IM67118 番号

IM67118 番号
粘土板、IM 67118、数学的、幾何学的代数的、ピタゴラスの定理に類似。イラク、テル・アル・ダバイ出土。紀元前 2003-1595 年。イラク博物館
身長	11.5センチ
幅	6.8センチ
作成	紀元前1770年頃
発見した	1962年 バグダッド、バグダッド県、イラク
現在地	バグダッド、バグダッド県、イラク
言語	アッカド語

IM 67118はDb ₂ -146としても知られ、イラク博物館のコレクションにある古代バビロニアの 粘土板で、与えられた面積と対角線を持つ長方形に関する平面幾何学の問題の解答が含まれています。テキストの最後の部分では、ピタゴラスの定理を使用して解答が正しいことが証明されています。解答の手順は、古代メソポタミア人がより早い時期にピタゴラスの定理を導き出した可能性があると示唆されている図表を伴うカットアンドペーストの幾何学操作を表していると考えられています。

この粘土板は1962年に、かつてはエシュヌンナ王国の一部であった現在のバグダッド近郊の古バビロニアの集落テル・エズ・ディバイで発掘され、同年にタハ・バキルによって出版された。 ^{[1] [2]}中期年代学 によれば、この粘土板は紀元前1770年頃、ハンムラビがバビロンを統治していた同時期にエシュヌンナを統治していたイバル・ピエル2世の治世中にさかのぼる。^[3]粘土板の大きさは11.5×6.8×3.3cm（4½インチ×2¾インチ×1¼インチ）。^[4]言語はアッカド語で、楔形文字で書かれている。粘土板の表面には19行、裏面には6行の文章がある。裏面には問題の長方形とその対角線の1つからなる図も描かれている。その対角線に沿って長さが60進法で書かれ、長方形の面積は対角線の下の三角形の領域に書かれている。^[5]

現代の数学用語で言えば、この石板に示された問題は次のようになります。長方形の面積はA  = 0.75、対角線の長さはc = 1.25 です。長方形の辺の 長さaとbは それぞれいくらでしょうか。

解決法は、2段階で進むと理解できます。第1段階では、量が0.25と計算されます。第2段階では、十分に証明された古代バビロニアの平方完成法を使用して、事実上、方程式のシステムb  −  a  = 0.25、ab  = 0.75を解きます。^{[6]幾何学的には、これは面積}Aと辺の長さの差b − a がわかっている長方形の辺の長さを計算する問題であり、古代バビロニアの数学では繰り返し発生する問題でした。^[7] この場合、b  = 1、a  = 0.75であることがわかります。この解法は、解を考案した人が誰であれ、c ²  − 2 A  =  c ²  − 2 ab  = ( b  −  a ) ²という特性を使用していたことを示唆しています。ただし、方程式の現代的な表記法や、パラメーターと未知数を文字で表す方法は、古代では聞いたことがなかったことを強調しておかなければなりません。イェンス・ホイロップによる古代バビロニア数学の語彙の徹底的な分析の結果、IM 67118などのテキストの手順の根底には、記号代数ではなく、標準的なカットアンドペーストの幾何学的演算のセットがあったことが現在では広く受け入れられています。^{[8] [9]}${\displaystyle {\sqrt {c^{2}-2A}}}$

解法の語彙から、Høyrup はc ²、すなわち対角線の正方形は幾何学的な正方形として理解されるべきであり、そこから 2 Aに等しい面積が「切り取られる」、つまり除去され、辺がb  −  aの正方形が残ると結論付けている。Høyrup は、対角線の正方形は長方形を 4 コピーしてそれぞれ 90° 回転させることによって形成された可能性があり、面積 2 A は対角線の正方形に含まれる 4 つの直角三角形の面積であると示唆している。残りは図の中央にある小さな正方形である。^[10]

面積Aと辺の長さの差b  −  a を持つ長方形の辺の長さを計算する幾何学的手順は、寸法a × ½( b  −  a )の長方形片を切り取り、この部分を長方形の辺に貼り付けることで、長方形を面積Aの日輪に変換することでした。次に、日輪に辺が ½( b  −  a ) の小さな正方形を追加して正方形を完成させました。^{[11] [7]} この問題では、完成した正方形の辺は と計算されます。次に、量 ½( b  −  a )=0.125 を正方形の水平辺に追加し、垂直辺から減算します。結果として得られる線分が、目的の長方形の辺です。^[11]${\displaystyle {\sqrt {A+{\tfrac {1}{4}}(ba)^{2}}}={\sqrt {0.75+0.015625}}=0.875}$

古代バビロニアの幾何学図を復元する際の難しさの 1 つは、既知の粘土板には、問題の定式化には図が含まれることが多いものの、解法に図が含まれていないことである。テキストで明示的な構成が説明されている幾何学的解法でさえもである。ホイラップは、少なくとも幾何学計算の精神的能力が発達する前の筆記者の訓練の初期段階では、切り貼り幾何学は粘土以外の媒体、おそらく砂か「砂のそろばん」で行われていたと主張している。^{[12] [13]}

