平行四辺形の法則

数学において、平行四辺形の法則（平行四辺形の恒等式とも呼ばれる）の最も単純な形式は、初等幾何学に属します。それは、平行四辺形の4辺の長さの2乗の和が、2つの対角線の長さの2乗の和に等しいというものです。辺には、AB、BC、CD、DAという記号を用います。しかし、ユークリッド幾何学では、平行四辺形は必ず対辺が等しく、つまりAB = CD、BC = DAとなるため、この法則は次のように表すことができます。 $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}$$

平行四辺形が長方形の場合、2つの対角線の長さは等しく、AC = BDなので、 $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}$$ そしてこの記述はピタゴラスの定理に帰着する。一般的な四角形（4辺が必ずしも等しいとは限らない）については、オイラーの四角形定理は次のようになる 。$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}$$ どこ${\displaystyle x}$は、対角線の中点を結ぶ線分の長さです。図から、${\displaystyle x=0}$平行四辺形の場合、一般式は平行四辺形の法則に簡略化されます。

右側の平行四辺形で、AD = BC = a、AB = DC = bとします。${\displaystyle \angle BAD=\alpha .}$三角形における余弦定理を用いることにより${\displaystyle \triangle BAD,}$我々は以下を得る： $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}$$

平行四辺形では、隣接する角は補角の関係にあるため、${\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}$三角形における余弦定理の使用${\displaystyle \triangle ADC,}$生成する： $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}$$

三角関数の恒等式を適用することで${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$前者の結果は次のことを証明している。 $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}$$

さあ、二乗和$BD^{2}+AC^{2}}$次のように表現できます。 $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}$$

この式を簡略化すると、次のようになります。 $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}$$

ノルム空間において、平行四辺形の法則はノルムを関連付ける方程式である。 $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}\quad {\text{すべての}}x,yについて}$$

平行四辺形の法則は、一見すると弱いように見える次の命題と同等である。 $$\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}\quad {\text{すべての }}x,y について}$$ なぜなら、逆の不等式は代入することで得られるからである。$\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$のために${\displaystyle x,}$そして$\textstyle {\frac {1}{2}}\left(xy\right)}$のために${\displaystyle y,}$そして簡略化する。同じ証明により、平行四辺形の法則は以下とも同等である。 $$すべての x,y に対して、\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{$$

内積空間では、ノルムは内積を用いて決定されます。 $${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$$

この定義の結果として、内積空間において平行四辺形の法則は代数的な恒等式となり、内積の性質を用いて容易に証明できる。 $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}$$$${\displaystyle \|xy\|^{2}=\langle xy,xy\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle 。}$$

これら2つの式を追加すると： $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$$ 必要に応じて。

もし${\displaystyle x}$は直交する${\displaystyle y,}$意味${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,}$そして、和のノルムに関する上記の式は次のようになります。 $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$$ これはピタゴラスの定理です。

ほとんどの実数および複素数のノルム付きベクトル空間には内積は存在しませんが、すべてのノルム付きベクトル空間にはノルムが存在します（定義による）。例えば、ベクトルの一般的なノルムは${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$実座標空間において$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は${\displaystyle p}$-規範: $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

ノルムが与えられれば、上記の平行四辺形の法則の両辺を評価できる。注目すべき事実は、平行四辺形の法則が成り立つ場合、ノルムは通常の方法で何らかの内積から生じる必要があるということである。特に、次の場合に成り立つ。${\displaystyle p}$-ノルムは、${\displaystyle p=2,}$いわゆるユークリッドノルムまたは標準ノルム。^{[ 1 ] [ 2 ]}

平行四辺形の法則を満たす任意のノルム（これは必然的に内積ノルムである）に対して、ノルムを生成する内積は偏極恒等式の結果として一意である。実数の場合、偏極恒等式は次のいずれかの式で与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}{\bigr )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

複素数の場合、それは次のように表されます。 $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}+{\tfrac {1}{4}}i{\bigl (}\|ix+y\|^{2}-\|ix-y\|^{2}{\bigr )}.}$$

例えば、${\displaystyle p}$- ノルム付き${\displaystyle p=2}$実ベクトル${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y,}$内積の評価は次のように行われます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}\\[8mu]&={\tfrac {1}{4}}{\Bigl (}\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}{\Bigr )}\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}{\Bigl (}4\sum _{i}x_{i}y_{i}{\Bigr )}\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}$$ これは、2つのベクトルの標準的な内積です。

与えられた規範を誘導する内積が存在するためのもう一つの必要十分条件${\displaystyle \|\cdot \|}$ノルムがプトレマイオスの不等式を満たす場合：任意の3つのベクトルに対して${\displaystyle x}$⁠、 ⁠${\displaystyle y}$⁠、そして⁠${\displaystyle z}$⁠ , ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|.}$$

• フランソワ・ダヴィエ– サルデーニャ王国軍の将校であり数学者（1734年 - 1798年） 
• 内積空間– 一般化されたドット積を持つベクトル空間 
• ミンコフスキー距離– ベクトル距離関数 
• ノルムベクトル空間– 距離が定義されるベクトル空間 
• 偏極化の恒等式– 内積空間におけるノルムと内積の関係を表す式 
• プトレマイオスの不等式– 4点間の距離の関係 

• ワイススタイン、エリック・W. 「平行四辺形の法則」 . MathWorld .
• ドリームシャーブログで簡単に証明された平行四辺形の法則
• 平行四辺形の法則：言葉を使わない証明（cut-the-knot）