斜辺のない数

数学において、非斜辺数とは、その平方数が 2 つの非ゼロの平方数の和として表すことができない自然数です。この名前は、非斜辺数に等しい長さの辺が、整数の辺を持つ直角三角形の斜辺を形成できないという事実に由来しています。

1、2、3、4 はすべて斜辺のない数です。ただし、5 は斜辺のない数ではありません。 $5^{2}=3^{2}+4^{2}$

最初の 50 個の非斜辺数は次のとおりです。

1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、14、16、18、19、21、22、23、24、27、28、31、32、33、36、38、42、43、44、46、47、48、49、54、56、57、59、62、63、64、66、67、69、71、72、76、77、79、81、83、84 (OEISのシーケンスA004144 )

斜辺のない数は小さな整数では一般的ですが、大きな数になるとますます少なくなります。しかし、斜辺のない数は無限に存在し、値xを超えない斜辺のない数の数はx / √ log xに漸近的に比例します。^[1]

非斜辺数とは、 4 k +1の形式の素因数を持たない数である。^{[2]同様に、}K、m、nがすべて正の整数である形式では表現できない数である。素因数が4 k +1 の形式ではない数は、原始整数直角三角形（各辺に非自明な公約数を持たない三角形）の斜辺にはなれないが、非原始三角形の斜辺にはなれる。^[3] $K(m^{2}+n^{2})$

非斜辺数は、加算のみを使用して最初の平方数を計算する加算チェーンの存在を証明するために適用されています。^[4] $n$ $n+o(n)$

参照

参考文献

^ DS; Beiler, Albert H. (1968)、「Albert Beiler、ピタゴラス三角形の連続斜辺」、計算数学、22 (103): 690–692、doi :10.2307/2004563、JSTOR 2004563Beilerの原稿（後にJ. Rec. Math. 7 (1974) 120–133, MR 0422125に掲載）のこのレビューでは、この境界はLandauによるものとされています。
^ Shanks, D. (1975)、「非斜辺数」、フィボナッチ・クォータリー、13 (4): 319–321、doi :10.1080/00150517.1975.12430618、MR 0387219。
^ ベイラー、アルバート（1966）、数論のレクリエーション：数学の女王が楽しませる（第2版）、ニューヨーク：ドーバー出版、p. 116-117、ISBN 978-0-486-21096-4
^ ドブキン、デビッド;リプトン、リチャード J. (1980)、「特定の多項式の評価のための加法連鎖法」、SIAM Journal on Computing、9 (1): 121–125、doi :10.1137/0209011、MR 0557832

外部リンク

OEISシーケンス A004144 (非斜辺数)
OEISシーケンス A125667 (イータ番号)

[1] DS; Beiler, Albert H. (1968)、「Albert Beiler、ピタゴラス三角形の連続斜辺」、計算数学、22 (103): 690–692、doi :10.2307/2004563、JSTOR 2004563Beilerの原稿（後にJ. Rec. Math. 7 (1974) 120–133, MR 0422125に掲載）のこのレビューでは、この境界はLandauによるものとされています。

[2] Shanks, D. (1975)、「非斜辺数」、フィボナッチ・クォータリー、13 (4): 319–321、doi :10.1080/00150517.1975.12430618、MR 0387219。

[3] ベイラー、アルバート（1966）、数論のレクリエーション：数学の女王が楽しませる（第2版）、ニューヨーク：ドーバー出版、p. 116-117、ISBN 978-0-486-21096-4

[4] ドブキン、デビッド;リプトン、リチャード J. (1980)、「特定の多項式の評価のための加法連鎖法」、SIAM Journal on Computing、9 (1): 121–125、doi :10.1137/0209011、MR 0557832