平面（幾何学）

幾何学において、平面とはアフィン部分空間、すなわちアフィン空間のサブセットであり、それ自体がアフィン空間である。^{[1]特に、親空間が}ユークリッドである場合、平面は親空間から距離の概念を継承するユークリッド部分空間である。

n次元空間には、 0 からnまでの各次元kのk平面が存在します。親空間より 1 次元低い平面( n  − 1)は超平面と呼ばれます。

平面（2次元空間）の平面は、点、線、平面そのものであり、 3次元空間の平面は、点、線、平面、空間そのものです。平面の定義には、直線以外の曲線と平面以外の表面は含まれません。これらは、それぞれ弧長と測地線長という異なる距離の概念を持つ部分空間です。

フラットは、線形代数において、線形方程式系の解集合の幾何学的実現として現れます。

平坦な形は多様体であり代数多様体であり、他の多様体や多様体と区別するために 線型多様体または線型多様体と呼ばれることもあります。

平面は線形方程式のシステムで記述できます。たとえば、2 次元空間の線は、xとy を含む単一の線形方程式で記述できます。

${\displaystyle 3x+5y=8.}$

3 次元空間では、x、y、zを含む単一の線形方程式が平面を定義しますが、一対の線形方程式を使用して線を記述できます。一般に、n変数の線形方程式は超平面を記述し、線形方程式の連立はそれらの超平面の交差を記述します。方程式が矛盾がなく線形に独立していると仮定すると、 k個の方程式の連立はn − k次元の平面を記述します。

平面は、線形パラメトリック方程式のシステムによって記述することもできます。直線は、1 つのパラメータを含む方程式によって記述できます。

${\displaystyle x=2+3t,\;\;\;\;y=-1+t\;\;\;\;z={\frac {3}{2}}-4t}$

一方、平面の記述には 2 つのパラメータが必要です。

${\displaystyle x=5+2t_{1}-3t_{2},\;\;\;\;y=-4+t_{1}+2t_{2}\;\;\;\;z=5t_{1}-3t_{2}.\,\!}$

一般に、次元kのフラットのパラメータ化には、 k 個のパラメータ (例: t ₁、…、  t _{k )}が必要になります。

フラットの共通集合はフラットか空集合のいずれかです。

ある平面からの各線が別の平面からの各線と平行である場合、これら 2 つの平面は平行です。同じ寸法の 2 つの平行平面は、一致するか交差しません。これらは、右辺のみが異なる 2 つの線形方程式のシステムで記述できます。

平面が交差せず、最初の平面からの線が 2 番目の平面からの線と平行でない場合、これらは斜め平面です。これは、それらの寸法の合計が周囲空間の寸法よりも小さい場合にのみ可能です。

次元がk ₁とk _{2 の}2 つの平面に対して、それらの平面を含む、最大で次元がk ₁ + k ₂ + 1の最小平面が存在します。2 つの平面が交差する場合、その平面を含む平面の次元は、k ₁ + k ₂から交差の次元を引いた値に等しくなります。

これら 2 つの操作 ( meetおよびjoinと呼ばれる) により、ユークリッドn空間内のすべての平面の集合が格子になり、任意の次元の平面の体系的な座標が構築され、グラスマン座標またはデュアル グラスマン座標が得られます。たとえば、3 次元空間の線は、2 つの異なる点または 2 つの異なる平面によって決定されます。

しかし、すべての平面の格子は分配格子ではありません。2 本の線ℓ ₁とℓ _{2 が}交差する場合、ℓ ₁ ∩ ℓ ₂は点です。p が同じ平面上にない点である場合、 ( ℓ ₁ ∩ ℓ ₂ ) + p = (ℓ ₁ + p ) ∩ (ℓ ₂ + p )となり、どちらも線を表します。しかし、ℓ ₁とℓ ₂が平行である場合、この分配法則は当てはまらず、左側にp が、右側に 3 番目の平行線が与えられます。

前述の事実は、構造がユークリッド空間の構造（つまり、ユークリッド距離を含む）であることに依存せず 、任意のアフィン空間において正しいです。ユークリッド空間では、

• 平面と点の間には距離があります。(例:点から平面までの距離および点から線までの距離を参照してください。)
• 2 つの平面の間には距離があり、交差する場合は 0 になります。(たとえば、「2 つの線間の距離(同一平面内)」および「斜線 § 距離」を参照してください。)
• 2つの平面の間には角度があり、これは0 と直角の間の区間[0, π/2]に属します。(たとえば、二面角(2つの平面間) を参照してください。平面間の角度も参照してください。)

• N次元空間
• マトロイド
• 共平面性
• 等長法

• ハインリッヒ・グッゲンハイマー（1977）、「Applicable Geometry」、Krieger、ニューヨーク、7ページ。
• ストルフィ、ホルヘ（1991）、指向射影幾何学、アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-672025-9
  スタンフォード大学のオリジナルの博士論文「計算幾何学のためのプリミティブ」より。DEC SRC 研究レポート 36 として入手可能。2021-10-17 にアーカイブされ、Wayback Machineで閲覧可能。

• Weisstein、Eric W.「超平面」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「フラット」。MathWorld。