符号関数

符号関数は、−1 の値を取るが、${\displaystyle x}$負の場合、グラフの丸で囲まれた点(0, − 1)は${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$これは、${\displaystyle x=0}$代わりに、値は(0, 0)の実線点に急激にジャンプします。${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$すると、同様のジャンプが${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=+1}$いつ${\displaystyle x}$正です。どちらのジャンプも、符号関数が${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$はゼロで不連続ですが、任意の点で連続です。${\displaystyle x}$正か負かのどちらかです。

これらの観察結果は、数学解析における連続性のさまざまな同等の形式的定義のいずれによっても確認される。関数${\displaystyle f(x)}$、 のような${\displaystyle \operatorname {sgn}(x),}$ある点で連続している${\displaystyle x=a}$値が${\displaystyle f(a)}$値のシーケンスによって任意に近似することができる${\displaystyle f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,}$どこで${\displaystyle a_{n}}$任意の無限数列を構成し、${\displaystyle a}$として${\displaystyle n}$十分に大きくなる。数学的極限の表記では、${\displaystyle f}$で${\displaystyle a}$要求する${\displaystyle f(a_{n})\to f(a)}$として${\displaystyle n\to \infty }$任意のシーケンスに対して$\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$そのために${\displaystyle a_{n}\to a.}$矢印記号は「近づく」または「～する傾向がある」という意味で解釈でき、これは数列全体に適用されます。

この基準は、符号関数では成り立たない。${\displaystyle a=0}$例えば、${\displaystyle a_{n}}$シーケンスである${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,}$これは、${\displaystyle n}$無限大に向かって増加する。この場合、${\displaystyle a_{n}\to a}$必要に応じて、${\displaystyle \operatorname {sgn}(a)=0}$そして${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})=+1}$各${\displaystyle n,}$となることによって${\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)}$この反例は、不連続性をより正式に確認する。${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$グラフ上では、ゼロの位置にそれが示されています。

符号関数は非常に単純な形状をしているにもかかわらず、ゼロにおけるステップ変化は、要求される条件が非常に厳しい従来の微積分手法にとって困難をもたらします。連続性は頻繁に求められる制約条件です。一つの解決策は、符号関数を滑らかな連続関数で近似することです。また、より厳密ではないアプローチとして、古典的な手法を基に、より幅広い関数クラスに対応できる方法も考えられます。

符号関数は、いくつかの異なる（点ごとの）極限として表すことができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn} x&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\operatorname {arctan} (nx)\\&=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}}$$ ここ、${\displaystyle \tanh }$は双曲線正接であり、${\displaystyle \operatorname {arctan} }$は逆正接です。最後のは の導関数です。${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$これは、上記がすべての非ゼロに対して完全に等しいという事実から着想を得ています。${\displaystyle x}$もし${\displaystyle \varepsilon =0}$、また、符号関数の高次元類似物（例えば、偏微分）への単純な一般化という利点がある。${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$)

ヘヴィサイド階段関数§ 解析的近似を参照してください。

符号関数${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$は、以下の場合を除き、どこでも微分可能です。${\displaystyle x=0.}$その導関数は、${\displaystyle x}$ゼロ以外: $${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

これは、定義域において導関数が常にゼロとなる定数関数の微分可能性から導かれる。${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$負の開領域に制限されている場合は定数関数として作用する${\displaystyle x<0,}$ここで、それは-1に等しい。同様に、正の開領域内では定数関数とみなすことができる。${\displaystyle x>0,}$ここで、対応する定数は+1です。これらは2つの異なる定数関数ですが、いずれの場合も導関数はゼロになります。

古典的な微分を定義することはできません${\displaystyle x=0}$なぜなら、そこには不連続性があるからだ。

導関数が0であるため、符号関数を乗じた関数のn階導関数は次のように簡略化されます。

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{n}\,(\operatorname {sgn}(x)f(x))}{{\text{d}}x^{n}}}=\operatorname {sgn}(x)f^{(n)}(x)\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

微分可能ではないが${\displaystyle x=0}$通常の意味では、分布理論における微分一般化の概念の下では、符号関数の導関数はディラックのデルタ関数の2倍になります。これは恒等式^{[ 2 ]}を使用して証明できます。$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,}$$ どこ${\displaystyle H(x)}$標準のヘヴィサイド階段関数は${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$形式主義。この恒等式を用いると、分布微分を容易に導出できる。^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}$$

符号関数は、積分区間にゼロが含まれる場合でも、任意の有限値aとbの間の定積分を持ちます。その結果得られるaとbの積分は、それらの絶対値の差に等しくなります。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.}$$

実際、符号関数は絶対値関数の導関数であるが、ゼロで 勾配が急激に変化する場合は例外となる。$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}$$

絶対値の定義を考察することで、これまでと同様にこれを理解することができる。${\displaystyle |x|}$別々の地域で${\displaystyle x>0}$そして${\displaystyle x<0.}$例えば、絶対値関数は以下と同一です。${\displaystyle x}$その地域で${\displaystyle x>0,}$その導関数は定数値+1であり、これは次の値に等しい。${\displaystyle \operatorname {sgn} x}$そこには。

