日時計（図）

幾何学において、グノモンとは、より大きな平行四辺形の角から相似な平行四辺形を取り除くことによって形成される平面図形、あるいはより一般的には、与えられた図形に加えることで同じ形状のより大きな図形を形成する図形のことである。^{[ 1 ]}

図形数はピタゴラス数学の関心事であり、ピタゴラスはこれらの数がグノモンまたは基本単位から生成されるという考えを提唱したとされている。グノモンは、図形数を次の大きな数に変換するために加える必要がある要素である。^{[ 2 ]}

例えば、平方数n ²のグノモンは奇数2 n + 1であり、n = 1, 2, 3, ...である。グノモンで構成されたサイズ 8 の正方形は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{matrix}\color {red}1&\color {orange}2&\color {yellow}3&\color {green}4&\color {blue}5&\color {indigo}6&\color {violet}7&\color {pink}8\\\color {orange}2&\color {orange}2&\color {yellow}3&\color {green}4&\color {blue}5&\color {indigo}6&\color {violet}7&\color {pink}8\\\color {yellow}3&\color {yellow}3&\color {yellow}3&\color {green}4&\color {blue}5&\color {indigo}6&\color {violet}7&\color {pink}8\\\color {green}4&\color {green}4&\color {green}4&\color {green}4&\color {blue}5&\color {indigo}6&\color {violet}7&\color {pink}8\\\color {blue}5&\color {blue}5&\color {blue}5&\color {blue}5&\color {blue}5&\color {indigo}6&\color {violet}7&\color {pink}8\\\color {indigo}6&\color {indigo}6&\color {indigo}6&\color {indigo}6&\color {indigo}6&\color {indigo}6&\color {violet}7&\color {pink}8\\\color {violet}7&\color {violet}7&\color {violet}7&\color {violet}7&\color {violet}7&\color {violet}7&\color {pink}8\\\color {pink}8&\color {pink}8&\color {pink}8&\color {pink}8&\color {pink}8&\color {pink}8&\color {pink}8&\color {pink}8\end{matrix}}}$$

nマス目 ( nマス目の正方形) を( n + 1)マス目に変換するには、2n + 1 個の要素を追加します。各行( nマス目) の末尾に 1 つ、各列 ( nマス目)の末尾に 1 つ、そして空いている隅に 1 つ追加します。例えば、7 マス目を 8 マス目に変換する場合、15 個の要素を追加します。これらの追加要素は、上の図の 8 です。このグノモニック技法は、最初のn個の奇数の和がn²^であることの証明も提供します。上の図はそれを説明しています。 $${\displaystyle 1+3+5+7+9+11+13+15=64=8^{2}.}$$

同じ手法を乗算表に適用すると、各平方三角数は連続する立方数の和であるというニコマコス定理が証明される。^{[ 3 ]}

鋭角二等辺三角形では、元の三角形の底辺を辺とする、より小さい相似三角形を描くことができます。これら2つの相似三角形のグノモンは、大きい方の三角形から小さい方の三角形を取り除いた後に残る三角形です。グノモンが二等辺三角形となるのは、元の二等辺三角形の辺と底辺の比と、グノモンの底辺と辺の比が黄金比である場合に限ります。この場合、鋭角二等辺三角形は黄金三角形であり、そのグノモンは黄金グノモンです。^{[ 4 ]}

逆に、鋭角の黄金三角形は、例外的な役割の相互交換において、鈍角の黄金三角形の指針となることがある。^{[ 5 ]}

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  黄金三角形は、より小さな黄金三角形と、より小さな（鈍角の）黄金グノモンに分割される。
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  鈍角の黄金三角形は、鋭角の黄金三角形の指針となる。
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  鋭角の黄金三角形は、鈍角の黄金三角形の指針である。
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  鋭角な黄金三角形は、八角形の日時計の指針となる。
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  鈍角の黄金三角形は、九角形の指針となる。

ジェイムズ・ジョイスの『ダブリン市民』の文学分析において、日時計の幾何学に基づいた比喩が重要な役割を果たしている。「麻痺」と「平行四辺形」の間の言葉遊びと、日時計の幾何学的な意味、つまり完全な形から縮小された断片的なものという意味の両方が含まれている。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

グノモンの形状は、テオ・ファン・ドゥースブルフの抽象絵画『算術の構成 I』にも顕著に見られる。^{[ 10 ]}

また、アニメーションで描かれた非常に短い幾何学的なおとぎ話もあり、そこではグノモンが侵略者の役割を演じている。^{[ 11 ]}

• 日時計の定理