Pythagorean hodograph curve

The curves of this form can be generated by a formula analogous to a formula for generating Pythagorean triples. Let ${\displaystyle u(t)}$, ${\displaystyle v(t)}$, and ${\displaystyle w(t)}$ be any three polynomials, and set $${\displaystyle {\begin{aligned}x'(t)&={\bigl (}u(t)^{2}-v(t)^{2}{\bigr )}w(t)\\y'(t)&=2u(t)v(t)w(t)\\\sigma (t)&={\bigl (}u(t)^{2}+v(t)^{2}{\bigr )}w(t)\\\end{aligned}}}$$ Then these three polynomials obey the Pythagorean equation defining a Pythagorean hodograph curve, and the parameterization ${\displaystyle {\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}}$ of the curve itself can be obtained by integrating ${\displaystyle x'(t)}$ and ${\displaystyle y'(t)}$. Every Pythagorean hodograph curve takes this form.^[5]

A simpler alternative formulation of this characterization applies to the regular Pythagorean hodograph curves, those whose derivative never vanishes over the range of parameters of interest.^[6] It uses the complex plane, in which a curve may be described by a single parametric equation ${\displaystyle r(t)}$. In this plane, for every regular polynomial curve ${\displaystyle r(t)}$, the curve $${\displaystyle {\hat {r}}(t)=\int r'(t)^{2}dt}$$ defines a regular Pythagorean hodograph curve, and every regular Pythagorean hodograph curve can be obtained in this way. Because this is an indefinite integral, it can be offset by an arbitrary constant, corresponding to an arbitrary translation of the given curve. Choosing this constant to make the curve start at the origin makes the correspondence between regular curves ${\displaystyle r(t)}$そして、通常のピタゴラスホドグラフ曲線$\displaystyle {\hat {r}}(t)}$全単射に変換される。^{[ 7 ]}

選択によってパラメータ化された線${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$両方ともパラメータの線形関数である${\displaystyle t}$は自動的にピタゴラスホドグラフ曲線になります。その速度は定数で、0次の多項式です。^{[ 8 ]}

二次ピタゴラスホドグラフ曲線は存在しない。^{[ 8 ]}

ピタゴラスホドグラフ曲線である最も単純な非線形曲線は3次曲線です。すべての3次曲線がこのようにパラメータ化できるわけではありません。3次ピタゴラスホドグラフ曲線は、制御点のシーケンスによって定義されるベジェ曲線として記述できます。${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}}$そのために${\displaystyle u_{1}u_{2}u_{3}}$そして${\displaystyle u_{2}u_{3}u_{4}}$相似三角形である。^{[ 9 ]}あるいは、これらの点が複素平面に属し、それらの間の差が次のように定義される場合${\displaystyle \Delta _{i}=u_{i+1}-u_{i}}$すると、これらの差は次の式に従わなければならない。${\displaystyle \Delta _{1}\Delta _{3}=\Delta _{2}^{2}}$[ ^{10 ]このような曲線はすべて、}スケールされたチルンハウゼン三次曲線の弧であり、チルンハウゼン三次曲線のすべての弧はピタゴラスホドグラフ曲線である。^{[ 11 ]}

一定速度の有理関数でパラメータ化できる唯一の曲線は直線である。^{[ 12 ]}このため、多くの種類の曲線の長さを計算することは困難であり、閉形式が知られているのは特定の特殊な曲線に限られている。^{[ 13 ]}楕円のような単純な曲線でさえ、その周長の閉形式表現はなく、代わりに楕円積分で表すことができる。^{[ 14 ]}しかし、ピタゴラスホドグラフ曲線の場合、弧長は速度を積分することで閉形式で得られる。${\displaystyle \sigma (t)}$[ ^{15 ]​}

ピタゴラスホドグラフ曲線の単位接線ベクトルは、曲線のパラメータ化をその速度で割ることによって得られ、単位法線ベクトルは接線ベクトルを 90° 回転させることによって得られます。これにより、多項式ではなく有理関数によるパラメータ化が得られます。 ^{[ 16 ]}ピタゴラスホドグラフ曲線の平行曲線は、与えられた曲線のパラメータ化とその法線ベクトルの線形結合として得られます。^{[ 17 ]}