正七角形の辺と対角線で形成される鈍角三角形
対角線が短い
14 個の合同な 七角形三角形 のそれぞれには 、緑の辺が 1 つ、青の辺が 1 つ、赤の辺が 1 つあります。 ユークリッド幾何学 では 、 七角形三角形 は、 頂点 が正七 角形 の第 1、第 2、第 4 頂点 (任意の開始頂点から) と一致する 鈍角 不等辺三角形です。したがって、その辺は正七角形の 1 辺と、隣接する短い対角線および長い対角線と一致します 。 すべて の七角形三角形は 相似 (同じ形状) であるため、総称して 七 角形三角形と呼ばれます 。その角度には と があり 、 角度の比率が 1:2:4 である唯一の三角形です。七角形三角形にはさまざまな注目すべき特性があります。
π
/
7 、 2 π
/
7 、
{\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}
4 π
/
7 、
{\displaystyle 4\pi /7,}
要点 七角形三角形の 9つの点の中心は、 その第一 ブロカール点 でもある。 [1] : Propos. 12
2番目のブロカール点は9点円上にあります。 [2] : p. 19
七角形三角形の 外心 と フェルマー 点は 正三角形 を形成する。 [1] : Thm. 22
外心O と 垂心 H の間の距離は [2] で与えられる ：p.19
お H = R
2
、
{\displaystyle OH=R{\sqrt {2}},}
ここで Rは 円周半径 である。 内心 I から垂心まで の距離の二乗は [2] ：p.19 である。
私
H
2
=
R
2
+ 4
r
2
2
、
{\displaystyle IH^{2}={\frac {R^{2}+4r^{2}}{2}},}
ここで rは 内接円の半径 です 。
垂心から外接円への2本の接線は互いに 垂直で ある。 [2] ：p.19
距離の関係
サイド 七角形三角形の辺 a < b < cは、 それぞれ正七角形の辺、短対角線、長対角線と一致する。これらは [3]を満たす ：補題1
1つの
2
= c （ c − b ） 、
b
2
= 1つの （ c + 1つの ） 、
c
2
= b （ 1つの + b ） 、
1 1つの
=
1 b
+
1 c
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(cb),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}}
（後者 [2] ：p. 13 は光学方程式 である ）したがって
1つの b + 1つの c = b c 、
{\displaystyle ab+ac=bc,}
[3] : コロ2
b
3
+ 2
b
2
c − b
c
2
−
c
3
= 0 、
{\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}
c
3
− 2
c
2
1つの − c
1つの
2
+
1つの
3
= 0 、
{\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}
1つの
3
− 2
1つの
2
b − 1つの
b
2
+
b
3
= 0.
{\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0.}
したがって、 b / c 、 c / a 、 a / bは すべて 3次方程式を満たす。
t
3
− 2
t
2
− t + 1 = 0.
{\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}
しかし、この方程式は casus irreducibilis の例であるため、この方程式の解には純粋に実数の項を持つ 代数式は 存在しません。
辺のおおよその関係は
b ≈ 1.80193 ⋅ 1つの 、 c ≈ 2.24698 ⋅ 1つの 。
{\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}
また、 [4] [5]
1つの
2
b c
、 −
b
2
c 1つの
、 −
c
2
1つの b
{\displaystyle {\frac {a^{2}}{bc}},\quad -{\frac {b^{2}}{ca}},\quad -{\frac {c^{2}}{ab}}}
三次方程式 を満たす
t
3
+ 4
t
2
+ 3 t − 1 = 0.
{\displaystyle t^{3}+4t^{2}+3t-1=0.}
また、 [4]
1つの
3
b
c
2
、 −
b
3
c
1つの
2
、
c
3
1つの
b
2
{\displaystyle {\frac {a^{3}}{bc^{2}}},\quad -{\frac {b^{3}}{ca^{2}}},\quad {\frac {c^{3}}{ab^{2}}}
三次方程式 を満たす
t
3
−
t
2
− 9 t + 1 = 0.
