ピタゴラス期待値

ピタゴラス期待値は、ビル・ジェームズが考案したスポーツ分析の公式で、野球チームが獲得した得点数と失点数に基づいて、そのチームが「勝つべき」試合の割合を推定する。チームの実際の勝率とピタゴラス勝率を比較することで、どのチームが期待以上の成績を収めているか、どのチームが期待を下回っているかを予測し、評価することができる。この名前は、この公式がピタゴラスの定理に似ていることに由来する。^[1]

基本的な式は次のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {勝率} ={\frac {{\text{得点}}^{2}}{{\text{得点}}^{2}+{\text{失点}}^{2}}}={\frac {1}{1+({\text{失点}}/{\text{得点}})^{2}}}}$

ここで、Win Ratio は数式によって生成される勝率です。予想される勝利数は、予想される勝率にプレイされたゲーム数を掛けたものになります。

経験的に、この式は野球チームの実際の成績とかなりよく相関しています。しかし、統計学者たちは、この式が発明されて以来、この式にはかなり日常的な誤差があり、一般的に約 3 ゲームずれていることを発見しています。

たとえば、2002 年のニューヨーク ヤンキースは897 点を獲得し、697 点を許しました。ジェームズの元の計算式によれば、ヤンキースは勝率 .624 でシーズンを終えるはずでした。

${\displaystyle {\text{勝ち}}={\frac {897^{2}}{897^{2}+697^{2}}}=0.624}$

162試合のシーズンを基準にすると、2002年のヤンキースは101勝61敗で終わるはずだったが、実際には103勝58敗だった。^[2]

この日常的なエラーを修正するために、統計学者は理想的な指数を見つけるために数多くの検索を実行しました。

単一の指数を使用する場合、1.83が最も正確であり、baseball-reference.comで使用されているものです。^[3]したがって、更新された式は次のようになります。

${\displaystyle {\text{勝利}}={\frac {{\text{得点}}^{1.83}}{{\text{得点}}^{1.83}+{\text{失点}}^{1.83}}}={\frac {1}{1+({\text{失点}}/{\text{得点}})^{1.83}}}}$

最も広く知られているのは、 Baseball Prospectusのクレイ・ダベンポートが開発したピタゲンポートの公式^[4]である。

${\displaystyle \mathrm {指数} =1.50\log \left({\frac {{\text{得点}}+{\text{失点}}}{\text{試合数}}}\right)+0.45}$

彼は、指数はチームの得点、失点、試合数に基づいて計算されるべきだと結論付けた。どのシーズンでもチームに対しても指数を単一の数値に減らさないことで、ダベンポートは指数が2のときの2乗平均平方根誤差が4.126であるのに対し、3.991という2乗平均平方根誤差を報告することができた。^[4]

あまり知られていないが、同等に（あるいはそれ以上に）効果的なのがピタゲンパット式、デイヴィッド・スミスによって開発された。 ^[5]

${\displaystyle {\text{指数}}=\left({\frac {{\text{得点}}+{\text{失点}}}{\text{試合数}}}\right)^{0.287}}$

ダベンポート氏はこの方式への支持を表明し、次のように述べた。

さらに検討した結果、私（クレイ）は、いわゆるスミス/パトリオット法、別名ピタゲンパット法の方が適しているという結論に至りました。その式では、X  = (( rs  +  ra )/ g ) ^0.287ですが、指数には多少の不一致の余地があります。いずれにせよ、この式はより単純で、よりエレガントで、1 rpg で 1 という必須値を含む、ピタゲンポート法よりも幅広い得点範囲でより良い答えが得られます。^[6]

これらの式は、1 試合あたりの平均得点数が非常に高いか非常に低い極端な状況に対処する場合にのみ必要です。ほとんどの場合、各変数を単純に 2 乗するだけで正確な結果が得られます。

実際の勝率と期待される勝率の間には、ブルペンの質や運など、いくつかの体系的な統計的偏差があります。さらに、この式は平均値に向かって回帰する傾向があり、多くの試合に勝つチームは式によって過小評価される傾向があり (つまり、勝つべき試合数が少ない)、多くの試合に負けるチームは式によって過大評価される傾向があり (勝つべき試合数が多い) ます。

注目すべき例は、2016年のテキサス・レンジャーズで、予想された勝敗記録が82勝80敗だったのに対し、予想記録を13ゲーム上回り、95勝67敗でシーズンを終えた。

