スティフェル数列はピタゴラス族の基本的な三つ組をすべて生成し、オザナム数列はプラトン族の基本的な三つ組をすべて生成します。フェルマー族の三つ組は他の方法で見つける必要があります。

レナード・ユージン・ディクソン（1920）^[6]は、ピタゴラス数列を生成するための次の方法を自ら考案したと述べています。 の整数解を求めるには、 が完全な平方数となるような正の整数r、s、tを求めます。すると、 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$${\displaystyle r^{2}=2st}$

${\displaystyle x=r+s\,,\,y=r+t\,,\,z=r+s+t.}$

このことから、r は任意の偶数であり、sとt はr ² /2の因数であることがわかります。すべてのピタゴラス数列はこの方法で見つけることができます。sとtが互いに素である場合、数列は原始数になります。ディクソン法の簡単な証明は、Josef Rukavicka, J. (2013) によって発表されています。^[7]

例: r = 6を選択します。すると、r ² /2 = 18となります。18 の 3 つの因数ペアは (1, 18)、(2, 9)、(3, 6) です。上記の式を使用すると、3 つの因数ペアすべてで 3 倍の数が生成されます。

s = 1、 t = 18は、 x = 6 + 1 = 7、 y = 6 + 18 = 24、 z = 6 + 1 + 18 = 25であるため、 [7、24、25]の3つを生成します。

s = 2、 t = 9 は、 x = 6 + 2 = 8、 y = 6 + 9 = 15、 z = 6 + 2 + 9 = 17であるため、 [8、15、17] の三つ組を生成します。

s = 3、 t = 6 は、 x = 6 + 3 = 9、 y = 6 + 6 = 12、 z = 6 + 3 + 6 = 15であるため、 [9、12、15] の三つ組を生成します。( sとt は互いに素ではないため、この三つ組は原始的ではありません。)

F ₁ = 0およびF ₂ = 1で始まり、後続のフィボナッチ数がそれぞれ前の 2 つの数の合計となるフィボナッチ数の場合 、 ( a ₃ , b ₃ , c ₃ ) = (4, 3, 5)から始まるピタゴラス数列を生成することができます。

${\displaystyle (a_{n},b_{n},c_{n})=(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\,F_{2n-1}-b_{n-1},\,F_{2n})}$

n ≥ 4 の場合。

ピタゴラス数列は、一般化フィボナッチ数列を使用した次の手順で、任意の 2 つの正の整数を使用して生成できます。

初期の正の整数h _nとh _{n +1}に対して、h _n + h _{n +1} = h _{n +2}かつh _{n +1} + h _{n +2} = h _{n +3}であれば、

${\displaystyle (2h_{n+1}h_{n+2},h_{n}h_{n+3},2h_{n+1}h_{n+2}+h_{n}^{2})}$

ピタゴラスの三つ組である。^[8]

以下は、一般化フィボナッチ数列を持つプリミティブトリプルを生成する行列ベースのアプローチです。 ^[9] 2×2配列から始めて、互いに素な2つの正の整数（q、q ′）を一番上の行に挿入します。偶数（ある場合）を左側の列に配置します。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}q&{q'}\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]}$

次に、次の「フィボナッチの法則」を適用して、一番下の行のエントリを取得します。

${\displaystyle {\begin{array}{*{20}c}q'+q=p\\q+p=p'\end{array}}\to \left[{\begin{array}{*{20}c}q&q'\\p&p'\end{array}}\right]}$

このような配列は「フィボナッチ ボックス」と呼ばれることがあります。q ′、q、p、p ′ は一般化されたフィボナッチ数列であることに注意してください。列、行、対角線の積をとると、三角形[ a、b、c ]の辺、面積A、周囲P、および内接円と 3 つの外接円の半径r _{i が}次のように得られます。