{\displaystyle t^{3}-t^{2}-9t+1=0.}
また、 [4]
1つの
3
b
2
c
、
b
3
c
2
1つの
、 −
c
3
1つの
2
b
{\displaystyle {\frac {a^{3}}{b^{2}c}},\quad {\frac {b^{3}}{c^{2}a}},\quad -{\frac {c^{3}}{a^{2}b}}}
三次方程式 を満たす
t
3
+ 5
t
2
− 8 t + 1 = 0.
{\displaystyle t^{3}+5t^{2}-8t+1=0.}
[2] : p. 14 も参照
b
2
−
1つの
2
= 1つの c 、
{\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}
c
2
−
b
2
= 1つの b 、
{\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}
1つの
2
−
c
2
= − b c 、
{\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}
[2] : p. 15
b
2
1つの
2
+
c
2
b
2
+
1つの
2
c
2
= 5.
{\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}
また、 [4]
1つの b − b c + c 1つの = 0 、
{\displaystyle ab-bc+ca=0,}
1つの
3
b −
b
3
c +
c
3
1つの = 0 、
{\displaystyle a^{3}bb^{3}c+c^{3}a=0,}
1つの
4
b +
b
4
c −
c
4
1つの = 0 、
{\displaystyle a^{4}b+b^{4}cc^{4}a=0,}
1つの
11
b
3
−
b
11
c
3
+
c
11
1つの
3
= 0.
{\displaystyle a^{11}b^{3}-b^{11}c^{3}+c^{11}a^{3}=0.}
高度 高度 h a 、 h b 、 h c は、
h
1つの
=
h
b
+
h
c
{\displaystyle h_{a}=h_{b}+h_{c}}
[2] : p.13 そして
h
1つの
2
+
h
b
2
+
h
c
2
=
1つの
2
+
b
2
+
c
2
2
。
{\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}.}
[2] : p.14 辺b （対角 B ）からの高さは A の 内角二等分線の半分である ： [2] ：p.19
わ
あ
{\displaystyle w_{A}}
2
h
b
=
わ
あ
。
{\displaystyle 2h_{b}=w_{A}.}
ここで、角度 A は最小の角度であり、角度 B は 2 番目に小さい角度です。
内角の二等分線 内角二等分線 と 角 A、B 、 C にはそれぞれ次のような性質がある : [2] : p. 16
わ
あ
、
わ
B
、
{\displaystyle w_{A},w_{B},}
わ
Ｃ
{\displaystyle w_{C}}
わ
あ
= b + c 、
{\displaystyle w_{A}=b+c,}
わ
B
= c − 1つの 、
{\displaystyle w_{B}=ca,}
わ
Ｃ
= b − 1つの 。
{\displaystyle w_{C}=ba.}
外接半径、内接半径、外接半径 三角形の面積は [6]
あ =
7
4
R
2
、
{\displaystyle A={\frac {\sqrt {7}}{4}}R^{2},}
ここで、 R は 三角形の 外接半径 です。
[ 2 ] : p. 12
1つの
2
+
b
2
+
c
2
= 7
R
2
。
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=7R^{2}.}
また、 [7]
1つの
4
+
b
4
+
c
4
= 21
R
4
。
{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=21R^{4}.}
1つの
6
+
b
6
+
c
6
= 70
R
6
。
{\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=70R^{6}.}
内接円半径 と外接円半径の 比 r / Rは 、3次方程式の正の解である [6]
8
x
3
+ 28
x
2
+ 14 x − 7 = 0.