調整された順位表レポート^[7]では、 Baseball Prospectusはチームの勝利の「順位」について言及しています。基本的な勝利の順位は、単に勝った試合数です。しかし、運によってチームの記録が真の才能を反映しない可能性があるため、チームの才能を測るさまざまな基準が開発されました。

純粋な得失点差に基づく一次勝利は、「ピタゲンポート」式 (上記参照) によって生成される期待勝利数です。さらに、運の歪みをさらに排除するために、セイバーメトリクスの専門家は、得点創出型方程式 (チーム レベルで最も正確なのはBase Runs ) を使用して、チームの期待得点と失点を計算することもできます。これらの式は、攻撃および守備の統計 (シングル、ダブル、四球などの合計) に基づいてチームの期待得点数を算出し、イニング内でのチームのヒットと四球の順序という運の要素を排除するのに役立ちます。これらの統計を使用して、セイバーメトリクスの専門家は、チームが「獲得または失点するべき」だった得点数を計算できます。

これらの予想される得点と失点をピタゴラスの公式に代入すると、2 次勝利数、つまり攻撃と守備の統計に基づいてチームが獲得すべき得点数と失点数に基づいてチームが得るべき勝利数を生成することができます。3 次勝利数は、スケジュールの強さ (対戦相手の投球と打撃の質) に合わせて調整された 2 次勝利数です。2 次勝率と 3 次勝率は、実際の勝率と 1 次勝率の両方よりも、将来の実際のチーム勝率をより正確に予測することが示されています^{[誰によると? ] 。 [引用が必要]}

当初、この式と実際の勝率の相関関係は単なる実験的観察に過ぎなかった。2003年、ハイン・ハンダルは式の不正確な導出を示し、ピタゴラス指数はおよそ2/( σ√π )であることを示した。ここでσは、全チームの得点の標準偏差を平均得点数で割ったものである。^[8] 2006年、スティーブン・J・ミラー教授は、野球の試合に関するいくつかの仮定の下で式の統計的導出を示した^[9]。各チームの得点がワイブル分布に従い、1試合あたりの得点と失点が統計的に独立している場合、この式は勝利の確率を与える。^[9]

もっと簡単に言えば、指数 2 のピタゴラスの定理は、2 つの仮定からすぐに導き出されます。野球チームの勝利はチームの「質」に比例し、チームの「質」は得点と失点の比率で測られるということです。たとえば、チーム A が 50 点を獲得し、40 点を失点した場合、チームの質の尺度は 50/40、つまり 1.25 になります。チーム A と対戦した試合での (総合的な) 対戦相手チーム B の質の尺度は 40/50 (A の得点は B の失点であり、その逆も同様)、つまり 0.8 になります。各チームがその質に比例して勝利する場合、A の勝利確率は 1.25 / (1.25 + 0.8) となり、ピタゴラスの定理である 50 ²  / (50 ²  + 40 ^{2 ) に等しくなります。同じ関係は、得点数と失点数に関わらず当てはまります。これは、「品質」の確率を [50/40] / [ 50/40 + 40/50] と書き、}分数を消去することでわかります。

チームの質の尺度として、得点と失点の比率が用いられるという仮定は、自然かつ妥当である。これは、個々の勝利 (試合) を決定する公式である。[チームの質の尺度として、自然かつ妥当な他の候補があり、それらは「質」モデルを前提とすると、ピタゴラスの定理とほぼ同じ精度の対応する勝率期待値式につながる。] 野球チームの勝敗は質に比例するという仮定は、自然ではないが、妥当である。スポーツ競技者が質に比例して勝つ度合いは、スポーツにおける偶然の役割に依存するため、自然ではない。偶然の役割が非常に大きい場合、対戦相手よりもはるかに質が高いチームであっても、勝つ回数は負ける回数よりわずかに多いだけである。偶然の役割がほとんどない場合、対戦相手よりも質がわずかに高いチームでも、勝つ回数は負ける回数よりはるかに多いだけである。バスケットボールでは後者の傾向が強く、その理由としては、野球よりも得点が多くなる（質の高いチームにはその質を発揮する機会が多く与えられ、それに応じて、偶然や運によって質の低いチームが勝つ機会が少なくなる）ことなど、さまざまな理由が挙げられます。