フリバーグは、2 つの同心正三角形を分ける帯が 3 つの台形に分割されている MS 2192 を含む、「図形内の図形」の描画を含むいくつかの粘土板について記述しています。彼は、「三角形の帯の面積を台形の連鎖の面積として計算するという考え方は、正方形の帯の面積を 4 つの長方形の連鎖の面積として計算するという考え方のバリエーションです。これは単純な考え方であり、おそらく古代バビロニアの数学者には知られていたと思われますが、この考え方が明示的に記載されている楔形文字の数学テキストはまだ見つかっていません」と書いています。彼は、この考え方が IM 67118 のテキストに暗黙的に含まれていると主張しています。^[14]彼はまた、2 つの同心正方形が示されている YBC 7329 の図との比較を勧めています。この粘土板では、正方形を分ける帯は 4 つの長方形に分割されていませんが、長方形の 1 つの面積の数値が図の横に表示されます。^[15]

解b  = 1, a  = 0.75 は、正方形の面積を対応する辺の長さで計算し、それらの面積を加算し、その結果得られた面積で正方形の辺の長さを計算する、つまり平方根を取ることによって正しいことが証明されています。これはピタゴラスの定理の応用であり、結果は与えられた値c  = 1.25 と一致します。^{[11] [16]面積も正しいことは、積}ab を 計算することによって検証されます 。^[11]${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

以下の翻訳はブリトン、プルースト、シュナイダーによるもので、ホイロップの翻訳^[17]に基づいている。ホイロップの翻訳はバキルの手書き写本と音訳^[18]に基づいており、若干の修正が加えられている。バビロニアの60進数は、60進数をコンマで区切った10進表記法に翻訳されている。したがって、1,15は1 + 15/60 = 5/4 = 1.25を意味する。バビロニアのシステムには「60進小数点」がなかったため、60を掛け合わせた全体的な累乗は文脈から推測する必要があったことに注意されたい。この翻訳は「適合的」であり、エレノア・ロブソンが説明するように、「バビロニアの専門用語を、元の意味に可能な限り近い既存の英語の単語または新語で一貫して翻訳する」ものであり、アッカド語の語順も保持されている。^[9]古代バビロニアの数学では、背景にある幾何学的文脈に応じて乗算に異なる言葉が使用されており、他の算術演算でも同様でした。^[19]

表面

1. もし、（対角線のある長方形について）誰かがあなたに尋ねたら
2. したがって、1,15 対角線、45 表面。
3. 長さと幅は何に対応していますか？あなたは、あなたの行動によって、
4. 1,15、あなたの対角線、その対応するものを置きます：
5. 保持させる：1、33、45が出てくる、
6. 1,33,45 あなたの（？）手が（？）握られますように
7. 45 あなたの表面を 2 つ持って来ます: 1,30 が上がります。
8. 1,33,45から切り捨て：残り3,45 ^{[20] 。}
9. 3,45の等辺は15になります。その半分は
10. 7,30が出たら、7,30にレイズします: 56,15が出ます
11. 56,15 あなたの手。45 あなたの手の上の表面、
12. 45,56,15 が出ます。45,56,15 の等辺は次のようになります。
13. 52,30 が上がり、52,30 が横たわり、
14. 7,30 あなたはそれを一つに留めさせました
15. 追加: 1から
16. 切り取る。長さ1、幅45。長さが1の場合、
17. 45 幅、面、対角線は何に対応していますか?
18. （あなたは）自分の手で長さを作り、保持します。
19. （１が出てくる・・・）あなたの頭が持ちこたえますように。

逆行する

20. [...]: 45、幅、ホールドする:
21. 33,45 が表示されます。長さに以下を追加します:
22. 1,33,45 が出ます。1,33,45 の等辺は次のようになります。
23. 1,15が出てきます。1,15の対角線。長さ
24. 幅を上げて、表面を45にします。
25. これが手順です。^[21]

問題文は1～3行目、解決の第1段階は3～9行目、解決の第2段階は9～16行目、解決の検証は16～24行目に示されている。「1,15 対角線を置き、その対角線を押さえる」は対角線の垂直コピーを置いて正方形を形成することを意味し、「等辺」は正方形の辺、またはその面積の平方根であり、「頭を押さえる」は覚えておくことを意味し、「手」は「計算用のパッドまたはデバイス」を指す場合があることに留意されたい。^[11]

フリベリが出版したSchøyen コレクションの粘土板 MS 3971 の問題 2 は、IM 67118 の問題と同一である。解法は非常に似ているが、2 A をc ²に減算するのではなく加算する。この場合、結果として得られる正方形の辺はb  +  a = 1.75 に等しい。方程式b  +  a  = 1.75, ab  = 0.75 も、平方完成によって解かれる。MS 3971 には図表がなく、検証手順も実行されない。その言語は「簡潔」で、音節アッカド語で書かれた「冗長な」IM 67118 と比較して、シュメール語の 表語文字を多く使用している。 ^{[22]フリベリは、このテキストが}イラク 南部のウルクから出土し、紀元前 1795 年以前のものであると考えている。^[23]