{\displaystyle 8x^{3}+28x^{2}+14x-7=0.}
さらに、 [2] : p. 15
1
1つの
2
+
1
b
2
+
1
c
2
=
2
R
2
。
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {2}{R^{2}}}.}
また、 [7]
1
1つの
4
+
1
b
4
+
1
c
4
=
2
R
4
。
{\displaystyle {\frac {1}{a^{4}}}+{\frac {1}{b^{4}}}+{\frac {1}{c^{4}}}={\frac {2}{R^{4}}}.}
1
1つの
6
+
1
b
6
+
1
c
6
=
17
7
R
6
。
{\displaystyle {\frac {1}{a^{6}}}+{\frac {1}{b^{6}}}+{\frac {1}{c^{6}}}={\frac {17}{7R^{6}}}.}
一般に、すべての整数 n に対して、
1つの
2 ん
+
b
2 ん
+
c
2 ん
= グ （ ん ） （ 2 R
）
2 ん
{\displaystyle a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R)^{2n}}
どこ
グ （ − 1 ） = 8 、 グ （ 0 ） = 3 、 グ （ 1 ） = 7
{\displaystyle g(-1)=8,\quad g(0)=3,\quad g(1)=7}
そして
グ （ ん ） = 7 グ （ ん − 1 ） − 14 グ （ ん − 2 ） + 7 グ （ ん − 3 ） 。
{\displaystyle g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3).}
また、 [7]
2
b
2
−
1つの
2
=
7
b R 、 2
c
2
−
b
2
=
7
c R 、 2
1つの
2
−
c
2
= −
7
1つの R 。
{\displaystyle 2b^{2}-a^{2}={\sqrt {7}}bR,\quad 2c^{2}-b^{2}={\sqrt {7}}cR,\quad 2a^{2}-c^{2}=-{\sqrt {7}}aR.}
また、 [4]
a
3
c
+
b
3
a
−
c
3
b
=
−
7
R
4
,
{\displaystyle a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^{4},}
a
4
c
−
b
4
a
+
c
4
b
=
7
7
R
5
,
{\displaystyle a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7{\sqrt {7}}R^{5},}
a
11
c
3
+
b
11
a
3
−
c
11
b
3
=
−
7
3
17
R
14
.
{\displaystyle a^{11}c^{3}+b^{11}a^{3}-c^{11}b^{3}=-7^{3}17R^{14}.}
辺 aに対応する 外半径 r a は 、七角三角形の 9点円 の半径に等しい。 [2] : p. 15
正三角形 七角形三角形の 垂線三角形は、頂点が 頂点 の足元にあり 、 七角形三角形と相似で あり、相似比は1:2である。七角形三角形は、垂線三角形と相似である唯一の鈍角三角形である（ 正三角形 は唯一の鋭角三角形である）。 [2] : pp. 12–13
双曲線 直角双曲線には 次の特性があります。
A
,
B
,
C
,
G
=
X
(
2
)
,
H
=
X
(
4
)
{\displaystyle A,B,C,G=X(2),H=X(4)}
最初の焦点
F
1
=
X
(
5
)
{\displaystyle F_{1}=X(5)}
中心は オイラー円（一般的な性質）上と円上にある
U
{\displaystyle U}
(
O
,
F
1
)
{\displaystyle (O,F_{1})}
2番目の焦点 は外接円です
F
2
{\displaystyle F_{2}}
三角関数の性質
三角関数の等式 七角形に関連する 様々な 三角関数の恒等式には以下のものがある: [2] : pp. 13–14 [6] [7]
A
=
π
7
cos
A
=
b
2
a
B
=
2
π
7
cos
B
=
c
2
b
C
=
4
π
7
cos
C
=
−
a
2
c
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos A&={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}B&={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos B&={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}C&={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos C&=-{\frac {a}{2c}}\end{aligned}}}
[4] : 命題10
sin
A
×
sin
B
×
sin
C
=
7
8
sin
A
−
sin
B
−
sin
C
=
−
7
2
cos
A
×
cos
B
×
cos
C
=
−
1
8
tan
A
×
tan
B
×
tan
C
=
−
7
tan
A
+
tan
B
+
tan
C
=
−
7
cot
A
+
cot
B
+
cot
C
=
7
sin
2
A
×
sin
2
B
×
sin
2
C
=
7
64
sin
2
A
+
sin
2
B
+
sin
2
C
=
7
4
cos
2
A
+
cos
2
B
+
cos
2
C
=
5
4
tan
2
A
+
tan
2
B
+
tan
2
C
=
21
sec
2
A
+
sec
2
B
+
sec
2
C
=
24
csc
2
A
+
csc
2
B
+
csc
2
C
=
8
cot
2
A
+
cot
2
B
+
cot
2
C
=
5
sin
4
A
+
sin
4
B
+
sin
4
C
=
21
16
cos
4
A
+
cos
4
B
+
cos
4
C
=
13
16
sec
4
A
+
sec
4
B
+
sec
4
C
=
416
csc
4
A
+
csc
4
B
+
csc
4
C
=
32
{\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\sin A\!&\!\times \!&\!\sin B\!&\!\times \!&\!\sin C\!&\!=\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin A\!&\!-\!&\!\sin B\!&\!-\!&\!\sin C\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos A\!&\!\times \!&\!\cos B\!&\!\times \!&\!\cos C\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\tan A\!&\!\times \!&\!\tan B\!&\!\times \!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan A\!&\!+\!&\!\tan B\!&\!+\!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\cot A\!&\!+\!&\!\cot B\!&\!+\!&\!