野球には、チームの実力にほぼ比例して勝てるだけの偶然性、つまり指数が 2 のピタゴラス定理に近い結果を生み出すだけの偶然性がある。バスケットボールの指数が約 14 と高いのは (下記参照)、バスケットボールでは偶然性がより小さいためである。野球の最も正確な (定数の) ピタゴラス指数が約 1.83 で、2 よりわずかに小さいという事実は、野球ではチームの実力に正確に比例して勝てる確率よりもわずかに高い確率が (どうやら) あるという事実で説明できる。ビル・ジェームズはずっと以前、指数が 2 のオリジナルのピタゴラス定理の精度を向上させるには、分子に定数を加え、分母に定数の 2 倍を加えるだけでよいことに気付いたときに、このことに気付いていた。これにより、結果は .500 にわずかに近づきます。これは、偶然の役割をわずかに大きくした場合の結果であり、指数 1.83 (または 2 未満の任意の正の指数) を使用した場合の結果でもあります。この定数のさまざまな候補を試して、実際のデータに「最も適合する」ものを調べることができます。

野球のピタゴラスの定理の最も正確な指数が、1 試合あたりの総得点に依存する変数であるという事実も、偶然の役割によって説明できます。なぜなら、総得点が多くなるほど、得点機会中に示された勝利チームの質の高さではなく、偶然による結果である可能性が低くなるからです。指数が大きくなるほど、対応するピタゴラスの定理の結果は .500 の勝率から遠ざかります。これは、偶然の役割が減ることで生じるのと同じ効果です。したがって、変数指数の正確な定理が、1 試合あたりの総得点が増加するにつれて、より大きな指数を生み出すという事実は、スポーツで偶然が果たす役割の理解と一致しています。

1981 年の Baseball Abstract で、ジェームズは、2 つのチームが互いに対戦した際の勝率が「品質」の尺度に比例するという概念を使用して、log5 式と呼ばれる別の公式 (これはその後、経験的に正確であることが証明されました) を明示的に開発しました。彼の品質尺度は、チームの「勝率」(または「勝利のオッズ」) の半分でした。勝率または勝利のオッズは、リーグに対するチームの勝利数とリーグに対するチームの敗北数の比率です。[ジェームズは、当時、彼の品質尺度が勝率で表現可能であることに気づいていなかったようです。品質モデルでは、品質尺度内の定数は最終的に打ち消されるため、品質尺度は、勝率の半分ではなく、単に勝率自体としてとらえる方が適切です。] その後、彼は、以前に経験的に開発した、得点から勝率を予測するためのピタゴラスの公式は、説得力のあるデモンストレーションや証明はないものの、log5 式と「同じもの」であると述べました。彼が主張した、それらが同じであるという実証は、2 つの異なる公式が特殊なケースで同じ表現に簡略化されたことを示すことに要約されるが、それ自体は曖昧に扱われており、特殊なケースが一般的なケースではないという認識はない。また、彼はその後、ピタゴラスの公式に対する明確な品質ベースのモデルを一般に公表することもなかった。2013 年現在、得点率を品質の尺度として使用する単純な「チームの勝敗は品質に比例する」モデルが、ジェームズのオリジナルのピタゴラスの公式に直接つながることは、セイバーメトリクス コミュニティではまだほとんど認識されていない。

1981 年のアブストラクトで、ジェームズは、最初はピタゴラスの公式のランの代わりにチームの勝率だけを使って「log5」公式を作成しようとしたが、有効な結果が得られなかったとも述べています。その理由は、当時ジェームズが知らなかったことですが、彼が試みた公式では、チームの相対的な質は勝率の比率で決まると示唆されていたためです。しかし、チームの勝率が質に比例するのであれば、これは当てはまりません。なぜなら、勝率 .900 のチームは、全体の勝率がおよそ .500 の相手チームに対して、勝率 .900 と .500 の 9 対 5 の比率ではなく、9 対 1 の比率で勝つからです。彼の試みが実験的に失敗したことで、最終的には、より回りくどい (そして独創的な) 成功した log5 アプローチに至りました。このアプローチでは、依然として質を考慮していましたが、モデルの究極的な単純さ、より一般的な適用性、そして彼のピタゴラスの公式との真の構造的類似性を十分に理解していませんでした。