絶対値は凸関数であるため、原点を含むすべての点で少なくとも1つの劣微分が存在します。ゼロ以外のすべての点で、結果として得られる劣微分は、符号関数の値に等しい単一の値で構成されます。対照的に、ゼロでは多くの劣微分が存在し、そのうちの1つだけが値をとります。${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$絶対値関数が最小値をとるため、ここでは劣微分値0が発生します。0における有効な劣微分の完全な集合が劣微分区間を構成します。${\displaystyle [-1,1]}$これは、非公式に言えば、符号関数のグラフを原点を通る垂直線で「塗りつぶし」、2次元曲線として連続させることと考えることができる。

積分理論において、符号関数は絶対値関数の弱微分です。弱微分は、ほとんど至るところで等しい場合に等価であり、一点における孤立した異常の影響を受けません。これには、絶対値関数のゼロにおける勾配の変化も含まれ、この変化によって古典的な微分は存在しなくなります。

関数に符号関数を乗じたものの原始関数は次のようになります。$${\displaystyle \int {\operatorname {sgn}(x)f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)+B\operatorname {sgn}(x)+C\,,}$$どこ${\textstyle B}$そして${\textstyle C}$は積分定数です。分布理論以外では、${\textstyle B}$は任意の値をとることができ、最も一般的な値は 0 です。ディラックのデルタ関数を考えると、${\textstyle B}$等しくなければならない${\textstyle F(0)}$これは部分積分を用いて証明できる。$${\displaystyle \int {\operatorname {sgn}(x)f(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)-\int {2\delta (x)F(x){\text{d}}x}\,,}$$どこ${\textstyle \delta (x)}$はディラックのデルタ関数である。これを積分すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)F(x)-\int {2\delta (x)F(x){\text{d}}x}=\operatorname {sgn}(x)F(x)-2F(0)H(x)+C=\operatorname {sgn}(x)F(x)-\operatorname {sgn}(x)F(0)+C\,,}$

どこ${\textstyle H(x)}$はヘヴィサイド階段関数です。${\textstyle F(x)}$すでに独自の積分定数を持っており、${\textstyle C}$、${\textstyle F(0)}$定義されていれば、どんな値でも取ることができます。ディラックのデルタ関数を考えると、積分定数は${\textstyle F(x)}$両方の項で一致する必要があります。そうでなければ、符号関数の導関数は0になるため、第2項では任意の定数を掛けることができます。

符号関数のフーリエ変換は^{[ 4 ]である。}$${\displaystyle PV\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x={\frac {2}{ik}}\qquad {\text{for }}k\neq 0,}$$ どこ${\displaystyle PV}$これは、コーシー主値を取ることを意味します。

符号関数は、複素数に対して次のように一般化できます。 $${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$ 任意の複素数に対して${\displaystyle z}$を除外する${\displaystyle z=0}$与えられた複素数の符号${\displaystyle z}$は、複素平面の単位円上で最も近い点です。${\displaystyle z}$それでは、${\displaystyle z\neq 0}$、 $${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$$ どこ${\displaystyle \arg }$は複素引数関数です。

対称性の理由から、またこれを実数上の符号関数の適切な一般化に保つために、複素領域でも通常は次のように定義します。${\displaystyle z=0}$: $${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$$

実数式と複素数式の符号関数のもう一つの一般化は${\displaystyle {\text{csgn}}}$[ ^{5 ]は}次のように定義される。 $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$本当の部分は${\displaystyle z}$そして${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$は虚数部です${\displaystyle z}$。

すると、(${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\neq 0}$): $${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$

極分解定理のおかげで、行列${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$（${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$そして${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$) は、生成物として分解できる。${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}}$どこ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$はユニタリ行列であり、${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$は、自己共役またはエルミート正定値行列であり、${\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}}$。 もし ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$が可逆であれば、そのような分解は一意であり、 ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$の役割を果たす${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$の記号。双対構成は分解によって与えられる。${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}}$どこ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$単一ですが、一般的には${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$これにより、各可逆行列は一意の左符号を持つことになります。${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$そして右のサイン${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$。

特別な場合${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,}$そして（可逆）行列${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}$これは（ゼロでない）複素数と同一視される。${\displaystyle a+\mathrm {i} b=c}$すると、符号行列は以下を満たす。${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}$そして、複雑なサインと同一視する${\displaystyle c}$、${\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}$この意味で、極分解は複素数の符号・絶対値分解を行列に一般化したものである。

実際の値では${\displaystyle x}$符号関数の一般化関数を定義することが可能です。${\displaystyle \varepsilon (x)}$そのため${\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1}$あらゆる場所で、その地点も含めて${\displaystyle x=0}$、 とは異なり${\displaystyle \operatorname {sgn} }$そのために${\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0}$この一般化された符号は、一般化された関数の代数を構成することを可能にするが、このような一般化の代償は可換性の喪失である。特に、一般化された符号はディラックのデルタ関数と反可換である^{[ 6 ]。}$${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;}$$ 加えて、${\displaystyle \varepsilon (x)}$評価できません${\displaystyle x=0}$; そして特別な名前、${\displaystyle \varepsilon }$機能と区別する必要がある${\displaystyle \operatorname {sgn} }$. (${\displaystyle \varepsilon (0)}$定義されていませんが、${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}$）