\cot C\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!A\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\tan ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!C\!&\!=\!&\!21\\[2pt]\sec ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!C\!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!C\!&\!=\!&\!8\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!C\!&\!=\!&\!5\\[8pt]\sin ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\\[2pt]\sec ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!C\!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!C\!&\!=\!&\!32\\[8pt]\end{array}}}
tan
A
−
4
sin
B
=
−
7
tan
B
−
4
sin
C
=
−
7
tan
C
+
4
sin
A
=
−
7
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\tan A\!&\!-\!&\!4\sin B\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan B\!&\!-\!&\!4\sin C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan C\!&\!+\!&\!4\sin A\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\end{array}}}
[7] [8]
cot
2
A
=
1
−
2
tan
C
7
cot
2
B
=
1
−
2
tan
A
7
cot
2
C
=
1
−
2
tan
B
7
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot ^{2}\!A&=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!B&=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!C&=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}\end{aligned}}}
[4]
cos
A
=
−
1
2
+
4
7
×
sin
3
C
sec
A
=
2
+
4
×
cos
C
sec
A
=
6
−
8
×
sin
2
B
sec
A
=
4
−
16
7
×
sin
3
B
cot
A
=
7
+
8
7
×
sin
2
B
cot
A
=
3
7
+
4
7
×
cos
B
sin
2
A
=
1
2
+
1
2
×
cos
B
cos
2
A
=
3
4
+
2
7
×
sin
3
A
cot
2
A
=
3
+
8
7
×
sin
A
sin
3
A
=
−
7
8
+
7
4
×
cos
B
csc
3
A
=
−
6
7
+
2
7
×
tan
2
C
{\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\cos A\!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!C\\[2pt]\sec A\!&\!=\!&\!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\times \!&\!\cos C\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!6\!&\!-\!&\!8\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!A\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin A\\[2pt]\sin ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}}{8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\csc ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\tan ^{2}\!C\end{array}}}
[4]
sin
A
sin
B
−
sin
B
sin
C
+
sin
C
sin
A
=
0
{\displaystyle \sin A\sin B-\sin B\sin C+\sin C\sin A=0}
sin
3
B
sin
C
−
sin
3
C
sin
A
−
sin
3
A
sin
B
=
0
sin
B
sin
3
C
−
sin
C
sin
3
A
−
sin
A
sin
3
B
=
7
2
4
sin
4
B
sin
C
−
sin
4
C
sin
A
+
sin
4
A
sin
B
=
0
sin
B
sin
4
C
+
sin
C
sin
4
A
−
sin
A
sin
4
B
=
7
7
2
5
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{3}\!B\sin C-\sin ^{3}\!C\sin A-\sin ^{3}\!A\sin B&=0\\[3pt]\sin B\sin ^{3}\!C-\sin C\sin ^{3}\!A-\sin A\sin ^{3}\!B&={\frac {7}{2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin C-\sin ^{4}\!C\sin A+\sin ^{4}\!A\sin B&=0\\[2pt]\sin B\sin ^{4}\!C+\sin C\sin ^{4}\!A-\sin A\sin ^{4}\!B&={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{aligned}}}
sin
11
B
sin
3
C
−
sin
11
C
sin
3
A
−
sin
11
A
sin
3
B
=
0
sin
3
B
sin
11
C
−
sin
3
C
sin
11
A
−
sin
3
A
sin
11
B
=
7
3
⋅
17
2
14
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{11}\!B\sin ^{3}\!C-\sin ^{11}\!C\sin ^{3}\!A-\sin ^{11}\!A\sin ^{3}\!B&=0\\[2pt]\sin ^{3}\!B\sin ^{11}\!C-\sin ^{3}\!C\sin ^{11}\!A-\sin ^{3}\!A\sin ^{11}\!B&={\frac {7^{3}\cdot 17}{2^{14}}}\end{aligned}}}
[9]
3次多項式 三次 方程式 には解がある [2] ：p.14
64
y
3
−
112
y
2
+
56
y
−
7
=
0
{\displaystyle 64y^{3}-112y^{2}+56y-7=0}
sin
2
A
,
sin
2
B
,
sin
2
C
.