${\displaystyle {\begin{array}{l}a=2qp\\b=q'p'\\c=pp'-qq'=qp'+q'p\\\\{\text{半径}}\to (r_{1}=qq',r_{2}=qp',r_{3}=q'p,r_{4}=pp')\\A=qq'pp'\\P=r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}\end{array}}}$

鋭角における半角の接線はq / pとq ′/ p ′です。

例：

互いに素な整数 9 と 2 を使用します。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}2&9\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{*{20}c}2&9\\11&13\end{array}}\right]}$

列、行、対角線の積は、（列：22と117）、（行：18と143）、（対角線：26と99）なので、

${\displaystyle {\begin{array}{l}a=2(22)=44\\b=117\\c=(143-18)=(26+99)=125\\\\{\text{半径}}\to (r_{1}=18,\quad r_{2}=26,\quad r_{3}=99,\quad r_{4}=143)\\A=18(143)=2574\\P=(18+26+99+143)=286\end{array}}}$

鋭角における半角の正接は 2/11 と 9/13 です。選択された整数qとq ′が互いに素でない場合は、同じ手順で非原始的な三つ組が得られることに注意してください。

この原始ピタゴラス数列を生成する方法は、デカルトの円方程式の整数解も提供する。^[9]

${\displaystyle \left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right)^{2}=2\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}\right),}$

ここで、整数曲率 k _{i は}、各半径の逆数に面積Aを掛けて得られます。結果は、k ₁ = pp ′、 k ₂ = qp ′、k ₃ = q ′ p、 k ₄ = qq ′です。ここで、最大の円は、他の 3 つの円に対して負の曲率を持つものとされます。最大の円 (曲率k _{4 ) は、正の曲率を持つより小さな円 (} k ₀ = 4 pp ′ − qq ′ )に置き換えることもできます。

例：

上記で得られた原始三つ組[44, 117, 125]の面積と4つの半径を使用すると、デカルト方程式の整数解 k ₁ = 143、k ₂ = 99、k ₃ = 26、k ₄ = (−18)、k ₀ = 554が得られます。

各原始ピタゴラス数列は、フィボナッチボックスに一意に対応します。逆に、各フィボナッチボックスは、一意で原始的なピタゴラス数列に対応します。このセクションでは、原始数列の代わりにフィボナッチボックスを使用します。すべての原始ピタゴラス数列/フィボナッチボックスを含む無限三分木は、次の手順で構築できます。^[10]

右側の列に 2 つの奇数の互いに素な整数xとy が含まれるフィボナッチ ボックスを考えます。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}\bullet &x\\\bullet &y\end{array}}\right]}$

これらの整数は次のように配置することもできることがわかります。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}\bullet &x\\y&\bullet \end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\\bullet &\bullet \end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}y&x\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]}$

結果として、 xとy を含む 3 つの有効なフィボナッチ ボックスが作成されます。最初のボックスを次の 3 つのボックスの「親」と考えることができます。たとえば、x = 1でy = 3の場合、次のようになります。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&3\end{array}}\right]\leftarrow {\text{parent}}}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&5\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\4&5\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\4&7\end{array}}\right]\leftarrow {\text{children}}}$

さらに、それぞれの「子」は、同じ手順で得られるさらに 3 つの子の親でもあります。このプロセスを各ノードで続けると、すべての可能なフィボナッチ ボックスを含む無限の 3 進木、または同等に、すべての可能な原始的な 3 進木を含む 3 進木が得られます。(ここで示す木は、1934 年に Berggren によって説明された古典的な木とは異なり、さまざまな数論的特性を持っています。) 「古典的な木」と比較してください。^[11]原始ピタゴラスの 3 進木 も参照してください。^[12]

ピタゴラスの三つ組のうち、直角三角形の脚の1つに与えられた正の整数xを含むものをすべて構成する方法があります。これは、1つの脚が与えられたカテトゥスとして事前に決定され、辺の長さが整数であるすべての直角三角形を見つけることを意味します。^[13]式は次のようになります。

