逆ピタゴラスの定理

幾何学において、逆ピタゴラスの定理（逆ピタゴラスの定理^[1]または逆ピタゴラスの定理^[2]とも呼ばれる）は次のようになります。^[3]

A、B を直角三角形△ ABCの斜辺の端点とする。直角の頂点 Cから斜辺に下ろした垂線の足をDとする。すると

${\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.}$

この定理は、ユークリッドの『原論』第 1 巻の命題 48 と混同しないでください。この命題は、三角形の 1 辺の正方形が他の 2 辺の正方形の合計に等しい場合、他の 2 辺には直角が含まれるという、ピタゴラスの定理の逆です。

三角形△ ABCの面積は、ACとBC、またはABとCDのいずれかで表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt](AC\cdot BC)^{2}&=(AB\cdot CD)^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {AB^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\end{aligned}}}$

CD > 0、AC > 0、BC > 0の場合。

ピタゴラスの定理を用いると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}+AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\quad \therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

上記の通り。

特に以下の点に注意してください:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

十字曲線またはクロス曲線は、次の式で与えられる 四次平面曲線である。

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0}$

ここで、曲線の形状を決定する2 つのパラメーターaとbはそれぞれCDです。

xをACに、yをBCに代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\[4pt]AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

逆ピタゴラス数は次のように整数パラメータtとuを使って生成できる。^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}AC&=(t^{2}+u^{2})(t^{2}-u^{2})\\BC&=2tu(t^{2}+u^{2})\\CD&=2tu(t^{2}-u^{2})\end{aligned}}}$

2 つの同一のランプをAとBに配置すると、定理と逆二乗の法則により、 Cでの光強度は1 つのランプをDに配置したときと同じになります。

• 幾何平均定理 – 直角三角形に関する定理
• ピタゴラスの定理 – 直角三角形の辺の関係