{\displaystyle \sin ^{2}\!A,\ \sin ^{2}\!B,\ \sin ^{2}\!C.}
三次方程式の正の解は [10] に等しい ：p.186–187
x
3
+
x
2
−
2
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-1=0}
2
cos
B
.
{\displaystyle 2\cos B.}
三次方程式の 根 は [4 ]
x
3
−
7
2
x
2
+
7
8
=
0
{\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0}
sin
2
A
,
sin
2
B
,
sin
2
C
.
{\displaystyle \sin 2A,\ \sin 2B,\ \sin 2C.}
三次方程式の根 は
x
3
−
7
2
x
2
+
7
8
=
0
{\displaystyle x^{3}-{\tfrac {\sqrt {7}}{2}}x^{2}+{\tfrac {\sqrt {7}}{8}}=0}
−
sin
A
,
sin
B
,
sin
C
.
{\displaystyle -\sin A,\ \sin B,\ \sin C.}
三次方程式の根 は
x
3
+
1
2
x
2
−
1
2
x
−
1
8
=
0
{\displaystyle x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}=0}
−
cos
A
,
cos
B
,
cos
C
.
{\displaystyle -\cos A,\ \cos B,\ \cos C.}
三次方程式の根 は
x
3
+
7
x
2
−
7
x
+
7
=
0
{\displaystyle x^{3}+{\sqrt {7}}x^{2}-7x+{\sqrt {7}}=0}
tan
A
,
tan
B
,
tan
C
.
{\displaystyle \tan A,\ \tan B,\ \tan C.}
三次方程式の根 は
x
3
−
21
x
2
+
35
x
−
7
=
0
{\displaystyle x^{3}-21x^{2}+35x-7=0}
tan
2
A
,
tan
2
B
,
tan
2
C
.
{\displaystyle \tan ^{2}\!A,\ \tan ^{2}\!B,\ \tan ^{2}\!C.}
シーケンス 整数 n に対して、
S
(
n
)
=
(
−
sin
A
)
n
+
sin
n
B
+
sin
n
C
C
(
n
)
=
(
−
cos
A
)
n
+
cos
n
B
+
cos
n
C
T
(
n
)
=
tan
n
A
+
tan
n
B
+
tan
n
C
{\displaystyle {\begin{aligned}S(n)&=(-\sin A)^{n}+\sin ^{n}\!B+\sin ^{n}\!C\\[4pt]C(n)&=(-\cos A)^{n}+\cos ^{n}\!B+\cos ^{n}\!C\\[4pt]T(n)&=\tan ^{n}\!A+\tan ^{n}\!B+\tan ^{n}\!C\end{aligned}}}
ラマヌジャンの恒等式 ラマヌジャン型の恒等式も存在する。 [7] [11]
2
sin
2
A
3
+
2
sin
2
B
3
+
2
sin
2
C
3
=
−
7
18
×
−
7
3
+
6
+
3
(
5
−
3
7
3
3
+
4
−
3
7
3
3
)
3
2
sin
2
A
3
+
2
sin
2
B
3
+
2
sin
2
C
3
=
−
7
18
×
−
7
3
+
6
+
3
(
5
−
3
7
3
3
+
4
−
3
7
3
3
)
3
4
sin
2
2
A
3
+
4
sin
2
2
B
3
+
4
sin
2
2
C
3
=
49
18
×
49
3
+
6
+
3