と

${\displaystyle d\in C(x):={\begin{cases}D(x)&{\text{if }}x{\text{ is odd}}\\D(x)\cap P(x)&{\text{if }}x{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle D(x)=\left\{d\in \mathbb {N} \mid \ d\leq x{\text{ and }}d{\text{ divides }}x^{2}\right\},}$

そしてxが偶数でx = 2 ⁿ k、n ∈ ℕ、k ≥ 1が奇数で固定されている場合、

${\displaystyle P(x)=\left\{d\in \mathbb {N} \mid d=2^{s}l\ {\text{and}}\ l{\text{ divides }}x^{2}\ {\text{and}}\ s\in \left\{1,2,...,2n-1\right\}\right\}.}$

つまり、P ( x )に関しては、dは偶数で、x2 / dが2で割り切れる値でなければ^なりません。

さらに、( x , y , z )は、以下の条件が両方とも満たされる場合、原始ピタゴラス数列である: ^[14]

例

ユークリッドの公式は、あらかじめ決められた正の整数x を含むすべてのピタゴラス数列、たとえば数列(12,9,15)、(33,180,183)、(33,44,55)を与えるわけではないことを思い出してください。さらに、 x = m ² − n ²となるmとn を見つけるのは骨の折れる作業です。一方、( 1 ) を使用する場合、すべてのピタゴラス数列を得るには、すべてのd ∈ C ( x )を見つけるだけで十分です。特に、あらかじめ決められた正の整数x を含むすべての原始ピタゴラス数列を見つける必要がある場合は、条件 ( 2 ) を満たすd ∈ C ( x )のみを使用できます。

ピタゴラス数列の各辺を計算するための二次方程式を定義する方法はいくつかある。 ^[15]簡単な方法は、各mとn のペアに 変数x を追加して標準ユークリッド方程式を修正することである。 m、n のペアは定数として扱われ、xの値は選択された数列に基づいて「ファミリー」の数列を生成するように変化する。mまたはnのいずれかのx値の前に任意の係数を置くことができ、これにより結果の方程式は体系的に数列を「スキップ」する。たとえば、 m = 5およびn = 2の値を持つユークリッド方程式から計算できる数列[20,21,29]を考えてみよう。また、 m項のxの前に係数 4 を任意に置く。

m ₁ = (4 x + m )、n ₁ = ( x + n )とします。

したがって、 mとnの値を代入すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Side }}A&=2m_{1}n_{1}&&=2(4x+5){\text{ }}(x+2)&&=8x^{2}+26x+20\\{\text{Side }}B&=m_{1}^{2}-n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}-(x+2)^{2}&&=15x^{2}+36x+21\\{\text{Side }}C&=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}+(x+2)^{2}&&=17x^{2}+44x+29\end{aligned}}}$

元の 3 つの要素は、それぞれの二次方程式の定数項で構成されます。以下は、これらの方程式からの出力例です。これらの方程式の効果は、ユークリッド方程式のm値が 4 ずつ増加し、n値が 1 ずつ増加することです。

原始ピタゴラス数列は半角正接から再構成できる。(0, 1)の正の有理数rを、長さaの辺の反対側の内角Aのtan A /2として選ぶ。正接半角の公式を用いると、次の式が直ちに導かれる。

${\displaystyle \alpha =\sin(A)={\frac {2r}{1+r^{2}}}\quad {\text{ and }}\quad \beta =\cos(A)={\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}}}}$

は両方とも有理数であり、α ² + β ² = 1です。αとβの分母をクリアする最小の整数を掛けると、元の原始ピタゴラス数列に戻ります。a < b が望ましい場合は、 rを√ 2 − 1未満に選択する必要があることに注意してください。

長さbの辺と反対側の内角BはAの余角になります。次のように計算できます。

${\displaystyle s=\tan \left({\frac {B}{2}}\right)=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {A}{2}}\right)={\frac {1-r}{1+r}}}$