フリバーグは、パーカーが1972年に出版した紀元前3世紀のエジプトのデモティック・パピルス『カイロ版』の問題34と35にも同様の問題があると指摘している。 ^[24] フリバーグはまた、古バビロニアの定数表TMS 3の「57 36、šàrの定数」という項目に関するAAヴァイマンの説明とも関連がある可能性があると見ている。ヴァイマンは、šàrを表す楔形文字は、提案された図のように、正方形に配置された4つの直角三角形の鎖に似ていると指摘している。このような鎖の面積は、斜辺の長さが1に正規化された3-4-5の直角三角形を想定すると、24/25（60進法では57 36に等しい）です。 ^[24] Høyrupは、IM 67118の問題が「西暦1116年のヘブライ語のマニュアルにまったく同じ方法で解決されて登場する」と書いています。^[25]

IM 67118 の問題は、3-4-5 の直角三角形の拡大版となる辺と対角線を形成する特定の長方形に関するものですが、解答の言語は一般的で、通常、使用される各数字の機能的役割を指定します。テキストの後半では、特定の値に言及しない抽象的な表現がところどころに見られます (「長さは保持します」、「長さを幅に上げます」)。Høyrup は、これに「抽象的な表現における『ピタゴラスの法則』の紛れもない痕跡」を見出しています。^[26]

ピタゴラスの定理がどのように発見されたかは不明だが、一部の学者は IM 67118 で使用された解法にその可能性を見出している。2 Aをc ²から引くと( b  −  a ) ^{2になるという観察に、} a ²、b ²、および −2 A  = −2 abに対応する領域の幾何学的再配置を追加するだけで、この定理の再配置証明が得られる。これは現代ではよく知られており、3 世紀には古代中国の周比算経(周の目盛) に関する趙爽の注釈でも示唆されている。^{[27] [24] [28] [29]} MS 3971 の問題 2 の解法の定式化には減算領域がないため、おそらくさらに直接的な導出が提供される。^{[27] [30]}

ホイラップは、さまざまな時代や場所で繰り返し登場する文章題の類似性や、そのような問題の言語や数値内容に部分的に基づいて、古バビロニアの書記官の数学資料の多くは、謎解き問題を解くことが専門技術の証として使われていた実務的な測量士の伝統から輸入されたという仮説を提唱している。ホイラップは、この測量士文化は、紀元前16世紀初頭のヒッタイトによるメソポタミア征服の結果生じた古バビロニアの書記官文化の終焉を生き延び、古代ギリシャ、セレウコス朝時代のバビロン、イスラム帝国、中世ヨーロッパの数学に影響を与えたと考えている。^[31]ホイラップがこの実用測量士の伝統に起因するとしている問題の中には、正方形を完成させる必要がある長方形の問題がいくつかあり、IM 67118 の問題もその 1 つです。 ^[32] 紀元前 3 千年紀にピタゴラスの定理に関する言及が知られておらず、IM 67118 の定式化がすでに筆写文化に適応していたことを踏まえ、ホイラップは次のように書いています。「この証拠だけから判断すると、ピタゴラスの定理は、おそらく紀元前 2300 年から 1825 年の間のどこかで、Db ₂ -146で扱われた問題から派生して、一般の測量士の環境内で発見された可能性が高い」。^[33]したがって、紀元前 570 年頃に生まれ、紀元前 495 年頃に亡くなったピタゴラスにちなんで名付けられた定理 [34] は、彼の^誕生の約 12 世紀前に発見されたことがわかります。^[要出典]

• プリンプトン 322
• YBC7289

• Baqir, Taha (1962)。「Tell Dhiba'i: 新しい数学テキスト」。Sumer . 18 : 11–14、1–3 ページ。
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• フリーバーグ、ヨラン（2007）、バビロニア数学テキストの注目すべきコレクション：シェーエンコレクションの写本、楔形文字テキストI、数学と物理科学の歴史における資料と研究、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 978-0-387-48977-3
• ガスリー、ウィリアム・キース・チェンバース（1978年）。『ギリシャ哲学の歴史、第1巻：初期のプレソクラテス哲学とピタゴラス学派』ケンブリッジ大学出版局。173ページ。ISBN 978-0-521-29420-1ピタゴラスの生涯の年代は正確には特定できないが、アリストクセノス（ポルフォスVP 9 参照）の記述がおおよそ正しいと仮定すると、彼が 40 歳のときにポリュクラテスの圧政から逃れるためにサモス島を離れたとすると、彼の生誕は紀元前 570 年頃、あるいはそれより数年前と推定できる。彼の生涯の長さは古代にさまざまな推定がなされたが、かなり長生きし、おそらく 75 歳か 80 歳で亡くなったことはほぼ間違いない。
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• Cuneiform Digital Library Initiative (CDLI) カタログには、この記事で取り上げたタブレットのエントリがあります。
  • IM 67118 のエントリには、タハ・バキルによる石板の手書きのコピーと石板の写真が含まれています。
  • 3179 号
  • 2192年
• ショーエンコレクションのMS 2192。
• イェール大学バビロニアコレクションのYBC 7359 。
• 2000 年代の初版である Lion de Tell Harmal (IM 52560) には、石板の裏面の写真と近隣の遺跡から出土した遺物の写真が含まれています。