アメリカのスポーツ界の重役ダリル・モリーは、STATS 社の研究者だったときに、ジェームズのピタゴラスの期待値をプロバスケットボールに初めて応用しました。彼は、指数に 13.91 を使用すると、勝敗率を予測するための許容可能なモデルが得られることを発見しました。

${\displaystyle \mathrm {勝率} ={\frac {{\text{賛成ポイント}}^{13.91}}{{\text{賛成ポイント}}^{13.91}+{\text{反対ポイント}}^{13.91}}}.}}$

ダリルの「修正ピタゴラスの定理」は、 1993年から1994年にかけてSTATS Basketball Scoreboardで初めて発表されました。^[10]

著名なバスケットボールアナリストのディーン・オリバーも、ジェームズのピタゴラスの定理をプロバスケットボールに応用しました。結果は同様でした。

もう一人の著名なバスケットボールの統計学者、ジョン・ホリンジャーは、指数が 16.5 であることを除いて、同様のピタゴラスの公式を使用しています。

この公式は、フットボールの統計ウェブサイト兼出版元であるFootball Outsidersによって全米フットボールリーグでも使用されており、そこではピタゴラス投影法として知られています。

この式は指数 2.37 で使用され、予測勝率を算出します。この勝率に 17 (2021 年からの NFL シーズンでプレイされるゲーム数) を掛けると、予測勝利数が算出されます。この式で算出される予測数は、ピタゴラス勝利数と呼ばれます。

${\displaystyle {\text{ピタゴラスの勝利}}={\frac {{\text{賛成のポイント}}^{2.37}}{{\text{賛成のポイント}}^{2.37}+{\text{反対のポイント}}^{2.37}}}\times 17.}$

2011年版のフットボール・アウトサイダーズ年鑑^[11]には、「1988年から2004年まで、16回のスーパーボウルのうち11回はNFLのピタゴラス勝利数でトップに立ったチームが優勝したが、実際の勝利数が最も多かったチームが優勝したのはわずか7回だった。ピタゴラス勝利数ではリーグをリードしたが実際の勝利数ではトップではなかったスーパーボウル優勝チームには、 2004年のペイトリオッツ、2000年のレイブンズ、1999年のラムズ、1997年のブロンコスなどがある」と記されている。

フットボール アウトサイダーズ アルマナックは、この公式が 2005 年から 2008 年にかけてスーパーボウル出場チームの選出にあまり効果を発揮しなかったことを認めているものの、2009 年と 2010 年に再びその効果を発揮しました。さらに、「ピタゴラスの定理は、年ごとの向上を予測する上で今でも貴重な指標です。ピタゴラスの定理よりも少なくとも 1 試合多く勝利したチームは、翌年は成績が下がる傾向があり、ピタゴラスの定理よりも少なくとも 1 試合少なく勝利したチームは、特に成績が振るわなかったにもかかわらず勝率が .500 以上だった場合は、翌年は成績が上がる傾向があります。」

たとえば、2008 年のニューオーリンズ セインツは、ピタゴラス勝利が 9.5 あったにもかかわらず 8 勝 8 敗となり、翌年の チャンピオンシップ シーズンでの改善を示唆しました。」

2022年のミネソタ・バイキングスはこの点で大きな例外であり、ピタゴラス勝利が8.4であったにもかかわらず13勝4敗となった。^[12]

2013年、統計学者ケビン・ダヤラトナと数学者スティーブン・J・ミラーは、ピタゴラスの期待値をアイスホッケーに適用する理論的根拠を示した。特に、彼らは、ミラーが2007年に野球について行った研究で行ったのと同じ仮定、具体的には得点と失点が統計的に独立した ワイブル分布に従うという仮定を立てることで、ピタゴラスの期待値は野球と同様にアイスホッケーにも当てはまることを発見した。ダヤラトナとミラーの研究では、これらの仮定を立てることの統計的正当性を検証し、アイスホッケーのピタゴラス指数は2をわずかに上回ると推定した^。[13]

• 野球の統計
• セイバーメトリクス
• フットボールアウトサイダーズ

• ミラー (2007) [2005]. 「野球におけるピタゴラスの勝敗公式の導出」.チャンスマガジン. 20 (1): 40–48. arXiv : math.ST/0509698 . Bibcode :2005math......9698M. doi :10.1080/09332480.2007.10722831. S2CID  8103486.
• 現在のメジャーリーグ野球のピタゴラス予想。
• サッカーのピタゴラスの定理を調整する