角度の差の正接の公式から。上記の公式でr の代わりにs を使用すると、同じ原始ピタゴラス数列が得られますが、aとb が入れ替わります。

rとs は、 r = a / ( b + c )およびs = b / ( a + c )を使用してa、b、cから再構築できることに注意してください。

[ a , b , c ]をaが奇数の基本３つ組とします。すると、行列の乗算と Berggren [11] の３つの_行列A ^、B 、Cを使って、[ a 、 b 、c ] から３つの新しい３つ組 [ a 1 、 b 1 、 c 1 ] 、 [ a 2、 b 2 、_c 2 ] _、 [ a ₃、 b 3 、_c 3 _]が生成されます。３つ_組[ a 、 b、c _]は 、３つの新しい３つ組（子）の親と呼ばれます。各子は、さらに３つの子の親であり、以下同様に続きます。基本３つ組 [3,4,5] から始めると、これらの行列を適用することで最終的にすべての基本３つ組が生成されます。結果は、[ a、b、c ]をルートノードとする無限３分木としてグラフィカルに表現できます。以下に示す Berggrens の 3 つの線形変換を使用すると、同等の結果が得られます。

${\displaystyle {\overset {A}{\mathop {\left[{\begin{matrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\\\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {B}{\mathop {\left[{\begin{matrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {C}{\mathop {\left[{\begin{matrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}$

バーグレンの 3 つの線形変換は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}-a+2b+2c=a_{1}\quad &-2a+b+2c=b_{1}\quad &-2a+2b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+a+2b+2c={{a}_{2}}\quad &+2a+b+2c={{b}_{2}}\quad &+2a+2b+3c={{c}_{2}}&\quad \to \left[{\text{ }}{{a}_{2}},{\text{ }}{{b}_{2}},{\text{ }}{{c}_{2}}\right]\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+a-2b+2c={{a}_{3}}\quad &+2a-b+2c={{b}_{3}}\quad &+2a-2b+3c={{c}_{3}}&\quad \to \left[{\text{ }}{{a}_{3}},{\text{ }}{{b}_{3}},{\text{ }}{{c}_{3}}\right]\\\end{matrix}}\\&\end{aligned}}}$

あるいは、プライスによって発見された3つの異なる行列を使用することもできます。^[10]これらの行列A ′、B ′、C ′とそれに対応する線形変換を以下に示します。

${\displaystyle {\overset {{A}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{B}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}$

プライスの3つの線形変換は

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}+2a+b-c=a_{1}\quad &-2a+2b+2c=b_{1}\quad &-2a+b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a+b+c=a_{2}\quad &+2a-2b+2c=b_{2}\quad &+2a-b+3c=c_{2}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{2},{\text{ }}b_{2},{\text{ }}c_{2}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{matrix}}\\&\end{aligned}}}$

2 つの行列セットのそれぞれによって生成される 3 つの子は同じではありませんが、各セットはすべてのプリミティブ トリプルを個別に生成します。

たとえば、[5, 12, 13]を親として使用すると、3つの子のセットが2つ生成されます。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}}$

b + 1 = cで奇数であるすべての原始三つ組は次のように生成できる: ^[16]

ウェイドとウェイド^{[17]は、ピタゴラス数列を高さ}c − bで定義し、3,4,5を5,12,13、7,24,25などに結び付けるという分類法を初めて導入した。

McCulloughとWade ^{[18]はこのアプローチを拡張し、} k > h √ 2 / dのときすべてのピタゴラス数列を生成する。正の整数hをpq ²と書き、 pは平方根がなくqは正である。pが奇数の場合はd = 2 pq、pが偶数の場合はd = pqとする。すべての正の整数のペア（h、k）に対して、数列は次のように与えられる。

${\displaystyle \left(h+dk,dk+{\frac {(dk)^{2}}{2h}},h+dk+{\frac {(dk)^{2}}{2h}}\right).}$

原始的な三つ組は、gcd( h , k ) = 1かつh = q ²でq が奇数であるか、 h =2 q ²である場合に発生します。