イギリス国旗定理

ユークリッド幾何学におけるイギリス旗定理は、長方形ABCDの内部に点Pを選んだ場合、点Pから長方形の2つの対角までのユークリッド距離の2乗の合計が、他の2つの対角までの距離の和に等しいというものである。^{[1] [2] [3]}方程式 として： $${\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.}$$

この定理は長方形の外側の点にも適用され、より一般的にはユークリッド空間内の点からその空間に埋め込まれた長方形の角までの距離にも適用されます。^{[4]さらに一般的には、点}Pから平行四辺形の2組の向かい合う角までの距離の二乗和を比較すると、2つの和は一般には等しくありませんが、2つの和の差は平行四辺形の形状のみに依存し、Pの選択には依存しません。^[5]

この定理は、ピタゴラスの定理の一般化とも考えられます。点P を長方形の 4 つの頂点のいずれかに置くと、長方形の対角線の 2 乗は長方形の幅と長さの 2 乗の合計に等しくなります。これがピタゴラスの定理です。

図に示すように、点Pから長方形の辺に垂線を下ろし、辺AB、BC、CD、ADとそれぞれ点W、X、Y、Zで交わります。これらの 4 つの点WXYZは、直角対角四辺形の頂点を形成します。ピタゴラスの定理を直角三角形AWPに適用し、WP = AZであることを考慮すると、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}$

同様の議論により、 Pから他の3つの角までの距離の長さの2乗は次のように計算できる。

${\displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},}$

${\displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},}$そして

${\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.}$

したがって：

${\displaystyle {\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}}$

イギリス国旗定理は、（凸）二等辺台形についての記述に一般化できます。より正確には、平行な辺と内点を持つ台形の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle CD}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle |AP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PC|^{2}=|BP|^{2}+{\frac {|AB|}{|CD|}}\cdot |PD|^{2}}$

長方形の場合、分数は1となり、元の定理が成立する。^[6]${\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|CD|}}}$

この定理の名前は、Pから長方形の角までの線分を、証明に使用した垂直線と一緒に描くと、完成した図形がイギリス国旗に似ていることから付けられています。

• ピザ定理

• Nguyen Minh Ha、Dao Thanh Oai: イギリス国旗定理の興味深い応用。Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries、第 4 巻 (2015 年)、第 1 号、pp. 31–34。
• マーティン・ガードナー、ダナ・S・リチャーズ（編）：『The Colossal Book of Short Puzzles and Problems』、WW ノートン、2006 年、ISBN 978-0-393-06114-7、pp. 147、159（問題 6.16） 

ウィキメディア・コモンズには、イギリス国旗定理に関連するメディアがあります。

• artofproblemsolving.com のイギリス国旗定理
• Microsoft の四角形の角に関する面接の質問を解けますか? (ビデオ、5 分 41 秒)
• 長方形と二等辺台形に対するイギリス国旗定理のインタラクティブなイラスト