(
12
+
3
(
49
3
+
2
7
3
)
3
+
11
+
3
(
49
3
+
2
7
3
)
3
)
3
2
cos
2
A
3
+
2
cos
2
B
3
+
2
cos
2
C
3
=
5
−
3
7
3
3
4
cos
2
2
A
3
+
4
cos
2
2
B
3
+
4
cos
2
2
C
3
=
11
+
3
(
2
7
3
+
49
3
)
3
tan
2
A
3
+
tan
2
B
3
+
tan
2
C
3
=
−
7
18
×
7
3
+
6
+
3
(
5
+
3
(
7
3
−
49
3
)
3
+
−
3
+
3
(
7
3
−
49
3
)
3
)
3
tan
2
2
A
3
+
tan
2
2
B
3
+
tan
2
2
C
3
=
49
18
×
3
49
3
+
6
+
3
(
89
+
3
(
3
49
3
+
5
7
3
)
3
+
25
+
3
(
3
49
3
+
5
7
3
)
3
)
3
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}
1
2
sin
2
A
3
+
1
2
sin
2
B
3
+
1
2
sin
2
C
3
=
−
1
7
18
×
6
+
3
(
5
−
3
7
3
3
+
4
−
3
7
3
3
)
3
1
4
sin
2
2
A
3
+
1
4
sin
2
2
B
3
+
1
4
sin
2
2
C
3
=
1
49
18
×
2
7
3
+
6
+
3
(
12
+
3
(
49
3
+
2
7
3
)
3
+
11
+
3
(
49
3
+
2
7
3
)
3
)
3
1
2
cos
2
A
3
+
1
2
cos
2
B
3
+
1
2
cos
2
C
3
=
4
−
3
7
3
3
1
4
cos
2
2
A
3
+
1
4
cos
2
2
B
3
+
1
4
cos
2
2
C
3
=
12
+
3
(
2
7
3
+
49
3
)
3
1
tan
2
A
3
+
1
tan
2
B
3
+
1
tan
2
C
3
=
−
1
7
18
×
−
49
3
+
6
+
3
(
5
+
3
(
7
3
−
49
3
)
3
+
−
3
+
3
(
7
3
−
49
3
)
3
)
3
1
tan
2
2
A
3
+
1
tan
2
2
B
3
+
1
tan
2
2
C
3
=
1
49
18
×
5
7
3
+
6
+
3
(
89
+
3
(
3
49
3
+
5
7
3
)
3
+
25
+
3
(
3
49
3
+
5
7
3
)
3
)
3
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}
cos
2
A
cos
2
B
3
+
cos
2
B
cos
2
C
3
+
cos
2
C
cos
2
A
3
=
−
7
3
cos
2
B
cos
2
A
3
+
cos
2
C
cos
2
B
3
+
cos
2
A
cos
2
C
3
=
0
cos
4
2
B
cos
2
A
3
+
cos
4
2
C
cos
2
B
3
+
cos
4
2
A
cos
2
C
3
=
−
49
3
2
cos
5
2
A
cos
2
2
B
3
+
cos
5
2
B
cos
2
2
C
3
+
cos
5
2
C
cos
2
2
A
3
=
0
cos
5
2
B
cos
2
2
A
3
+
cos
5
2
C
cos
2
2
B
3
+
cos
5
2
A
cos
2
2
C
3
=
−
3
×
7
3
2
cos
14
2
A
cos
5
2
B
3
+
cos
14
2
B
cos
5
2
C
3
+
cos
14
2
C
cos
5
2
A
3
=
0
cos
14
2
B
cos
5
2
A
3
+
cos
14
2
C
cos
5
2
B
3
+
cos
14
2
A
cos
5
2
C
3
=
−
61
×
7
3
8
.
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2A}}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!-3\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!=\!&\!-61\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}.\end{array}}}
[9]
{\displaystyle }
参考文献
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![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=c(cb),\\[5pt]b^{2}&=a(c+a),\\[5pt]c^{2}&=b(a+b),\\[5pt]{\frac {1}{a}}&={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63107bd555aab31d4dbd45b3bea63fcb044aeb43)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {\pi }{7}}\\[6pt]\cos A&={\frac {b}{2a}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}B&={\frac {2\pi }{7}}\\[6pt]\cos B&={\frac {c}{2b}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}C&={\frac {4\pi }{7}}\\[6pt]\cos C&=-{\frac {a}{2c}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95dd39d97a0beffeae6cda91521c6eca64ade86a)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\sin A\!&\!\times \!&\!\sin B\!&\!\times \!&\!\sin C\!&\!=\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{8}}\\[2pt]\sin A\!&\!-\!&\!\sin B\!&\!-\!&\!\sin C\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt {7}}{2}}\\[2pt]\cos A\!&\!\times \!&\!\cos B\!&\!\times \!&\!\cos C\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{8}}\\[2pt]\tan A\!&\!\times \!&\!\tan B\!&\!\times \!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan A\!&\!+\!&\!\tan B\!&\!+\!&\!\tan C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\cot A\!&\!+\!&\!\cot B\!&\!+\!&\!\cot C\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\\[8pt]\sin ^{2}\!A\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{64}}\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {7}{4}}\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{2}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {5}{4}}\\[2pt]\tan ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\tan ^{2}\!C\!&\!=\!&\!21\\[2pt]\sec ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\sec ^{2}\!C\!&\!=\!&\!24\\[2pt]\csc ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\!\csc ^{2}\!C\!&\!=\!&\!8\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!B\!&\!+\!&\!\cot ^{2}\!C\!&\!=\!&\!5\\[8pt]\sin ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\sin ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {21}{16}}\\[2pt]\cos ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\cos ^{4}\!C\!&\!=\!&\!{\frac {13}{16}}\\[2pt]\sec ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\sec ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\!\sec ^{4}\!C\!&\!=\!&\!416\\[2pt]\csc ^{4}\!A\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!B\!&\!+\!&\!\csc ^{4}\!C\!&\!=\!&\!32\\[8pt]\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11372d01f064a3ac9ffba8d9f82ccf67392e62ed)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}\tan A\!&\!-\!&\!4\sin B\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\ \[2pt]\tan B\!&\!-\!&\!4\sin C\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\\[2pt]\tan C\!&\!+\!&\!4\sin A\!&\!=\!&\!-{\sqrt {7}}\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81c6d96fd69af254e9ce675fad313b333fd7904)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot ^{2}\!A&=1-{\frac {2\tan C}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!B&=1-{\frac {2\tan A}{\sqrt {7}}}\\[2pt]\cot ^{2}\!C&=1-{\frac {2\tan B}{\sqrt {7}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50839aa6272436a1b2888172a7c95235431e7688)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcccccl}\cos A\!&\!=\!&\!{\frac {-1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!C\\[2pt]\sec A\!&\!=\!&\!2\!&\!+\!&\!4\!&\!\times \!&\!\cos C\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!6\!&\!-\!&\!8\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[4pt]\sec A\!&\!=\!&\!4\!&\!-\!&\!{\frac {16}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\sqrt {7}}\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{2}\!B\\[2pt]\cot A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {4}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\sin ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{2}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\cos ^{2}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {3}{4}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin ^{3}\!A\\[2pt]\cot ^{2}\!A\!&\!=\!&\!3\!&\!+\!&\!{\frac {8}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\sin A\\[2pt]\sin ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-{\sqrt {7}}}{8}}\!&\!+\!&\!{\frac {\sqrt {7}}{4}}\!&\!\times \!&\!\cos B\\[2pt]\csc ^{3}\!A\!&\!=\!&\!{\frac {-6}{\sqrt {7}}}\!&\!+\!&\!{\frac {2}{\sqrt {7}}}\!&\!\times \!&\!\tan ^{2}\!C\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36fe1e7d4ad29454a0aa79868851380c420711c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{3}\!B\sin C-\sin ^{3}\!C\sin A-\sin ^{3}\!A\sin B&=0\ \[3pt]\sin B\sin ^{3}\!C-\sin C\sin ^{3}\!A-\sin A\sin ^{3}\!B&={\frac {7}{2^{4}\!}}\\[2pt]\sin ^{4}\!B\sin C-\sin ^{4}\!C\sin A+\sin ^{4}\ !A\sin B&=0\\[2pt]\sin B\sin ^{4}\!C+\sin C\sin ^{4}\!A-\sin A\sin ^{4}\!B&={\frac {7{\sqrt {7}}}{2^{5}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313eecf9c55707e7d80590c5350d7c1c461b8b1d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{11}\!B\sin ^{3}\!C-\sin ^{11}\!C\sin ^{3}\!A-\sin ^ {11}\!A\sin ^{3}\!B&=0\\[2pt]\sin ^{3}\!B\sin ^{11}\!C-\sin ^{3}\!C\sin ^{11}\!A-\sin ^{3}\!A\sin ^{11}\!B&={\frac {7^{3}\cdot 17}{ 2^{14}}}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ff05b82052d8332beefe762209d7d4e1f67d72)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(n)&=(-\sin A)^{n}+\sin ^{n}\!B+\sin ^{n}\!C\\[4pt]C(n)&=(-\cos A)^{n}+\cos ^{n}\!B+\cos ^{n}\!C\\[4pt]T(n)&=\tan ^{n}\!A+\tan ^{n}\!B+\tan ^{n}\!C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30746680912c548893246cbf950126c4bed81f68)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\回{\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{ 7}} }}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{2\罪2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2 \sin 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{ 7}} }}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{4\罪^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\ sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12 +3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[ {3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{2 \cos 2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[8pt]{\sqrt[{ 3}]{4\cos ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{11+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{ 3}]{49}})}}\\[6pt]{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\黄褐色2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{18}]{7 }}\回{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{ 7}}-{\sqrt[{3}]{49}}) }}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}} \\[2pt]{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}\!&\!+\!&\!{\sqrt [{3}]{\タン^{2}2C}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{18}]{49}}\times {\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}] {49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7} })}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right )}}\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810c85d0d2d0261c86d4ad110e55c03d4310c4f0)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccl}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\sin 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{6+3\left({\sqrt[{3}]{5-3{\sqrt[{3}]{7}}}}+{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\sin ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\time {\sqrt[{3}]{2{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{12+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{11+3({\sqrt[{3}]{49}}+2{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{2\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{4-3{\sqrt[{3}]{7}}}}\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{4\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\sqrt[{3}]{12+3(2{\sqrt[{3}]{7}}+{\sqrt[{3}]{49}})}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {1}{\sqrt[{18}]{7}}}\times {\sqrt[{3}]{-{\sqrt[{3}]{49}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{5+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}] {49}})}}+{\sqrt[{3}]{-3+3({\sqrt[{3}]{7}}-{\sqrt[{3}]{49}})}}\right)}}\\[2pt]{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{3}]{\tan ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!{\frac {1}{\sqrt[{18}]{49}}}\times {\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{7}}+6+3\left({\sqrt[{3}]{89+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}+{\sqrt[{3}]{25+3(3{\sqrt[{3}]{49}}+5{\sqrt[{3}]{7}})}}\right)}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092ce3486cbd674aa014182b557e6dbbd0a058b9)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccl}{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2A}}}\!&\!=\!&\!-{\sqrt[{3}]{7}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos 2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2B}{\cos 2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2C}{\cos 2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{4}2A}{\cos 2C}}}\!&\!=\!&\!-{\frac {\sqrt[{3}]{49}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2B}{\cos ^{2}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2C}{\cos ^{2}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{5}2A}{\cos ^{2}2C}}}\!&\!=\!&\!-3\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{2}}\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!=\!&\!0\\[2pt]{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2B}{\cos ^{5}2A}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2C}{\cos ^{5}2B}}}\!&\!+\!&\!{\sqrt[{3}]{\frac {\cos ^{14}2A}{\cos ^{5}2C}}}\!&\!=\!&\!-61\times {\frac {\sqrt[{3}]{7}}{8}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9537ae68fa934954aeb5597d1f2df4209374a8a8)
